阅读与思考割圆术

割圆术潮州市金山中学陈栩林,“圆周率”是圆的周长同它的直径固定的比例，在解决有关圆和球的计算问题中是非常重要的一个常数。在古代，各国数学家都把求出的尽量准确的值作为一个重要课题。历史上对于的研究，在一定程度上反映了一个时代或地区的数学和计算技术发展的水平。我国最早采用的值为3，即所谓“径一周三”（直径为1，周长为3），实际上就是将圆的内接正六边形周长作为圆的周长，从而求出圆周率。后来，人们发现这个说法并不准确。东汉的大科学家张衡认为应该是3.162。三国到西晋时期的数学家刘徽经过计算，求出了3.14159的圆周率，这在当时是最先进的。,认识圆周率,割圆术,（一）刘徽简介,（二）“割圆术”的含义,（三）割圆术的主要内容,（四）刘徽“割圆术”的意义,（五）割圆术的程序设计,（一）刘徽简介,（二）“割圆术”的含义,所谓“割圆术”，是当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，即“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”；此外，圆的内接正多边形每边外有一条余径，用边长乘以余径，加到正多边形的面积上，则大于圆的面积，这样就可以得到圆面积的上限和下限。最终，以直代曲，无限趋近，内外夹逼。,（三）刘徽“割圆术”的主要内容,1.圆内接正六边形的边长等于半径，设为1,求S6,2.作正十二边形，求得正十二边形的边长,3.逐步加倍内接正多边形的边数，不断计算面积，得到一列递增的数:S6，S12，S24，S2m,4.作高为余径AB的矩形，面积为2（S2m-Sm）,5.圆面积S满足不等式：S2mS2（S2mSm）+Sm,几何画板演示,m越大，则得到更精确地近似值,如何由正六边形边长计算正十二边形边长？,刘徽根据割圆术从圆内接正六边形算起，边数逐渐加倍，相继算出正十二边形，正二十四边形，以至于正九十六边形每边的长，并且求出正一百九十二边形的面积,得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，化成分数为。,但是刘徽只算到这里就没有继续算，南北朝时期数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求出的范围为：3.14159263.1415927,需要计算到圆内接正12288边形，是当时世界上算得最精确的数值。,失传的缀术,（四）刘徽“割圆术”的意义,刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重要的地位。他所得到的结果在当时世界上也是很先进的。刘徽的计算方法只用圆内接多边形面积，而无须外切多边形面积，这比古希腊数学家阿基米德（前287前212）用圆内接和外切正多边形计算，在程序上要简便得多，可以收到事半功倍的效果。同时，为解决圆周率问题，刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转化思想，这在一千五百年前的古代，也是非常难能可贵的。,（五）割圆术的程序设计,限于当时计算水平的因素，刘徽计算到正192边形就得到著名的“徽率”，而祖冲之计算到正12288边形得到高精确度的“祖率”。如今，我们可以利用计算机模拟“割圆术”进行计算，方便快捷。,那么，如何设计算法，从而设计程序语句呢,中国古代创造了辉煌的数学成就，在数学发展的历史长河中涌现了许多杰出的数学家。先哲们分析和解决问题的历史背景、内容和方法都值得我们研究。他们的丰功伟绩值得我们崇敬，他们百折不挠的治学精神值得我们学习。,小结,作业：1.修改和完善程序语句，提现“割圆术”中“内外夹逼”。2.查看相关