2019_2020学年高中数学第1章计数原理1.5.2二项式系数的性质及应用讲义苏教版.docx

1.5.2二项式系数的性质及应用学 习 目 标核 心 素 养1.掌握二项式定理展开式中系数的规律，明确二项式系数与各项系数的区别(重点)2借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性、增减性与最大值(难点)借助杨辉三角研究二项式系数的性质，提升数学抽象、直观想象及逻辑推理素养.1杨辉三角的特点(1)每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，.(2)图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和(3)图中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大(4)第1行为120，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22，第7行的各数之和为26(如图)2二项式系数的性质(ab)n展开式的二项式系数C，C，C有如下性质：(1)CC；(2)CCC；(3)当r时，C时，CC；(4)CCC2n.思考1：杨辉三角的第n行数字规律与二项展开式有何联系？提示杨辉三角的第n行数字规律是二项式(ab)n展开式的二项式系数，即(ab)nCanCan1b1CanrbrCbn.思考2：二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，这种说法对吗？提示错误二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关1已知(ab)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于()A11B10C9D8D因为只有第5项的二项式系数最大，所以15，所以n8.2如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第_行从左到右第14与第15个数之比为23.11112113311464134设第n行从左到右第14与第15个数之比为23，则3C2C，即，解得n34.3已知(ax1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于_5二项式系数之和为CCC2n32，所以n5.与“杨辉三角”有关的问题【例1】如图，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，.记其前n项和为Sn，求S19的值思路探究由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第17项是C，第18项是C，第19项是C.解S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(CCCC)(23410)C220274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察分析；试验猜想；结论证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察如表所示：1如图所示，满足如下条件：第n行首尾两数均为n；表中的递推关系类似“杨辉三角”则第10行的第2个数是_，第n行的第2个数是_46由图表可知第10行的第2个数为：(1239)146，第n行的第2个数为：123(n1)11.二项式系数和的问题【例2】在二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和(2)各项系数之和(3)所有奇数项系数之和解设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为CCCC29.(2)各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a9(23)91.(3)令x1，y1，可得a0a1a2a959，又a0a1a2a91，将两式相加可得a0a2a4a6a8，即所有奇数项系数之和为.1(改变问法)典例中条件不变，问法改为求系数绝对值的和解法一：|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a9，令x1，y1，则|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a959.法二：|a0|a1|a2|a9|，即为(2x3y)9展开式中各项系数之和，令x1，y1得，|a0|a1|a2|a9|59.2(变换条件、改变问法)将本例二项式改为(2x3y)n，其展开式中各项的系数之和为515，试求展开式二项式系数的和解设(2x3y)na0xna1xn1ya2xn2y2anyn.令x1，y1，得a0a1a2an(23)n5n515，解得n15，展开式二项式系数的和为CCCC215.1解决二项式系数和问题思维流程2“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0可得常数项，令x1可得所有项系数之和，令x1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差二项式系数性质的综合应用探究问题1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？提示对称性，因为CC，也可以从f(r)C的图象中得到2计算，并说明你得到的结论提示.当k1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k时，二项式系数逐渐减小3二项式系数何时取得最大值？提示当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值【例3】已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项思路探究求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“”“”号解令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.(1)由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)展开式的通项公式为Tr1C3rx(52r)假设Tr1项系数最大，则有r，rN，r4.展开式中系数最大的项为T5Cx(3x2)4405x.1求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得2已知(a21)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值解由5，得Tr1C5rr5rCx，令Tr1为常数项，则205r0，所以r4，常数项T5C16.又(a21)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n16，n4.所以(a21)4展开式中系数最大项是中间项T3Ca454，所以a.1本节课的重点是二项式系数的性质及展开式的系数和问题，难点是二项式系数性质的应用2要掌握二项式系数性质的三个应用：(1)求二项展开式中系数或二项式系数的最大项，(2)求展开式的系数和，(3)二项式系数性质的应用3要重点关注以下几个易错点(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决(2)一般地，二项展开式f(x)中的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为f(1)f(1)，偶数项系数和为f(1)f(1)(3)“赋值法”是求二项展开式系数问题的常用方法，赋值就是对展开式中的字母用具体数值代替，注意赋的值要有利于问题的解决，赋值时可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况1(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()An，n1Bn1，nCn1，n2Dn2，n3C该展开式共2n2项，中间两项为第n1项与第n2项，所以第n1项与第n2项为二项式系数最大的项2已知C2C22C2nC729，则CCC的值等于()A64B32C63D31BC2C22C2nC(12)n3n729，n6，CCC32.3已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若a280，则a0a1a2a5_.1(ax)5展开式的通项为Tk1(1)kCa5kxk，令k2，得a2(1)2Ca380，解得a2，即(2x)5a0a1xa2x2a5x5，令x1，得a0a1a2a51.4在8的展开式中，(1)求系数的绝对值最大的项；(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项解Tr1C()8rr(1)rC2rx4.(