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6.3泰勒公式,一、问题的提出,在理论分析和近似计算中，常希望能用一个简单,我们已经介绍了用线形函数（一次多项式）来近似,的函数来近似的表示一个比较复杂的函数。,表示函数的方法.,不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计。,分析:,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,考虑,(2),且,且：,.,(3),三、泰勒(Taylor)中值定理,证明,三、泰勒(Taylor)中值定理,泰勒(Taylor)中值定理,其中,证明:,阶导数,且,的区间上满足柯西中值定理的条件,得,的区间上满足柯西中值定理的条件,得,拉格朗日形式的余项,皮亚诺形式的余项,注1：公式,称为f(x)按xx0的幂展开的n次近似多项式.,称为f(x)按xx0的幂展开的n阶泰勒公式.,其中:,若对于某个固定的n,当x在开区间(a,b)内变动时，,则，,称为皮亚诺型余项.,称为拉格朗日型余项.,注2:,注3：当n=0时,泰勒公式即为拉格朗日中值定理.,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.,注4：当x0=0时,麦克劳林(Maclaurin)公式:,估计式,四、泰勒公式的两种特殊形式,上式称为麦可劳林公式，由此可得近似公式：,类似的，上式右端的多项式称为f(x)的麦可劳林,多项式，此时，误差估计式相应变成：,麦可劳林公式在应用中尤为重要。,例1.写出f(x)=ex的n阶麦克劳林公式.,解：,所以,当x=1时,当n=10时,解,例3.求f(x)=sinx展开到n阶的麦克劳林公式,解：因为,所以m=1,m=2,m=3,常用函数的麦克劳林展开式,1.f(x)=cosx,(在0与x之间),规定：如果对近似值要求绝对误差限为k-n则原始数据与中间计算都按4舍5入取n+1位小数,最后结果舍入成n位小数.,例3.求sin100的近似值,要求误差不超过510-6,解：取函数f(x)=sinx.,取x0=0,当n=2时,当n=4时,解,解,例6,解,解
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