现代控制理论第1章

现代控制理论,第一章状态空间模型1.1概述,一.现代控制理论的研究对象,研究对象：线性动态系统，多变量系统线性系统基本特征：满足叠加原理（齐次性，可加性）线性系统分为线性定常系统，线性时变系统，本课程主要研究对象是线性定常系统,二.主要任务,研究任务1：线性系统状态的运动规律-分析问题，包括定量分析（系统响应）与定性分析（稳定性，能控性，能观性）研究任务2：改变运动规律的可能性与方法-综合问题，包括状态反馈，观测器的设计,三.现代控制理论分支与古典控制比较,发展：经典-1960年以前现代-1960年以后标志：卡尔曼（R.E.Kalman)以文章“控制系统的一般理论”（国际自动控制联会第一届大会上发表）为标志，第一次提出“现代控制理论”,现代控制理论主要包括以下五大分支：线性系统理论系统辨识最优滤波理论最优控制自适应控制,现代控制与古典控制比较古典控制-模型：传递函数；数学基础：拉氏变换方法：复频域分析法适用范围：单输入-单输出线性定常系统,现代控制-模型：状态空间描述，引入能控性与能观性两个表征系统结构特性的重要指标，研究“内部”代替古典“外部”适用范围：单输入-单输出，多输入-多输出线性定常、时变系统方法：时域分析法，微分方程,四.课程地位,专业基础理论课程现代控制理论的其它分支：最优控制，系统辨识，最优估计，随机控制，非线性系统，线性系统理论是基础,五.课程要求,1.对重要的概念和结论，既要掌握它的物理意义，又要注意其形式化数学描述2.课后作业按时完成3.考核方式：平时（20%）+半期（10%）+期末（70%，闭卷）,1.2控制系统的状态空间描述,状态空间描述特点：1.给出了系统的内部结构信息2.形式简洁，便于计算机计算,1.2.1状态的基本概念,一.状态与状态向量,例：设质量为的小球在光滑的水平面上作直线运动，为作用在小球上的水平外力，为小球的水平运动速度，为小球在选定坐标系下的水平位移。如忽略小球运动时的摩擦和所遇到的空气阻力，根据牛顿第二定律，可列出小球运动的微分方程,上式是一个一阶微分方程。如果选取小球的水平位移作为输出量，描述小球运动的微分方程可变成为一个二阶微分方程,状态变量的特点独立性：状态变量之间线性独立。多样性：状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷多种方案。等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异变换。现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量。抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义。,1.2.2状态空间方程,一.系统动态过程的数学描述,1.系统的外部描述,2系统的内部描述,状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征状态方程和输出方程，涉及到三种变量：输入变量，输出变量，状态变量,状态方程：描述系统状态与输入之间关系的一阶微分方程（组）,输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式：,3.外部描述和内部描述的比较,一般来说：外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分。内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性。,连续时间线性系统的方块图,五.动态系统状态空间描述的分类,1.线性系统和非线性系统,状态空间描述一般形式：,向量函数：,若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元素为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统。非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统。若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统,对于线性系统,2.时变系统和时不变系统,若向量f,g显含时间变量t,即,该系统称为时不变系统,若向量f,g不显含时间变量t,即,该系统称为时变系统,3.连续时间系统和离散时间系统,当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统。当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统。,4.确定性系统和不确定性系统,确定性系统：当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的.,不确定性系统：或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量,1.3控制系统的状态空间模型建立描述,选择状态变量：,例1.列写下面RLC网络系统的状态空间表达式,一.根据系统的物理机理建立状态空间表达式,建模：物理机理建模与系统微分方程建模,整理得：,写成矩阵形式,二.根据系统微分方程建立状态空间表达式,传递函数描述,可以导出其状态空间描述为,单输入,单输出线性时不变系统的微分方程描述,1.不含作用函数导数项时系统的状态选取,此时输入输出描述为:,选取n个状态变量,其对应的状态空间描述为:,说明：1.状态空间描述采用向量方程形式，维数增加，并不增加表达形式上的复杂性。2.状态空间描述是一种内部描述模型，由两个方程构成状态方程：反映内部状态变量组和输入变量组间因果关系。输出方程：状态变量组及输入量和输出变量组间转换关系。,例2考虑系统,试写出系统状态空间表达式，并画出系统结构图。,2.含作用函数导数项时n阶系统的状态空间表达式,方法一：选取状态变量为,代入系统运动方程可得,输出方程,状态方程,例4.列写出状态空间表达式,方法二,由（1）,由（2）,（3）中，选取,状态方程,将（3）,（5）代入（4）,例5.列写出状态空间表达式,三.由系统结构图建立状态空间描述,例6.设系统方块图如下，试列写其状态空间描述,先分析典型环节,这是一个一阶微分方程，选取状态变量,指定状态变量组后，列写变量间的关系方程：,写成矩阵形式,例7：设单输入单输出系统的传递函数为,试列写其状态空间表达式。,解：,可画出系统结构图如下,写出变量之间的关系,课堂练习：已知系统方框图，求系统传递函数矩阵,四.系统传递函数阵与状态空间表达式的相互转换,1.从状态空间表达式求取传递函数矩阵,拉氏变换,设初始条件,说明：系统状态变量选择不唯一，故建立的系统状态空间表达式不唯一，但同一系统的传递函数阵却是唯一的。,可见，同一系统，其传递函数阵是唯一的。,解：,（1）子系统并联,由图可知：,并联后组合系统的状态空间表达式,方法1：,方法2：,(2)子系统串联,由图可知：,子系统串联以后组合系统的状态空间表达式,传递函数,注意顺序不能反。,由图可知：,反馈组合系统的状态空间表达式,传递函数,课堂练习：,试分别求串联、并联系统的状态空间表达式与传递函数,五.系统状态空间表达式的标准型,1.系统状态空间表达式的非唯一性,状态变量选择是非唯一的，描述同一系统的不同状态变量之间的关系是什么？同一系统的不同形式的状态空间表达式可否相互转换？如何建立状态空间表达式的标准型？,例9.系统矩阵为,试求其特征值与特征向量,4.将状态方程化为对角线标准型,定理1：对于线性定常系统，若系统的特征值,互异，,则必存在非奇异线性变换,可将状态方程化为对角线标准型。,证明：,例10.系统状态空间表达式为,试化为对角线标准型,特别的，如果系统矩阵为如下友矩阵形式,并且，其特征值,互异，则对角标准型,的变换矩阵P为Vandermonde（范德蒙德）矩阵,例11.把系统状态空间表达式化为对角线标准型,6.将状态方程化为Jordan（约当）标准型,定理2：当系统矩阵A的特征值有重根时，存在非奇异变换P，可将A化为约当标准型J。矩阵J为主对角线上为约当块的准对角型矩