第3章 刚体力学基础

第3章,刚体力学基础,刚体：理想模型，物体上各点相对位置在运动中（无论有无外力作用）保持不变.,即：在外力作用下不发生形变的物体,由无数连续分布质点组成的质点系，每个质点服从质点力学规律。,平动和转动。任何复杂的运动为两者的叠加。,基本运动规律：,3.1刚体运动的基本形式,一、刚体的自由度,自由度：确定一个物体在空间的位置所必需的独立坐标数目。,作直线运动的质点：,一个自由度,作平面运动的质点：,二个自由度,作空间运动的质点：,三个自由度,运动刚体的自由度：,自由刚体有六个自由度,三个平动自由度,三个转动自由度,O,质心C：（x、y、z）,质心轴：（、）,对轴转动：（）,只、独立,平动：刚体在运动过程中，任意两点的连线始终保持平行。,注：用质点力学处理刚体平动。,二、平动和转动,转动：刚体上所有质点绕同一直线作圆周运动。这条直线称为转轴。,定轴转动：轴固定不动。,平动和转动的叠加,一般刚体运动：看成随刚体上某一点平动和绕该点的定点转动的叠加。,大小：,方向：右手螺旋法则,角速度矢量:,三、刚体定轴转动的描述,特点：刚体上各点均做圆周运动，线量不同，角量相同。,角加速度:,注意：、是矢量，在定轴转动中由于轴的方位不变，故用正负表示其方向。,注：刚体定轴转动运动学可参照质点的圆周运动。,匀变速转动（=c）规律相应的公式：,例一个以恒定角加速度转动的圆盘，如果在某一时刻的角速度为120rad/s，再转60转后角速度为230rad/s，则角加速度=_，转过上述60转所需的时间t=_。,解：由匀角加速运动公式,（1）刚体为什么会转动？（2）刚体转动状态改变的规律是什么？,3.2定轴转动定律,在转动平面内,一、对转轴的力矩,大小:方向:右螺旋方向,只有垂直转轴力能改变转动状态,用正负表示,大小:方向:右螺旋方向,二、定轴转动定律,由角动量（看成质点系）定理,质点元角动量,J为转动惯量,刚体角动量,定轴转动定律:刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。,（2）瞬时性。同一时刻对同一刚体同一转轴而言。,注意：,（1）与质点力学牛顿定律地位相当,（3）在定轴转动中，和的方向均在转轴方位，可用代数表示。,三、转动惯量,转动惯量：反映刚体转动惯性的量度,离散质量：,连续质量：,比较：,转动惯量仅取决于刚体本身性质，与刚体的质量、质量分布以及转轴的位置有关。,例：由长l的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过A垂直于该平面的轴的转动惯量。,思考：A点移至质量为2m的杆中心处J=?,解：由定义式,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,线分布,面分布,体分布,转动惯量的计算:,例：求质量m,半径R的圆环对中心垂直轴的转动惯量。,解:圆环上取微元dm,J1=mR2+m1R2,思考1.环上加一质量为m1的质点,J1=?,思考2.环上有一个x的缺口，J2=?,o,x,例：计算质量为m，长为l的细棒绕一端的转动惯量。,解：,若轴过中点：,O,平行轴定理：若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是,例：计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）,解：,摆杆转动惯量：,摆锤转动惯量：,注意:对同轴的转动惯量才具有可加减性。,（1）受力分析（2）分别列出牛顿第二定律和转动定律（3）找到角量和线量关系（4）联立方程组,转动定理的应用：,例：质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m=8kg的物体。求:（1）由静止开始1秒钟后物体下降的距离。,解：,（2）绳子的张力。,M,m,m1,M,m2,R,m2m1,解：隔离物体，受力分析。,例：,练习1：,m2,M,R,m1,m2m1,m1,M,m2,R,m,r,o,练习2：,m,m1,m2,m2m1,R1,R2,M2,M1,练习3：,例：一长为l、质量为m的匀质细杆竖直放置，可绕下端固定绞链O转动。当在重力作用下由静止转到与铅直线呈角时，求细杆的角加速度和角速度。,解：重力与约束力对轴的力矩,由转动定律,（1）始末位置的角加速度？（2）始末位置的角速度？,问题：,分离变量,进行变换,例一长为l的轻质细杆，两端分别固定质量为m和2m的小球，此系统可在竖直平面内，绕过中点O的光滑水平固定轴转动。当杆转到如图所示的水平位置时，该系统所受的合外力矩M=_；角加速度=_。,解：系统转动惯量为两小球转动惯量之和,合外力矩为,由转动定律,例：电风扇在开启电源后，经过t1时间达到了额定转速，此时相应的角速度为0。当关闭电源后，经过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为J。并假定摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据已知量推算电机的电磁力矩。,解：开启电源,关闭电源：,解得：,3.3角动量守恒定律,一、刚体的角动量定理,角动量定理：某段时间内，外力的冲量矩等于刚体的角动量增量。,刚体的角动量：,二、刚体角动量守恒定律,刚体角动量守恒定律：合外力矩对刚体转轴为零，则刚体对该轴角动量守恒。,物体系的角动量守恒：由多个质点或刚体构成的系统，所受对同一转轴的合外力矩为零，则物体系对该转轴的角动量守恒。,3.物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速度的乘积不变。,2.有心力:外力与位矢平行或反平行,说明：,角动量守恒演示:,银河系的盘状结构,天文上的角动量守恒例证：,恒星主要由遍布宇宙的极其弥漫的气体（氢气）形成。,引力坍缩物质由于引力吸引而下落聚集到一起。太阳系和地球就是以此方法诞生。,例质量为M、长为l的棒，可绕通过棒中心且与棒垂直的固定轴O，在水平面内无摩擦转动。开始时棒静止，现有一质量为m的子弹，在水平面内以速度v0垂直射入棒端并嵌在其中。求：（1）子弹嵌入棒后系统绕O轴的转动惯量J；（2）子弹嵌入后，棒的角速度。,解：（1）系统绕O轴的转动惯量,（2）角动量守恒,例：半径R，质量M的匀质实心球以0通过中心轴旋转，与质量m速度v0的泥巴发生碰撞，碰撞后泥巴粘在球边缘，求碰撞后系统角速度。,v0,0,Mg,轴力,mg,解：,M、m系统所受合外力矩为零,角动量守恒：,例：质量为M，半径为R的水平转台绕竖直光滑轴以角速度0逆时针转动，质量为m的人在R/2处以速度v相对盘运动，求下列情况时圆盘角速度（1）人沿半径走到边缘（2）人沿半径走到中心,解：,（1）,角动量守恒,（2）人沿半径走到中心,例有一半径为R的匀质水平转台，可绕过盘心O的竖直固定轴OO转动，转动惯量为J台上有一质量为m人，当他站在转盘中心时，转台以1的角速度转动，如图。若转轴处摩擦可以忽略，问当人走到转台边缘时，转台和人一起转动的角速度2=_。,解：合外力矩为零，角动量守恒,质元的动能：,刚体的总动能：,一、刚体的定轴转动动能,3.4刚体定轴转动的机械能和力矩的功,结论：转动动能是刚体上所有质点元的动能之和,力的功,力矩的功,z,d,动能定理：合外力矩对刚体做的功等于刚体转动动能的增量。,二、刚体定轴转动的动能定理,三、刚体的重力势能,结论：刚体的重力势能应等于质量集中于质心的重力势能,刚体的机械能:,只有保守内力做功，机械能守恒。,动能定理（刚体）,功能原理（刚体与地球系统）,A,例均匀细杆OA可通过其一端O点，在竖直平面内转动，如图所示。现在使杆由水平位置从静止开始自由下摆，在杆摆到竖直位置的过程中，下列说法正确的是：（A）角速度从小到大，角加速度从大到小；（B）角速度从小到大，角加速度从小到大；（C）角速度从大到小，角加速度从大到小；（D）角速度从大到小，角加速度从小到大。,解：由转动定律,由机械能守恒,例.一质量为M，半径R的圆盘，盘上绕细绳，一端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？,m,M,m,解：,解得：,系统机械能守恒,例：设某机器上的飞轮的转动惯量为J，其在制动力矩（K=常量）的作用下，角速度由减小到，问此过程所需的时间和制动力矩所作的功各为多少？,解：由转动定律,积分：,得：,再由转动动能定理得,例.一长为l，质量为M的杆可饶支点o自由转动。一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为30。问子弹的初速度为多少。,解：,角动量守恒：,机械能守恒：,刚体定轴转动与直线运动作比较,求轴力,求轴力,3.5陀螺的运动进动,设陀螺质量为m，以