特殊计数序列81Catalan数

1,第八章特殊计数序列8.1Catalan数,前面我们已经讨论过一些特殊计数序列的例子。如：斐波那契序列：fn=fn-1+fn-2(n3)翰若塔问题序列：hn=2hn-1+1(n1)错位排列数序列：D0,D1,D2,D3,Dn,等本节我们将继续研究4个著名的计数序列,2,8.1Catalan数Catalan(卡特朗)序列其递推关系是非线性的,许多有意义的计数问题都导致这样的递推关系。本次课将举出一些,后面还将见到。通过下面的例题我们来引入Catalan(卡特朗)序列。例：二叉树（或二元树）的计数问题。如3个结点可有5棵不同的二叉树,如下图所示。,3,一般地，设cn为n个结点的不同的二叉树的个数，定义c0=1。在n0的情形下，二叉树有一个根结点及n-1个非根结点，设左子树Tl有k个结点，则右子树Tr有n-1-k个结点，于是每个不同的左子树有ck种时，右子树有cn-1-k种，由计数原理：,4,令由序列cn构成的生成函数为：B(x)=c0+c1x+c2x2+c3x3+cnxn+那么B(x)B(x)=(c0+c1x+)(c0+c1x+c2x2+)B2(x)=(c0)2+(c0c1+c1c0)x+(c0c2+c1c1+c2c0)x2+(c0c3+c1c2+c2c1+c3c0)x3+,5,根据我们在第十九讲中补充的关于生成函数有关结论可知：,6,再由于序列cn构成的生成函数可以表示为:,B(x)与B2(x)在第n项的系数只相差一项,7,由于它们的首项都是1,将B(x)减去常数1后使得和式的每个单项式的幂大于等于1.再除以x后就得到生成函数为：与B2(x)的序列的生成函数化成一致。那么我们得到生成函数B(x)满足的方程：其中B(0)=c0=1,8,解此二次方程，并应用牛顿二项式定理(P95)得:,9,作换元,10,这个数Cn常称为Catalan(卡特朗)数,序列Cn常称为Catalan(卡特朗)序列。常用第一个字母C表示，记为：C0,C1,C2,C3,.Cn,其中，通项：,11,定理8.1.1n个+1和n个1构成的2n项数列a1,a2,a2n若其部分和满足a1a2ak0k1,2,2n的数列a1,a2.ak的个数等于第n个Catalan数，即证明：n个+1和n个1构成的2n项数列若其部分和满足a1a2ak0,12,则称该数列是可接受的数列，否则是不可接受的数列。令Sn是由n个+1和n个1构成的2n项数列的全体，An是其中可接受的部分，Un是其中不可接受的部分.于是:|Sn|An|Un|而:可见，通过计算|Un|进而计算出|An|;对每个不可接受序列，总可以找到最小的正奇数k，使得ak=-1且ak之前的+1与-1的个数相等，即有a1+a2+ak-1=0,ak=-1。,13,例:-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1.其中a7=-1现将这个不可接受序列中前k项的每一项取反号，其余部分保持不变，得到新序列变为m+1个+1和m-1个-1构成的序列。例:1-1+1-1+1-1+1+1-1+1.注意有两个1连加反之，对任一由n+1个+1和n-1个-1构成的序列，从左到右扫描，当+1的个数第一次比-1的个数多1时就把这些扫描到的项全部取反号，其余,14,项不变，结果又得到n个+1和n个-1构成的不可接受序列。从而，易知不可接受序列的数目Un就与n+1个+1和n-1个-1所成的序列的数目相等。由于后者的数目为：,15,Catalan数的组合学意义可罗列如下：（1）从(0，0)点沿第一象限的格线到(n,n)点的不穿越方格对角线的最短路径数；（2）序列a1a2ak的元素顺序保持不变，按不同结合方式插入合法圆括号对的方案数；（3）用n-1条互不交叉的对角线把n+2条边(n1)的凸多边形拆分三角形化的方法数；,16,（4）2n个人排队上车，车票费为5角，2n个人中有一半人持有一元面值钞票，一半人持有5角钞票，求不同的上车方案数，使得在这些方案中售票员总能用先上车的购票钱给后上车者找零；（5）甲、乙二人比赛乒乓球，最后结果为nn，比赛过程中甲始终不落后于乙的计分种数；,17,（6）n个点的有序二叉树的个数；（7）n个叶子的完全二叉数的个数；（8）圆周上2n个点连接成的n条两两互不相交的弦分割圆的方案数。以上8种类型的计数问题,是典型的Catalan数组合问题，我们仅仅对其中的部分问题进行讨论；,18,(1)从O(0,0)点沿第一象限的格线到N(n,n)点的不穿越方格对角线ON的最短路径数；沿格线前进不穿越对角线(但可接触对角线上的格点)的路线分为走对角线上方或走对角线下方两种情形，由对称性，易知两种路线数相等。因此，只需计算走一方的路线数(不妨计算对角线下方的路线数)。设符合题意的路线为好路线，其总数记为gn；,19,即:遇到对角线就向右;穿越对角线的路线记为坏路线，其总数记为bn。(a)图是44方格中的坏路线，(b)图是44方格变为53方格的后的路线。,O,N,N,O,20,易知nn方格上从左下角到右上角的每一条路线可用一个包含n个R(右)和n个U(上)的字符串来描述。例如下图所示的路线可用字符串RUURRURU共8个字符来表示，可以看出，R和U的数量各占一半。这样的字符串可以由在给定的2n个位置中为R选择n个位置而不考虑顺序，其余n个位置填入U。于是，,21,有C(2n,n)种可能的路线。且有gn+bn=C(2n,n)，即：gn=C(2n,n)-bn,故只需计算坏路线数bn。对任一坏路线，选定最初穿越对角线后的第一次移动，并将此移动之后的右行改为上行，上行改为右行，这样的变化使得向上移动增加一个而向右移动减少一个,即可得到一条(n+1)(n-1)方格上从左下角走到右上角不加限制的路线；反之，对任一(n+1)(n-1)方格,22,上从左下角走到右上角不加限制的路线，从最初位于对角线上方的第一点起，改上移为右移，改右移为上移，即可得到一条nn方格上(从(0,0)点到(n,n)点)的坏路线。亦即,nn方格上的坏路线与(n+1)(n-1)方格上的路线之间存在一一对应。由于(n+1)(n-1)方格的路线为:C(2n,n+1)或C(2n,n-1)，两者相等,故取bn=C(2n,n-1)。从而有：,23,注意，在求对角线下方的好路线数时，每条走过对角线上方的路线都作为坏路线计入了bn。进而，仅走对角线一侧且不穿越对角线的总路径数为Catalan数：,24,（3）用互不交叉的对角线把n+1条边(n2)的凸多边形三角形化分的方法数；,余点依次相邻标记,25,令hn表示将n+1(n2)边凸多边形进行三角形拆分的方案数，则当n=1时，h1=1，当n3时，任取多边形一边为基边记作e，其两端点一端记为v1，一端记为vn+1，余点依次相邻标记如图所示。现以v1，vn+1及任意顶点vk+1(k=1,2,n-1)构作一个三角形，该三角形将凸多边形分为F1,F2两个区域。,26,其中，F1由k+1边凸多边形围成，其三角形拆分方案数为hk，F2由n-k+1边凸多边形围成，其三角形剖分方案数为hn-k，F1与F2的边数关系是:(k+1)+(n-k+1)+1-2=n+1(总边数),27,由乘法原理知易证对于六边形时,即当n=5时,可求得分拆三角形数:,28,凸6边形(n=5)的14个拆分方案,其中从同一顶点引出3条对角线的有6种；从两个顶点各引出2条对角线的又有6种；从3个互不相邻点连接的有2种，共14种。,29,下面证明Catalan数满足1阶齐次递推关系；由于所以有：,30,我们可义求出前几项的Catalan数的数值：C0=1,C1=1,C2=2,C3=5C4=14,C5=42,C6=132,C7=429C8=1430,C9=4862,.现在我们定义一个新的数列：为了方便给它取名叫做拟-Catalan数。令：,31,将Catalan数的递推关系代入得到拟-Catalan数的递推关系：,这样，拟-Catalan数的递推关系和初值如下：,32,利用这个递推关系，可以计算前几个拟-Catalan数：,我们还可以求出拟-Catalan数的计算公式：,33,例：设a1,a2,an是n个数。定义这些数的一种乘法格式是指a1,a2,an任意两个或者它们部分积之间的n-1种乘法运算的方案。计算n个数的不同乘法格式的个数。分析：设hn是n个数的不同乘法格式的个数。那么:h1=1,一个数的乘法格式;h2=2,两个数的乘法格式;(a1a2)和(a2a1),34,h3=12,三个数的乘法格式;(a1(a2a3),(a2(a1a3),(a3(a1a2)(a1(a3a2),(a2(a3a1),(a3(a2a1)(a2a3)a1),(a1a3)a2),(a1a2)a3)(a3a2)a1),(a3a1)a2),(a2a1)a3)看得出,三个数的乘法格式都需要两次乘法,两组括号因子,每种格式的乘法就对应一括号,35,内的因子,一般说来每个乘法格式都可以通过以看成是由某种规定顺序列出：a1,a2,a3,.an而后插入n-1对括号和n-1个号使得每对括号都指定两个因子的乘积,例如其中就有:(a1(a2(a3(a4(a5(a6.).)一种乘法格式。我们利用归纳法来验证递推关系：,36,i)取a1,a2,a3,.an-1的一种乘法格式(它有n-2次乘法和n-2组括号),将an插入到n-2个乘法运算中任一个号两侧的任一侧，有：2(n-2)种；对于任一个乘法因子(括号)由分左右两侧，所以共有:22(n-2)种ii)取a1,a2,a3,.an-1的一种乘法格式,将an放到整个表达式两侧的任一侧。又有2倍种。,37,由h3=12，分析任一中乘法格式(a1(a2a3),可以有10个位置插入a4故h4=(4*46)*12=120由此可见，序列hn与拟-Catalan数有相同的递推关系，故有：,则：hn=22(n-2)hn-1+2hn-1从而hn=(4n-6)hn-1n2,38,上例中我们只考虑了对以规定顺序a1,a2,a3,.an列成的n个数的那些乘法格式进行计数,例如统计了：a1,a2,a3而没有考虑a2,a3,a1;令gn是表示带有这种附加限制的乘法格式数,将这n个数全排：hn=n!gn,因此，我们有：,39,这个序列关系与凸(n+1)边形区域通过在区域内插入n个不相交的对角线而分成三角形区域的方法数相同。,这是n=7的情况,因为构造三角形的三个顶点没有次序区分.,40,总结,本次课我们介绍了Catalan数序列和拟-Catalan数序列等知识。由于它们的递推关系是非线性的，生成函数和序列通项显的比较特殊。可以牢记Catalan数序列和拟-Catalan数序列的固定公