《计算机数学基础》-第2章导数与微分

,1.1导数的概念1.2导数的运算1.3微分,结束,第2章导数与微分,对于匀速直线运动来说，其速度公式为:,一物体作变速直线运动，物体的位置与时间,的函数关系为,称为位置函数,2.1.1引例,例1变速直线运动的速度,2.1导数的概念,瞬时速度,时刻的瞬时速度，即,例2平面曲线的切线斜率曲线的图像如图所示,在曲线上任取两点和，作割线，割线的斜率为,这里为割线MN的倾角，设是切线MT的倾角，当时，点N沿曲线趋于点M。若上式的极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线MT的斜率，即,定义设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，属于该邻域，记若存在，则称其极限值为y=f(x)在点x0处的导数，记为,或,2.1.2导数的概念与几何意义,1.导数的概念,导数定义与下面的形式等价：,若y=f(x)在x=x0的导数存在，则称y=f(x)在点x0处可导，反之称y=f(x)在x=x0不可导，此时意味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.,2.左导数与右导数左导数:,右导数:,显然可以用下面的形式来定义左、右导数,定理3.1y=f(x)在x=x0可导的充分必要条件是y=f(x)在x=x0的左、右导数存在且相等.,3.导数的几何意义,当自变量从变化到时，曲线y=f(x)上的点由变到,此时为割线两端点M0，M的横坐标之差，而则为M0，M的纵坐标之差，所以即为过M0，M两点的割线的斜率.,曲线y=f(x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲线y=f(x)无限接近时的极限位置M0P，因而当时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：,所以，导数的几何意义是曲线y=f(x)在点M0(x0,f(x0)处的切线斜率.,M0,M,设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：而当时,曲线在的切线方程为,(即法线平行y轴).,当时,曲线在的法线方程为,而当时,曲线在的法线方程为,例3求函数的导数解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取极限:同理可得:特别地,.,例4求曲线在点处的切线与法线方程.解:因为,由导数几何意义,曲线在点的切线与法线的斜率分别为:于是所求的切线方程为:即法线方程为:,即,2.1.3可导性与连续性的关系,定理2若函数y=f(x)在点x0处可导，,则f(x)在点x0处连续.,证因为f(x)在点x0处可导，故有,根据函数极限与无穷小的关系,可得:,两端乘以得:,由此可见:,即函数y=f(x)在点x0处连续.证毕.,例5证明函数在x=0处连续但不可导.,证因为,所以在x=0连续,而,即函数在x=0处左右导数不相等,从而在,x=0不可导.,由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件,即可导定连续,连续不一定可导.,2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则,2.2求导法则,特别地,如果,可得公式,注：法则（1）（2）均可推广到有限多个可导函数的情形,例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导，则,解：,例2设,解：,例1,解：,即,类似可得,例3求y=tanx的导数,解：,即,类似可得,例4求y=secx的导数,2.2.2复合函数的导数,例7,解：,解：,例6,证因为的反函数,或,2.2.3反函数的求导法则,因此在对应的区间（-1，1）内有,即,同理,基本导数公式表,2.2.4基本初等函数的导数,解：,例5,1.隐函数的导数,例9求方程所确定的函数的导数,解：,方程两端对x求导得,2.2.5隐函数和由参数方程确定的函数的导数,隐函数即是由所确定的函数，其求导方法就是把y看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出。,即,例10,解一,例11,两边对x求导，由链导法有,解二称为对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导,注：,解二,两边对x求导得,例12,此即参数方程所确定函数的求导公式,2.参数方程所确定的函数的导数,变量y与x之间的函数关系有时是由参数方程,确定的，其中t称为参数,曲线t=1在处的切线斜率为,于是所求的切线方程为y=x,n阶导数：,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,2.2.6高阶导数,解：,特别地,例15,解：,即,同理,例14,2.3.1微分的概念,2.3微分,所以上式可写成,于是,（2.3.1)式可写成,记为,上式两端同除以自变量的微分，得,因此导数也称为微商,可微函数：如果函数在区间(a,b)内每一点都可微，则称该函数在(a,b)内可微。,f(x)在(a,b)内任一点x处的微分记为,解：,于是,面积的微分为,解：面积的增量,2.3.2微分的几何意义,T,2.3.3微分的运算法则,1.微分的基本公式：,续前表,2.微分的四则运算法则,设u=u(x)，v=v(x)均可微，则,（C为常数）；,3复合函数的微分法则,利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐函数的微分.,而,解：,解：对方程两边求导，得,即导数为,微分为,例4,由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常把函数的导数与微分的运算统称为