2016届内蒙古包头市高三学业水平测试与评估二数学理试题解析版

1页2016年包头市高中毕业年级学业水平测试与评估（二）理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合2|80,3,1,AXB，则AB（）A1,3BC3,5D,5【答案】C【解析】试题分析因为2|80|42,3,1,5AXXB或，所以AB3,5，故选C考点1、集合的表示；2、集合的交集2若复数312ZBI是纯虚数BR，则Z（）A1B2C3D4【答案】D考点1、复数的运算；2、复数的模及纯虚数的概念3设,DEF分别为ABC三边,AB的中点，则EFC（）ABBDC12BD12【答案】B【解析】试题分析因为,DEF分别为ABC三边,AB的中点，所以由向量运算的三角形法则及平行四2页边形法则可知EBFC1122ACABCAD，故选B考点1、向量运算的三角形法则；2、向量运算的平行四边形法则4已知,ABC分别为内角,B的对边，2SINISN，且1,COS4AB，则（）A2B12C3D13【答案】A考点1、正弦定理的应用；2、余弦定理的应用5对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位分）进行统计得到如下折线图下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（）个甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间10,2内；乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分A1B2C3D4【答案】C【解析】试题分析甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，错误；3页根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间10,2内，正确；乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，正确；乙同学在这连续九次测验中的最高分大于130分与最低分低于90分，最高分与最低分的差超过4分，故正确故选C考点1、折线图的应用；2、线性相关及平均数和极差6某几何体的三视图如图所示（单位CM），则这个几何体的体积为（）A316CMB320CMC324CMD0【答案】C考点1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式7执行如图所示的程序框图，如果输入的02T，则输出的N（）A6B7C8D9【答案】A【解析】4页试题分析因为第一次执行循环体后，1,24SMN；第二次执行循环体后，1,248SMN；，第六次执行循环体后，1,6628N；满足退出循环的条件，故输出的6，故选A考点1、程序框图；2、循环结构【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点1不要混淆处理框和输入框；2注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；3注意区分当型循环结构和直到型循环结构；4处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；5要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可8已知函数314FXA，若X轴为曲线YFX的切线，则A的值为（）A12B2C34D14【答案】D考点导数的几何意义及函数的图象和性质9实数,XY满足10236Y，若2XYM恒成立，则实数的取值范围是（）A9,B1,C5,3D1,3【答案】A【解析】试题分析因为实数,XY满足10236Y，画出可行域如图，由图可知，当经过点3,0时，5页32XY有最大值9，所以M，故选A考点1、线性规划的应用；2、不等式恒成立问题10已知双曲线210,XYAB的两条渐近线均和圆2650CXY相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A2154XYB2145XYC2136XYD263【答案】A考点1、待定系数法求双曲线的方程；2、圆的方程、双曲线的渐近线及点到直线的距离公式11在正三棱锥SABC中，MN、分别是棱SCB、的中点，且MNA，若侧棱23S，则此正三棱锥的外接球的体积是（）A12B32C36D48【答案】C【解析】6页试题分析因为MN、分别是棱SCB、的中点，所以MNSB，又AM，所以SBN，因为SABC是正三棱锥，所以A，所以面AC，,C，由正三棱锥的性质得，因此是棱长为23正方体的一角，其外接球也即是正方体的外接球，22224336R，R，346V，故选C考点1、线面垂直的判定和性质；2、外接球的体积【方法点睛】本题主要考查线面垂直的判定和性质及三棱锥外接球体积的求法，属于难题要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有若三条棱两垂直则用224RABC（,A为三棱的长）；若SA面BC（SA），则224RRA（为ABC外接圆半径）；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径12设函数FX是函数FXR的导函数，02,XFFXFE，则使得2FE成立的的取值范围是（）A0,B1,C,1D【答案】A考点1、利用导数研究抽象函数的单调性；2、函数的求导法则及构造函数解不等式【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则及构造函数解不等式，属于难题求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手根据导函数的“形状”变换不等式“形状”以构造恰当的函数；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造合适的函数第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）7页13341XY的展开式中2XY的系数是_【答案】8【解析】试题分析341XY的展开式中2XY的系数是234618C，故答案为18考点二项展开式定理的应用14函数SIN0,2FXAX的部分图象如图所示，则此函数的解析式为F_【答案】2SIN4X考点三角函数的图象和性质15一条斜率为1的直线L与曲线1XCYE和曲线24YX分别相切于不同的两点，则这两点间的距离等于_【答案】2【解析】试题分析因为XYE，所以1,0XYE，1Y，切点为0,，24YX，12,2YX，切点,，两点间距离公式得，这两点间的距离为，故答案为2考点1、利用导数求切点坐标；2、两点间距离公式【方法点睛】本题主要考查利用导数求切点坐标、两点间距离公式，属于难题应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面1已知切点0,AXF求斜率K,即求该点处的导数8页0KFX；2己知斜率K求切点1,AXF即解方程1FXK；3已知切线过某点1,MF不是切点求切点,设出切点0,F利用100FFXF求解16已知椭圆E的中心为原点，3,F是E的焦点，过F的直线L与E相交于,AB两点，且中点为2,1，则的离心率E_【答案】考点1、椭圆与直线的位置关系；2、椭圆的离心率及“点差法”的应用【方法点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系、椭圆的离心率及“点差法”的应用，属于难题对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为设点（即设出弦的两端点坐标）；代入（即代入圆锥曲线方程）；作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）已知数列NA的前项和为NS，112,0,2NNNAAPS，其中P为常数（1）证明2P；（2）是否存在，使得N为等差数列并说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在2，使得数列NA为等差数列【解析】试题分析（1）1121,NNNNAPSAPS两式相减,即可化为2NAP；（2）由题设12,A，可得2由（1）9页知，2AP，令212A，解得P,故2NA,再证21NA、2N为等差数列，进而N为等差数列试题解析（1）由题设，1121,NNNNSS，两式相减得12NAPA，由于10N，所以N考点1、等差数列的定义；2、公式12NNAS的应用18（本小题满分12分）如图1，已知矩形ABCD中，2,A，EF、分别是,ADBC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿将矩形FE折起，使平面B与平面所成角为60，在图2中（1）求证BOD；（2）求平面与平面FC所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）310页试题解析（1）由题设知，2123ODE，2123OBF，213OBF，连接D，在RTC中，226BC，所以226，由勾股定理的逆定理可知DB（2）以F为坐标原点，FE、分别为Y轴，Z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系FXYZ，根据题设可知，20,1,0,2,0,OBF，所以62,1BDFO，设平面O的法向量为,NXYZ，则0NDB，即620XY，令2Y，可得6,2X，所以可取,N，另外FO为平面C的法向量所以3COS,NFO，所以平面DB为平面F所成角的余弦值为3考点1、勾股定理的应用；2、空间向量夹角余弦公式19（本小题满分12分）下表是某班（共30人）在一次考试中的数学成绩和物理成绩（单位是分）学号12345678910111213141511页数学成绩11410611577869095869779100787711360物理成绩724951295749622263294221374621学号161718192021222324252627282930数学成绩897482956487566543646485665651物理成绩654533282928393445353534202939将数学成绩分为两个层次数学（大于等于80分）与数学（低于80分），物理也分为两个层次物理（大于等于59分）与物理（低于59分）（1）根据这次考试的成绩完成右边2列联表，并运用独立性检验的知识进行探究，可否有95的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”物理物理合计数学4数学15合计30（2）从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩，记为数学与物理成绩都达到层次的人数，求的分布列与数学期望可能用到的公式和参考数据2K统计量22ABCDABC，独立性检验临界表（部分）20PKK0150010000500025001020722706384150246635【答案】（1）有95的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”；（2）分布列见解析，16435E【解析】试题分析（1），由公式得2304156041382K即可得结论；（2）先由排列组合知识算出各随机变量的概率，再根据期望公式求得试题解析（1）由题得如下列联表物理物理合计12页数学41115数学01515合计42630假设数学成绩与物理成绩无关，由公式得2301560413842K，根据所给参数可知数学成绩与物理成绩无关的概率小于5，故而有95的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”考点1、独立性检验的应用；2、随机变量的分布列与期望20（本小题满分12分）已知抛物线20CXPY的焦点为F，直线4X与轴的交点为H，与C的交点为Q，且3QFH（1）求的方程；（2）过的直线L与C相交于AB、且与C相切的直线12,L相交于点R，求ABS的最小值13页【答案】（1）24XY；（2）8试题解析（1）设04,QY，代入2XPY，得08，所以088,2PHF，由题意可知，3，解得2，所以C的方程为24XY（2）设12,2ABLKX，由24YKX，消去Y，得480，所以112,8X，由24Y，得4Y，所以211118XLX，2222448XLYXY，由1L和2的方程解得1212,K，所以点R的坐标为,K，设2,K到L的距离为D，则2211KK，又22141ABXK，14页所以3222141182RABSDKK，故当0K时，RAB取得最小值8考点1、待定系数法求抛物线方程及韦达定理、弦长公式；2、及点到直线距离公式解析几何的最值问题【方法点晴】本题主要考查待定系数法求抛物线方程、韦达定理和弦长公式解析几何的最值问题，属于难题解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法求最值本题（2）就是用的这种思路，利用单调性法求AB最大值的21（本小题满分12分）已知函数2LN,2LN,L20693XFXMXGEMR（1）讨论的单调性；（2）若FX的最大值M，X存在最小值N，且M，求证2EM【答案】（1）当0M时，F在0,上单调递减，当0时，FX在0,单调递增，FX在,单调递减；（2）证明见解析【解析】试题分析（1）先求2XF，讨论0M和两种情况，分别令0,FX得减区间，0,FX得增区间；（2）由（1）可知LNMF，且002LNNGEMX，（0为XUEM的极值点），由题设N，即002LNLXME，将0X代入上式，得01X，则02X15页（2）由题设有2XEMG，若0M，,在其定义域0,上单调递增，无最小值，由（1）可知此时FX无最大值，故而令2,XXUEUE，又202,10MUMUE，故唯一存在0,，使得0，即0XEM，列表如下X0,0X0,U0GX0递减最小值递增由（1）可知LNMFM，且002LNXNGEM，由题设N，即002LLXME，将0X代入上式有0000LNLN22XXXXEE，化简得003LL1X16页构造函数23LNLN1XHX，1LL2，易知HX为单调递增函数，又311LN24LN20H，而当90,5LN208，则唯一存在0,T，使得HT，则当,XTX递减，当X，X，递增又1L2H，故0X只会在,T有解，而3LNL12LN0，故（）的解为0X，则0XEM考点1、利用导数研究函数的单调性及最值；2、利用导数证明不等式【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、利用导数证明不等式，属于难题利用导数研究函数FX的单调性进一步求函数最值的步骤确定函数FX的定义域；对FX求导；令0F，解不等式得的范围就是递增区间；令0F，解不等式得的范围就是递减区间；根据单调性求函数FX的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值，闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分解答