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.,第2章单自由度振动系统强迫振动的解析法,.,2.6.2有阻尼duffing方程的受迫振动,由平均法,.,.,相轨线方程：,.,整理得：,.,幅频和相频特性关系,.,2.8多尺度法,引入表示不同尺度的时间变量,.,x代入动力学方程，比较同次幂系数，就得到各阶近似的线性微分方程组。在依次求解过程中，利用消除久期项的附加条件和出示条件，导出各阶近似解得确定表达式。,.,考虑duffing系统接近共振的受迫振动，动力学方程为,代入原方程，化为,.,只讨论一次近似解，令,将式代入式，展开后令两边,的同次幂系数相等，,得到各阶近似方程：,将零次近似方程的解写为复数形式：,.,代入一次近似方程的右边，得到,消除久期项,.,解得,将指数形式的复函数代入方程，将实数与虚部分开,.,其中：，,.,2.8.3主共振响应,设Duffing方程,由多尺度法，设解,.,零阶解为：,.,消除长期项条件：,.,令,.,两边平方相加得频响方程,解出调谐参数,.,其中，,2.8.4非共振响应,.,设其解的形式为如下形式：,解为：,其方程的特解：,零阶方程：,.,代入一阶方程，得,.,消除长期项条件：,化为,从而积分式可得一次近似解：,.,2.8.5超谐波共振,只讨论近一次似解,幂系数相等，得到各阶近似方程：,.,零次近似方程的解为,零次近似解代入一次近似方程，整理后得到,.,.,将上式代入方程右边的,，令右边含,项的系数为零以消除久期项，得到,.,将实部与虚部分开后,.,从上式解出,.,由于曲线弯曲引起的多值性，超谐波共振也存在与主共振类似的跳跃现象。,.,2.8.6亚谐波共振,.,.,.,其中,.,解出,.,.,2.8.7组合共振,设非线性系统受到两个不同频率的周期干扰力作用，,系统响应可能发生的共振响应称为组合共振，其方程为：,.,设解为,则有,.,令方程的解为,.,.,在双频激励下，除存在单频激励中出现过的各种共振外，还会出现组合共振，如,对于多频激励，还可能同时存在两个以上的共振
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