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第4讲n维空间中的点集,目的：掌握n维空间中集合的内点、边界点、聚点、开集、闭集等概念，熟练理解Bolzano-Weirstrass定理、Borel有限覆盖定理，能运用这些定理解决一些问题。重点与难点：Bolzano-Weirstrass定理、Borel有限覆盖定理。,1,度量空间,定义：设X为一非空集合，d:XXR为一映射，且满足,d(x,y)0，d(x,y)=0当且仅当x=y（正定性）,则称(X,d)为度量空间.,d(x,y)=d(y,x)（对称性）,d(x,y)d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）,(X,d)为度量空间，Y是X的一个非空子集，若（Y,d）也是一个度量空间，称（Y,d）为(X,d)的子空间。,2,3,例：,Ca,b空间(Ca,b表示闭区间a,b上实值连续函数全体),其中,欧氏空间（Rn,d）,其中,离散空间(X,d)，其中,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,第4讲n维空间中的点集,二聚点、内点、边界点与Bolzano-Weirstrass定理问题1：给定Rn中一个集合E及点P，P与E有几种可能的关系？,14,定义1设，（i）若存在，使，则称为的内点。（ii）若存在，使，则称为的外点。（iii）若对任意，则称为的边界点。,定义2若对任意，中总有中除外的点，即,则称为聚点。注：有限点集没有聚点。,15,聚点的等价描述,证明：显然，下证,定理1：下列条件等价：(1)p0为E的聚点(3)存在E中互异的点所成点列pn,使得,定义：称点列pn收敛于p0,记为：,(2)点p0的任意邻域内，含有无穷多个属于E而异于p0的点,16,17,18,19,闭包和内部的对偶关系：,20,定理2若，则定理3若，则,定理3的证明：由于，由定理2立得。现设，则对任意，从而含或中点，由定理1，知存在一串互异的点，使,21,中必有无穷多个都属于或都属于，不妨设，则由，知。如果有无穷多个在中，则将会有，总之。从而。综上。证毕。,22,*定理4（波尔察诺-外尔斯特拉斯（Bolzano-Weierstrass）定理）若是中一个有界的无穷集合，则至少有一个聚点，即。,*定理5若则至少有一个界点，即。,23,与聚点相对的概念是孤立点，集合的边界点若不
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