（通用版）高三数学二轮复习第1部分专题2突破点4等差数列、等比数列理.doc

专题二数列建知识网络明内在联系 高考点拨数列专题是高考的必考专题之一，主要考查等差、等比数列的基本量运算及数列求和的能力，该部分即可单独命题，又可与其他专题综合命题，考查方式灵活多样，结合近几年高考命题研究，为此本专题我们按照“等差、等比数列”和“数列求和”两条主线展开分析和预测突破点4等差数列、等比数列提炼1等差数列、等比数列的运算(1)通项公式等差数列：ana1(n1)d；等比数列：ana1qn1.(2)求和公式等差数列：Snna1d；等比数列：Sn(q1)(3)性质若mnpq，在等差数列中amanapaq；在等比数列中amanapaq.提炼2等差数列、等比数列的判定与证明数列an是等差数列或等比数列的证明方法：(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；利用中项性质，即证明2anan1an1(n2)(2)证明an是等比数列的两种基本方法利用定义，证明(nN*)为一常数；利用等比中项，即证明aan1an1(n2).提炼3数列中项的最值的求法(1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f(n)an，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限制(2)利用数列的单调性求解，利用不等式an1an(或an1an)求解出n的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值(3)转化为关于n的不等式组求解，若求数列an的最大项，则可解不等式组若求数列an的最小项，则可解不等式组求出n的取值范围之后，再确定取得最值的项回访1等差数列基本量的运算1(2016全国乙卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100 B99C98 D97C法一：an是等差数列，设其公差为d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199198.故选C.法二：an是等差数列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差数列an中，a5，a10，a15，a100成等差数列，且公差da10a5835.故a100a5(201)598.故选C.2(2013全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3 B4C5 D6Can是等差数列，Sm12，Sm0，amSmSm12.Sm13，am1Sm1Sm3，dam1am1.又Sm0，a12，am2(m1)12，m5.3(2013全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_49设等差数列an的首项为a1，公差为d，由等差数列前n项和可得解得nSnn2a1d3n2(n3n2)n3，(nSn)n2，令(nSn)0，解得n0(舍去)或n.当n时，nSn是单调递增的；当0n时，nSn是单调递减的，故当n7时，nSn取最小值，(nSn)min7349.回访2等比数列基本量的运算4(2015全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21 B42C63 D84Ba13，a1a3a521，33q23q421，1q2q47，解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故选B.5(2016全国乙卷)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_64设等比数列an的公比为q，则由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2anaq12(n1)23n23n2n.记t(n27n)，结合nN*可知n3或4时，t有最大值6.又y2t为增函数，从而a1a2an的最大值为2664.热点题型1等差、等比数列的基本运算题型分析：以等差(比)数列为载体，考查基本量的求解，体现方程思想的应用是近几年高考命题的一个热点，题型以客观题为主，难度较小.(1)已知等比数列an的前n项和为Sn，a1a330，S4120，设bn1log3an，那么数列bn的前15项和为()A152 B135 C80 D16(2)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1()A2 B2 C. D(1)B(2)D(1)设等比数列an的公比为q，由a1a330，a2a4S4(a1a3)90，所以公比q3，首项a13，所以an3n，bn1log33n1n，则数列bn是等差数列，前15项的和为135，故选B.(2)由题意知S1a1，S22a11，S44a16，因为S1，S2，S4成等比数列，所以SS1S4，即(2a11)2a1(4a16)，解得a1，故选D.在等差(比)数列问题中最基本的量是首项a1和公差d(公比q)，在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组，从而求出这两个量，那么其他问题也就会迎刃而解这就是解决等差、等比数列问题的基本量的方法，这其中蕴含着方程思想的运用提醒：应用等比数列前n项和公式时，务必注意公比q的取值范围变式训练1(1)已知在数列an中，a11，an1an3，Sn为an的前n项和，若Sn51，则n_.(2)(名师押题)已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3，a2a4，则_.(1)6(2)2n1(1)由a11，an1an3，得an1an3，所以数列an是首项为1，公差为3的等差数列由Snn351，即(3n17)(n6)0，解得n6或n(舍)(2)q，a1a3a1a1，解得a12，an2n1，Sn4，2n1.热点题型2等差、等比数列的基本性质题型分析：该热点常与数列中基本量的运算综合考查，熟知等差(比)数列的基本性质，可以大大提高解题效率.(1)(2016南昌一模)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为() 【导学号：85952020】A. BC1 D2(2)(2015东北三校联考)设等差数列an的前n项和为Sn，且满足S150，S160，S16160，a90，d0，故Sn最大为S8.又d0，所以an单调递减，因为前8项中Sn递增，所以Sn最大且an取最小正值时有最大值，即最大，故选C.1若an，bn均是等差数列，Sn是an的前n项和，则mankbn，仍为等差数列，其中m，k为常数2若an，bn均是等比数列，则can(c0)，|an|，anbn，manbn(m为常数)，a，仍为等比数列3公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2a1，a3a2，a4a3，成等比数列，且公比为q.4(1)等比数列(q1)中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，其公比为qk.(2)等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列，公差为k2d.5若A2n1，B2n1分别为等差数列an，bn的前2n1项的和，则.变式训练2(1)(2016沈阳模拟)已知各项不为0的等差数列an满足2a2a2a120，数列bn是等比数列，且b7a7，则b3b11等于()A16 B8C4 D2(2)在等比数列an中，已知a1a38，a5a74，则a9a11a13a15()A1 B2C3 D2或4(1)A(2)C(1)an是等差数列，a2a122a7，2a2a2a124a7a0.又a70，a74.又bn是等比数列，b3b11ba16.(2)an为等比数列，a5a7是a1a3与a9a11的等比中项，(a5a7)2(a1a3)(a9a11)，故a9a112.同理a9a11是a5a7与a13a15的等比中项，(a9a11)2(a5a7)(a13a15)，故a13a151.a9a11a13a15213.热点题型3等差、等比数列的证明(2016全国丙卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解(1)证明：由题意得a1S11a1，故1，a1，故a10.1分由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.2分由a10，0得an0，所以.3分因此an是首项为，公比为的等比数列，4分于是ann1.6分(2)由(1)得Sn1n.8分由S5得15，即5.10分解得1.12分判断或证明数列是否为等差或等比数列，一般是依据等差数列、等比数列的定义，或利用等差中项、等比中项进行判断提醒：利用aan1an1(n2)来证明数列an为等比数列时，要注意数列中的各项均不为0.变式训练3(2014全国卷)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解(1)证明：由题设知anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an