中南大学《流体力学》课件第四章流动阻力和水头损失.ppt

EngineeringFluidMechanics,流体力学电子教案,第四章流动阻力和水头损失,1、从力学观点看，本章研究的是流动阻力。产生流动阻力的原因：内因粘性+惯性流体的粘滞性是能量损失的根本原因。外因外界干扰能量损失与流体的物理特性和边界特征有密切关系。2、从能量观看，本章研究的是能量损失（水头损失）。,1、水头损失的产生：在一定距离的流程内，每单位重量流体的能量损失，称为该流程上的水头损失，以hw表示。,第一节、能量损失的物理概念及其分类,第三节流动水头损失概念,2、水头损失的分类：,根据流体接触的边壁沿程是否变化，把能量损失分为两类：,发生在均匀流段上，由沿程阻力产生的水头损失。,发生在非均匀流段上，由局部阻力产生的水头损失。,以hf表示,以hj表示,或,或,第四章水头损失,3、水头损失的迭加原理：总水头损失是某一流段沿程水头损失与局部水头损失的总和。,第四章水头损失,第四章水头损失,4、水头损失的影响因素,1、流体边界横向轮廓的形状和大小对水头损失的影响横向轮廓的形状和大小的表示：过水断面面积湿周：流体过水断面与固体边界的周界线。符号,水力半径：面积与湿周的集合表示过水断面的特征，水力半径。即：,2、流体边界纵向轮廓对水头损失的影响均匀流时：只有沿程水头损失。非均匀流：两种水头损失都有。,3、流体的运动状态对水头损失的影响层流：只有粘性阻力紊流：既有粘性阻力又有惯性阻力,第四章水头损失,过流断面面积A越大，水头损失hw越小。,【湿周】,在过流断面上流体与固体边壁的接触周长。,过流断面面积A相同时，湿周越大，水头损失hw越大。,第四章水头损失,【水力半径R】：,单位：m,水力半径R越大，水头损失hw越小。,第四章水头损失,【层流与紊流的流动现象】雷诺实验,层流,紊流,过渡阶段,速度由小到大，层流向紊流过渡,上临界速度vc,速度由大到小，紊流向层流过渡,下临界速度vc,稳定直线，质点不相混杂,线条摆动弯曲，旋转，破裂,线条完全散开，质点混杂，作无规则运动,1、实验现象,第四章水头损失,【层流与紊流的流动现象】雷诺实验,2、hf关系图,层流：,紊流：,雷诺在观察现象的同时，测量，绘制的关系曲线如下：,第四章水头损失,【层流与紊流的流动现象】雷诺实验,3、流态的判别,通过量纲分析和相似原理发现，上面的物理量可以组合成一个无量纲数，并且可以用来判别流态。,1883年，雷诺试验也表明：圆管中恒定流动的流态转化取决于雷诺数。,d是圆管直径，v是平均流速，是流体的运动粘性系数。,实际流体的流动之所以会呈现出两种不同的型态是扰动因素与粘性稳定作用之间对比和抗衡的结果。即惯性扰动和粘性稳定之间对比和抗衡的结果。,临界速度不能作为判别流态的标准！,称为雷诺数。,第四章水头损失,【层流与紊流的流动现象】雷诺实验,3、流态的判别,速度由小到大，层流向紊流过渡,上临界雷诺数Rec,速度由大到小，紊流向层流过渡,下临界雷诺数Rec,紊流,层流,上临界雷诺数,下临界雷诺数,Re,Re,Rec=12000-40000,圆管,明渠,【层流与紊流的流动现象】雷诺实验,4、层流向紊流的过渡,任意流层之上下侧的切应力构成顺时针方向的力矩，有促使旋涡产生的倾向。,雷诺数与哪些因素有关？其物理意义是什么？当管道流量一定时，随管径的加大，雷诺数是增大还是减小？,雷诺数与临界速度、流体的密度、动力粘滞系数及水力半径有关。雷诺数是表征惯性力与粘性力的比值，可以用来判别流态。当管道流量一定时，随管径的增加，雷诺数是减小的。,答：,思考：,为什么用下临界雷诺数，而不用上临界雷诺数作为层流和紊流的判别标准？,由于上下临界雷诺数间的液流是极不稳定的，任何微小的扰动都可能会使层流变成紊流，而在实际工程中扰动总是存在的。下临界雷诺数是稳定的，在下临界雷诺数范围内的流动，即使受到干扰，也能恢复为层流。因此，判别流态应以下临界雷诺数作为判别标准。,答：,思考：,【例】某输出管，已知油的运动粘度，试求不同流态及相应管径d。,【解】,由,解得,【例】水和油的运动粘度分别为若它们以的流速在直径为的圆管中流动，试确定其流动状态？,水的流动雷诺数,紊流流态,油的流动雷诺数,层流流态,【例】温度运动粘度的水，在直径的管中流动，测得流速，问水流处于什么状态？如要改变其运动，可以采取那些办法？,【解】,水的流动雷诺数,1）改变流速,如要改变其流态,层流流态,2）提高水温改变粘度,【例】某实验中的矩形明渠水流，底宽，水深，流速，水温为试判别流态。,【解】,水流的运动要素,紊流流态,【例】1.水管的直径，管中水流速度水温，试判别流态；2.若流速与水温不变，管径改为30mm，管中流态？3.若流速和水温不变，管流由层流变为紊流的直径多大？,【解】,1.水的流动雷诺数,2.管径改为30mm时,层流流态,所以，管流由层流转变为紊流的直径为15.1mm,紊流流态,3.由,第四章水头损失,上述两种方法计算出来的结果应该是一致的，且关键是确定0的大小,达西公式,均匀流方程,第二节、沿程水头损失的计算,层流：只有粘性阻力紊流：既有粘性阻力又有惯性阻力（只能通过实验求得）,【恒定均匀流基本方程推导】,对均匀流体中一有限体进行受力分析,质量力,端面压力,流股表面受到的摩擦力,列写动量方程,列写伯努利方程,得,第四章水头损失,圆管均匀流剪应力分布图,由0=gRJ及R=r/2（园管）得,明渠均匀流，按上述类似方法，也可得出相同结果，只有壁面切应力的分布不像轴对称管流那么均匀，式中0为平均切应力。,沿程阻力系数与壁面切应力关系,将均匀流基本方程代入达西公式，得,摩阻流速,定义，有速度量纲，称为摩阻流速,第四章水头损失,1、过流断面上的流速分布,由均匀流基本方程0gRJ，得圆管内任一点处,对于层流，又满足牛顿内摩擦阻力定律,则,积分，并：rr0时，u0，得,抛物线分布,umax,【圆管层流水头损失的计算】,第四章水头损失,1、过流断面上的流速分布,umax,当r0时，,平均流速和流量,最大流速,其断面上的速度分布很不均匀，一般,第四章水头损失,2、达西公式和沿程阻力系数,由平均流速公式得,（只适于层流）,其中,第四章水头损失,【例】有一均匀管流l=100m、直径d=0.02m，水流的水力坡度J=0.008。求1、管壁的切应力；2、r=0.005m处切应力；3、水头损失。,1）管壁切应力,2）r=0.005处切应力,3）水头损失,【例】在长度l=10000m、直径d=300mm的管路中输送=9.31kN/m3的重油，其重量流量G=2371.6kN/h，求油温分别为10度(=25cm2/s)和40度(=1.5cm2/s)时的水头损失。,平均流速,1）100C时的雷诺数,2）400C时的雷诺数,【例】应用细管式粘度计测定油的粘度，已知细管直径d=0.006m，测量段长L=2m。实际油的流量水银压差计的读数hp=0.3m，油的密度=900kg/m3。求油的运动粘度和动力粘度。,设液流为层流，则,又,故,校核流态层流假设成立,【例】已知=9800kg/m3，Qm=1.0kg/s，l=1800m，=0.08cm2/s，d=100mm，z1=85m，z2=105m，求管路的压强降低值及损失功率。,得,又,先判断流态,为层流,即,则,压降为,损失功率为,【圆管紊流水头损失的计算】,第四章水头损失,1、紊流的特征脉动,通过雷诺实验可知，当ReRec时，管中紊流流体质点是杂乱无章地运动的，不但u瞬息变化，而且，流体p等参数都存在类似的变化，这种瞬息变化的现象称脉动。层流破坏以后，在紊流中形成许多大大小小方向不同的旋涡，这些旋涡是造成速度脉动的原因。特征：紊流的u、p等运动要素，在空间、时间上均具有随机性质，是一种非定常流动。,2、紊流运动要素的时均化紊流的分析方法统计时均法。,时均速度：瞬时速度在时间周期T内的平均值,脉动速度,时均周期T的取值：,时均值与真实值相差太远，脉动变化的影响无法显示。,T不能太大：,T不能太小：,时均值与真实值很相近，脉动无法消除，时均化的意义不大。,脉动值的时均值：,紊流是非恒定的，但其时均值可以是恒定的。,研究流体运动规律时，常用脉动速度的均方根值表示脉动幅度的大小,（1）恒定流（2）非恒定流,3、紊流的附加剪应力,对层流：,对紊流：,由Prantl的动量传递理论：,2由脉动引起的紊流附加切应力,对于紊流，21，则,由Prantl的混合长度理论：,建立了脉动值与时均值的关系,其中是流速横向脉动产生的紊流惯性切应力。是雷诺于1895年首先提出的，故又名雷诺应力。,【例】在明渠水流某点，激光测速仪测速，每0.5秒取一值，结果如下图。试求：1、紊流强度；2、紊流附加切应力,【解】求：1、紊流强度由题可得,4、园管紊流的速度分布,由卡门假设：壁面附近处（即yR）lky,则,得,令,积分，得,或,对数或指数分布规律,5、紊流流道壁面的类型,0层流边界层厚度,紊流区域划分为：,过渡区（层流紊流）,紊流核心区,管壁的绝对粗糙度,/d管壁的相对粗糙度,层流底层,流体处于“水力光滑管”区，壁面为水力光滑面。,流体处于“水力粗糙管”区，壁面为水力粗糙面。,流体介于“水力光滑管”区与“水力粗糙管”区之间，为过渡粗糙区，壁面为过渡粗糙面。,当0时，,当0时，,当0与相当，,注意,水力光滑面和粗糙面并非完全取决于固体边界表面本身是光滑还是粗糙，而必须依据粘性底层和绝对粗糙度两者的相对大小来确定，即使同一固体边壁，在某一雷诺数下是光滑面，而在另一雷诺数下是粗糙面。,6、圆管紊流中的水头损失,紊流中的水头损失区别：层流紊流是一个只能由实验确定的系数。所以，计算紊流的关键是确定。,JohannNikuradse,7、尼古拉兹实验,人为造出六种不同的相对粗糙度的管；对不同的管径通过改变流量来改变雷诺数；测出沿程阻力损失，由达西公式求阻力系数.,实验对象：圆管,实验条件：不同直径；不同流量；不同相对粗糙度,实验示意图：,尼古拉兹试验曲线,层流区：,Re2000,1.5,30.6,60,126,252,3.0,6.0,0.2,5.0,4.0,0.4,0.6,0.8,1.0,层流区,圆管流动沿程水头损失系数的尼古拉兹试验曲线,尼古拉兹试验曲线,第一过渡区（层流紊流）：,Re20004000,1.5,30.6,60,126,252,3.0,6.0,0.2,5.0,4.0,0.4,0.6,0.8,1.0,过渡区,层流区,圆管流动沿程水头损失系数的尼古拉兹试验曲线,尼古拉兹试验曲线,紊流的“水力光滑管”区：,1.5,30.6,60,126,252,3.0,6.0,0.2,5.0,4.0,0.4,0.6,0.8,1.0,过渡区,光滑管,层流区,圆管流动沿程水头损失系数的尼古拉兹试验曲线,尼古拉兹试验曲线,第二过渡区（“水力光滑管”区“水力粗糙管”区）：,过渡粗糙区,1.5,30.6,60,126,252,3.0,6.0,0.2,5.0,4.0,0.4,0.6,0.8,1.0,过渡区,光滑管,层流区,尼古拉兹试验曲线,紊流的“水力粗糙管”区（阻力平方区）：,过渡粗糙区,1.5,30.6,60,126,252,3.0,6.0,0.2,5.0,4.0,0.4,0.6,0.8,1.0,粗糙区,过渡区,光滑管,层流区,紊流中沿程阻力系数的常见公式,由实验数据及损失规律,u的表达式,v的表达式,又,即,代入v的表达式，得,紊流的“水力光滑管”区：,紊流的“水力粗糙管”区：,人工粗糙管,第二过渡区（“水力光滑管”区“水力粗糙管”区）：,Colebrook公式,工业粗糙管,对各阻力区通用的经验公式有：,、实用管道流动的沿程水头损失系数,当量粗糙度,实用管道的粗糙是不规则的，须通过实用管道与人工粗糙管道试验结果之比较，把和实用管道断面形状、大小相同，紊流粗糙区值相等的人工粗糙管道的砂粒高度定义为实用管道的当量粗糙度。,常用管道的当量粗糙度可查表找到。,断面平均流速,沿程水头损失,紊流,Re2300,光滑管区,过渡粗糙管区,粗糙管区,流速分布,圆管流动主要公式,LewisMoody,【例】铸铁输水管内径d=300mm，通过流量Q=0.05m3/s。水温t=10o，=1.0mm(n=0.014)，求沿程阻力系数及每公里长的沿程水头损失。,则,该管流为紊流,由巴尔公式,当,则水头损失,第四章流动阻力,利用原有公式进行计算将计算公式中的特征长度用水力直径或水力半径取代。,利用谢才公式进行计算,谢才系数,明渠均匀流的水力坡度即为水面线坡度,C,水力半径,R,J,1775年谢才总结明渠均匀流动的情况，给出计算均匀流动的经验公式,第四章流动阻力,第三节、非圆形断面沿程水头损失的计算,根据谢才公式,说明相当于我们定义的，并无实质上的区别。正因为如此，谢才公式也常用于有压管道的均匀流动。,曼宁公式,使用谢才公式要注意两点：谢才系数C是有量纲的；确定谢才系数的经验公式主要依据来自于紊流粗糙区的实测资料。,是最常用的，使用米秒制单位，n是边界粗糙系数（糙率），其量纲不甚明确，查表后将相应数值代入公式即可。,第四章流动阻力,【例】某管路直径d=200mm，流量水力坡度，试求该管路的。,【解一】,【解二】,第四章流动阻力,【例】水在矩形断面渠道作恒定均匀流动，渠道底宽b=6m，水深h=1.2m，壁面粗糙系数n=0.014，渠道底面坡度i=10-4，用谢才公式和曼宁公式求明渠的流量。,第四章流动阻力,z01，z02明渠两处的底面高程,对均匀流：h1h2，v1v2,则z01z02hf,或,即iJ，,说明明渠恒定均匀流的水力坡度等于明渠的底坡。,对明渠,则,由谢才和曼宁公式,得,第四章流动阻力,答案,错,答案,答案,不变，临界雷诺数只取决于水流边界形状，即水流的过水断面形状。,雷诺数与流体的粘度、流速及水流的边界形状有关。随d增大，Re减小。,第四章流动阻力,答案,答案,B,A,A.在过流断面上是常数；B.管轴处是零，且与半径成正比；C.管壁处是零，向管轴线性增大；D.按抛物线分布。,第四章流动阻力,答案,答案,瞬时流速：为某一空间点的实际流速，在紊流流态下随时间脉动；时均流速：为某一空间点的瞬时速度在时段T内的时间平均值；脉动速度：其与时均速度的叠加等于瞬时速度；断面平均速度v：为过流断面上各点的流速（紊流是时均速度）的断面平均值。,C，D,第四章流动阻力,答案,答案,错,粘性切应力主要与流体粘度和液层间的速度梯度有关，主要作用在近壁处。附加切应力主要与流体的脉动程度和流体的密度有关，主要作用在紊流核心处脉动程度较大地方。,考考你:普兰特混合长度理论借用了气体中什么的概念。,答案,分子自由程,判断：紊流核心的切应力以附加切应力为主，粘性切应力可以忽略。,答案,对,第四章流动阻力,答案,答案,在近壁处，因液体质点受到壁面的限制，不能产生横向运动，没有混掺现象，流速梯度du/dy很大，粘滞切应力=du/dy仍然起主要作用。,把紊流运动要素时均化后，紊流运动就简化为没有脉动的时均流动，可对时均流动和脉动分别加以研究。紊流中只要时均化的要素不随时间变化而变化的流动，就称为恒定流。,粘性底层厚度与雷诺数、质点混掺能力有关。,随Re的增大，厚度减小。粘性底层很薄，但对能量损失有极大的影响。,第四章流动阻力,答案,错,答案,答案,不变，临界雷诺数只取决于水流边界形状，即水流的过水断面形状。,雷诺数与流体的粘度、流速及水流的边界形状有关。随d增大，Re减小。,第四章流动阻力,答案,答案,B,A,A.在过流断面上是常数；B.管轴处是零，且与半径成正比；C.管壁处是零，向管轴线性增大；D.按抛物线分布。,第四章流动阻力,答案,答案,瞬时流速：为某一空间点的实际流速，在紊流流态下随时间脉动；时均流速：为某一空间点的瞬时速度在时段T内的时间平均值；脉动速度：其与时均速度的叠加等于瞬时速度；断面平均速度v：为过流断面上各点的流速（紊流是时均速度）的断面平均值。,C，D,第四章流动阻力,答案,答案,错,粘性切应力主要与流体粘度和液层间的速度梯度有关，主要作用在近壁处。附加切应力主要与流体的脉动程度和流体的密度有关，主要作用在紊流核心处脉动程度较大地方。,考考你:普兰特混合长度理论借用了气体中什么的概念。,答案,分子自由程,判断：紊流核心的切应力以附加切应力为主，粘性切应力可以忽略。,答案,对,第四章流动阻力,答案,答案,在近壁处，因液体质点受到壁面的限制，不能产生横向运动，没有混掺现象，流速梯度du/dy很大，粘滞切应力=du/dy仍然起主要作用。,把紊流运动要素时均化后，紊流运动就简化为没有脉动的时均流动，可对时均流动和脉动分别加以研究。紊流中只要时均化的要素不随时间变化而变化的流动，就称为恒定流。,粘性底层厚度与雷诺数、质点混掺能力有关。,随Re的增大，厚度减小。粘性底层很薄，但对能量损失有极大的影响。,第四章流动阻力,答案,答案,错,错,答案,C,第四章流动阻力,答案,答案,B,错,答案,A,第四节、边界层理论与绕流阻力简介,工程中的流场都具有固体壁面边界。由于流体粘性切应力的影响，粘性流体的流动远比理想流体的流动复杂。N-S方程理论上完备但求解困难。解决工程实际问题大多局限于小雷诺数流动。高雷诺数流动时，（Re106）粘性力与惯性力相比很小。1904年，普朗特边界层理论指出，对于粘性很小的流体（如空气、水），粘性对流动的影响主要表现在壁面附近的薄层里，壁面远处的流体可视为理想流体，粘性影响可忽略不计。,一、边界层的概念,两类性质不同的流动：1、物体边界附近薄层由于粘性力作用，有很大的速度梯度边界层（附面层）2、边界层以外的流动，粘性力作用不计，理想流体无旋流动（势流）,平板绕流运动,边界层也有层流边界层和紊流边界层之分。实际存在的边界层既不全是层流，也不全是紊流，而是一种混合边界层。,边界层的转捩层流段和紊流段的分界点A称为转捩点。,二、平板上的边界层,边界层的特点：1、很薄（mm级）；2、随着沿平板流动的深入，边界层厚度增加。,从进口到管中心流速达到最大，即边界层厚度发展到管中心的断面之间的管段称为起始段。,三、内流的边界层,管段进口段进口至=r0处，50100倍的d进口的局部损失,四、曲面的边界层,边界层分离，形成漩涡,五、边界层的分离与形状阻力,实验证明，在同种流体中相同来流速度流过相同迎流截面物体受到的阻力并不相同。,容易误认为B物体的阻力大，但事实正好相反。为什么？,粘性流体流过物体时，物体受到的阻力由两部分组成：摩擦阻力，形状阻力,形状阻力的产生与边界层分离现象密切相关,五、边界层的分离与形状阻力,分析端点A：u=0，压强最大，选为坐标原点。同一外法线上边界层内各点的压强相同，即3点：为曲面上的最高点。1-3：外部势流加速，压力递减，压力梯度，顺压梯度。边界层内部流体减压加速，部分压能转化为动能，顺压梯度对流动起助推作用。,五、边界层的分离与形状阻力,分析3点：外部势流速度Umax，压力降至pmin3-5点：外部势流减速，压力递增，压力梯度，逆压梯度。边界层内部流体升压减速，部分动能转化为压能，粘性的阻滞作用继续消耗动能。流体质点受到逆压梯度与粘滞阻力的双重阻碍，使动能消耗，流速不断减小。,五、边界层的分离与形状阻力,分析S点：流体动能消耗殆尽，流速U=0，即。,SE：流速U=0的点的连线，速度间断面。,速度间断面的不稳定引起波动，发展并破裂为明显的大漩涡，像楔子一样将边界层和物体表面分开。,因此，在S的下游，流体发生回流，在壁面上，流体速度的法向梯度为负值，边界层的内边界离开固体壁面（在S点的上游，边界层的内边界就是壁面），这种现象称为边界层的分离。,五、边界层的分离与形状阻力,分离后的边界层的内边界SE与壁面S6所夹的区域称为分离区，也称为尾流区或回流区。在分离区产生许多大大小小的漩涡，流体质点互相掺混。通常，分离点在壁面最高点2附近，那里的压强较低，因此，分离区实际上是一个低压区。,五、边界层的分离与形状阻力,通常，分离点S在壁面最高点3附近，那里的压强较低，因此，分离区实际上是一个低压区。,这样S点上游（迎流面）的压强高于下游（背流面）的压强，于是，物体表面就受到一种由于上、下游压强差引起的阻力，这种阻力称为压差阻力。,形状阻力：迎面驻点压强与尾流区压强之差，它取决于分离点的位置和尾流区的大小。分离点的位置与物体的形状和边界层的流动有关。,五、边界层的分离与形状阻力,边界层分离的条件：1、壁面通过粘性对于流动的阻滞作用2、逆压梯度的存在二者缺一不可。但这两个条件仅是产生分离的必要条件而非充分条件。绕流运动不一定都发生分离绕流线体的流动不一定都不发生分离,六、绕流体流动的阻力,粘性流体绕流物体的合力：1、阻力FD：与来流方向平行2、升力FL：垂直于来流方向,粘性流体绕流物体受到的阻力由两部分组成：摩擦阻力，形状阻力,理想流体绕流物体受到的阻力没有形状阻力。,绕流物体的形状：,流线型体,钝形物体（非流线型物体），物体阻力主要来自形状阻力。,1、钝形物体（非流线型物体）,当雷诺数大于200000时，阻力因数会突然变小，这种现象称为失阻。,1、钝形物体（非流线型物体）,失阻的原因，产生失阻的主要原因是边界层分离点的后移。Re增大导致紊流边界层的转捩点移到分离点之前。因紊流边界层中流体动能较大，使分离点后移，尾流区变窄，从而使阻力系数显著降低。失阻是圆柱体或截面近似为圆形柱体特有的绕流现象，对于方柱或有棱角的柱体，壁面边界层的分离点总是固定在棱角处，因此没有失阻现象。,圆盘形状阻力,大攻角下流线体的形状阻力,球体的形状阻力,2、流线型物体,浸湿面积增大了，摩擦阻力增大，但阻止了边界层分离，大大降低了压差阻力，总阻力降低。,2、流线型物体,浸湿面积增大了，摩擦阻力增大，但阻止了边界层分离，大大降低了压差阻力，总阻力降低。,七、减小阻力的方法,1、将物体设计成流线型使物体后部细长，减小反向压力差，以推迟或避免边界层分离，达到减小漩涡阻力的目的。潜艇机翼、舵、飞机机身等都比较接近流线型。,2、避免尖点因尖点后出现很强的反向压力差，使边界层立即在尖点处分离，应尽可能避免。,七、减小阻力的方法,3、加导流片在弯道处加导流片可以减小漩涡区，达到减小漩涡阻力的目的。常用于风洞和循环水槽,4、边界层控制,普朗特简介,普朗特（18751953），德国物理学家，近代力学奠基人之一。1875年2月4日生于弗赖辛，1953年8月15日卒于格丁根。他在大学时学机械工程，后在慕尼黑工业大学攻弹性力学，1900年获得博士学位。1901年在机械厂工作，发现了气流分离问题。后在汉诺威大学任教授时，用自制水槽观察绕曲面的流动，3年后提出边界层理论，建立绕物体流动的小粘性边界层方程，以解决计算摩擦阻力、求解分离区和热交换等问题。奠定了现代流体力学的基础。普朗特在流体力学方面的其他贡献有：风洞实验技术。他认为研究空气动力学必须作模型实验。1906年建造了德国第一个风洞（见空气动力学实验），1917年又建成格丁根式风洞。机翼理论。在实验基础上，他于19131918年提出了举力线理论和最小