初二数学《实数》专讲专练（第一期）

辅导学校专用教程 实数专讲专练专题一平方根的意义及运算，用计算器求平方根一、要点回顾1.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0.2.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2a，那么这个数a就叫做x的平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根.3.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.4.平方根的性质：（1）a，（2）(a为任意实数).注意点：平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如，64的平方根为8，易丢掉8，而求为64的算术平方根；（2）的平方根是，误认为平方根为2，应知道2.二、考题解析例1（连云港市）如果2a180，那么a的算术平方根是 .分析先求出的a值，再求a的算术平方根.例2（徐州市）4的平方根是（）A.2B.2C.2D.16分析找出平方等于4的实数即可求解.例3（鄂州市）已知，则a的取值范围是（ ）A.a0B.a0C.0a1D.a0分析由，而条件中有a，则表明a0，考虑分母不为0，被开方式应为非负数，于是问题即求.三、同步训练1.49的平方根是_，算术平方根是_；0的平方根是_，算术平方根是_.2.化简：_，_，_.3.一个自然数的算术平方根是x，则下一个自然数的算术平方根是（ ）A.x+1 B. x2+1 C.+1 D. 4.一个圆的面积为2cm2，求这个圆的半径.5.用电器的电阻R、功率P与它两端的电压U之间有关系：P.有两个外观相同的用电器，甲的电阻为18.4欧，乙的电阻为20.8欧.现测得某用电器的功率为1500瓦，两端电压在150伏至170伏之间，该用电器到底是甲还是乙？6.八年级（3）班两位同学在打羽毛球，一不小心球落在离地面高为6米的树上.其中一位同学赶快搬来一架长为7米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干2米远，另一位同学爬上梯子去拿羽毛球.问这位同学能拿到球吗?专题二立方根的意义及运算，用计算器求立方根一、要点回顾1.立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根），正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数.2.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开 3.立方根的性质：（1）a，（2）a.注意点：与平方根不同，负数同样也有立方根.二、考题解析例4（青海省）的立方根是 .分析由于负数有一个负的立方根，而，由此可以求解.例5（扬州市）估计68的立方根的大小在（）A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间分析要估计68的立方根的大小，只要能知道68的上一个数的立方数和下一个数的立方数即可.三、同步训练1.8的立方根与的平方根的和为（ ）A.2 B.0 C.2或一4 D.0或42.若某数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数等于（ ）A.0 B.1 C.1或0 D.0或 13.1的立方根是_，1的立方根是_，0的立方根是_；64的平方根是_，64的立方根是_；立方根是本身的数是_.4._，+_，_.5.一个正方体A的体积是棱长为4厘米的正方体B的体积的，这个正方体A的棱长是_厘米.6.（1）已知yx33，且y的算术平方根为4，求x. （2）如果3x+16 的立方根是4，试求2x+4的平方根. 7.一个长方体的长为5cm、宽为2cm、高为3cm，而一个正方体的体积是它的3倍.求这个正方体的棱长(结果精确到0.01cm).专题三实数的有关概念一、要点回顾1.无理数：无限不循环小数叫做无理数. 2.实数：有理数和无理数统称为实数.3.实数的分类：实数或4.实数和数轴上的点是一一对应的.注意点：无理数的错误认识：（1）无限小数就是无理数，这种说法错误，因为无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类.如1.414141(41无限循环）是无限循环小数，而不是无理数；（2）带根号的数是无理数，这种说法错误，如，虽带根号，但开方运算的结果却是有理数，所以，是有理数；（3）两个无理数的和、差、积、商也还是无理数，这种说法错误，如+，+都是无理数，但它们的积却是有理数，再如和5都是无理数，但却是有理数，+1和是无理数；但它们的和却是有理数；（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有一个唯一位置，如，我们可以用几何作图的方法在数轴上把它找出来，其他的无理数也是如此；（5）无理数比有理数少，这种说法错误，虽然无理数在人们生产和生活中用的少一些，但并不能说无理数就少一些，实际上，无理数也有无穷多个.二、考题解析例6（宜昌市）从实数，0，4中，挑选出的两个数都是无理数的为（ ）A.，0 B.，4 C.，4 D.，分析首先判断在这些实数中哪些是无理数，然后再求解.例7（自贡市）写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于1的数 .分析依题意，写出的两个数必须满足：一是一个是有理数和一个是无理数，二是都是小于1的 例8（宁波市）比大的实数是（ ）A.5B.0C.3D.分析0，且2，于是，对照选择支即可求解.a01例9（盐城市）实数a在数轴上对应的点如图所示，则a，a，1的大小关系正确的是（ ）A.aa1B.aa1C.1aaD.a1a分析观察数轴我们可以发现a0，且1，于是即可比较.三、同步训1.边长为4的正方形的对角线长是（ ）A.整数 B.分数 C.有理数D.不是有理数2.在3，2.4，四个数中，无理数的个数是（ ）0123412ABCA.1 B.2 C.3 D.43.如图，数轴上表示数的点是 .4.你能说明是无理数吗？专题四实数的化简与运算1.实数的化简：（1）(a0，b0)；（2）(a0，b0).2.实数化简最后有结果应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式.3.几个含有根号的实数经过化简以后，如果被开方数相同，那么这几个化简后的实数就可以合并成 4.实数的乘法、除法：（1） (a0，b0)；（2） (a0，b0).注意点：（1）实数相加减，先把各个含有根号的实数化简，如果被开方式相同，就可以象合并同类一样合并，要防止：该化简的没化简；不该合并的合并；化简不正确；合并出错.（2）实数的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定要简洁.（3）在进行实数的运算时应注意数学中的类比思想的运用，如，计算(2)220+时，可以类比有理数的运算顺序和法则进行计算，所以原式41+2230.例10（中山市）已知等边三角形ABC的边长为3+，则ABC的周长是_.分析等边三角形的三边长相等，要求此周长，只需将边长乘以3，或将三边长相加即得.例11（荆门市）计算：(+)_.分析先每一个算术平方根化简，再进行括号里面的运算，最后做除法运算.例12（天津市）若m4，则估计m的值所在的范围是（ ）A.1m2B.2m3C.3m4D.4m5分析要求此解，若能估算出的范围即可，而事实上，67，由此可以求解.例13（烟台市）已知a+2，b2，则的值为（ ）A.3 B.4 C.5 D.6分析由于给定的条件是无理数，直接代入求值有点繁，但考虑a2+b2(a+b)22ab，于是，我们可以设法从条件中先求出a+b，ab，这样通过整体代入即可容易求解.例14（苏州市）若x2x20，则的值等于（）A. B.C. D.或分析要想求解条件中字母的值，目前还不能做到，但考虑条件可以变形得到x2x2，而待求式中又刚好有此式，于是想到通过整体代入求解.例15（凉山州）阅读材料，解答下列问题.例：当a0时，如a6，则6，故此时a的绝对值是它本身；当a0时，0，故此时a的绝对值是零；当a0时，如a6，则(6)6，故此时a的绝对值是它的相反数.所以，综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即这种分析方法涌透了数学的分类讨论思想.问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况.（2）猜想与的大小关系.分析（1）可通过阅读，模仿绝对值的推导过程即得.（2）由（1）即可知道与的大小关系.三、同步训练1.化简：52 .2.比小且比大的整数是_.3.若是一个实数，则x可取值的个数为（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个4.当ab0时，化简的结果是（ ）A.a B.a C. D.5.阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+，其中a9时”，得出了