2016年数学理高考真题分类汇编：专题05圆锥曲线理科

圆锥曲线1【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,2213XYMN则N的取值范围是（A）（B）（C）（D）1,3,30,0,【答案】A考点双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题注意双曲线的焦距是2C不是C,这一点易出错2【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则28130XY10AXYA（）（A）（B）（C）（D）24334【答案】A【解析】试题分析圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得22X1Y41,4，解得，故选A241AD3A考点圆的方程、点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法1几何法由圆心到直线的距离D与半径长R的大小关系来判断若DR，则直线与圆相离；若DR，则直线与圆相切；若D0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交提醒直线与圆的位置关系的判断多用几何法3【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M2P0YX是线段PF上的点，且2,则直线OM的斜率的最大值为MF（A）（B）（C）（D）1322【答案】C【解析】考点抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点的坐标，P利用向量法求出点的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率用参数MK表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值T4【2016高考新课标2理数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与12,F21XYEABME1F轴垂直，,则的离心率为（）X21SIN3E（A）（B）（C）（D）23【答案】A【解析】试题分析因为垂直于轴，所以，因为，即1MFX221,BBMFA21SIN3MF，化简得，故双曲线离心率选A2123BABA1E考点双曲线的性质离心率【名师点睛】区分双曲线中A，B，C的关系与椭圆中A，B，C的关系，在椭圆中A2B2C2，而在双曲线中C2A2B2双曲线的离心率E1，而椭圆的离心率E0，15【2016高考浙江理数】已知椭圆C1Y21M1与双曲线C2Y21N0的焦点重合，E1，E2分XX别为C1，C2的离心率，则（）AMN且E1E21BMN且E1E21DM0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的241XY圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2B，则双曲线的方程为（）（A）（B）（C）（D）2431YX2341YX241XYB241XY【答案】D【解析】试题分析根据对称性，不妨设A在第一象限，,XY224XYBB，故双曲线的方程为，故选D221614BXY214XY考点双曲线渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点1确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定A，B的值，常用待定系数法2利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为AX2BY21AB0若已知渐近线方程为MXNY0，则双曲线方程可设为M2X2N2Y2011【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，OYF21AB0直线与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是2BY,BC90【答案】63【解析】由题意得，因此3,C,22BBBAA22236033BCACAE考点椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出，这注重考,C查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于的,AC,A一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值12【2016高考天津理数】设抛物线，（T为参数，P0）的焦点为F，准线为L过抛物线上一点2XPYA作L的垂线，垂足为B设C（P,0），AF与BC相交于点E若|CF|2|AF|，且ACE的面积为，则P7232的值为_【答案】6考点抛物线定义【名师点睛】1凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理2若PX0，Y0为抛物线Y22PXP0上一点，由定义易得|PF|X0；若过焦点的弦AB的端点坐标为P2AX1，Y1，BX2，Y2，则弦长为|AB|X1X2P，X1X2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到13【2016高考山东理数】已知双曲线E（A0，B0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，2YAB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_【答案】2【解析】试题分析假设点A在第一象限，点B在第二象限，则，所以，2BAC,A2B,A2B|ABA，由，得离心率或（舍去），所以E的离心率为2|BC2C3C22CABE1考点双曲线的几何性质【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等14【2016年高考北京理数】双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边21XYAB0ABOA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_A【答案】2【解析】试题分析是正方形，即直线方程为，此为双曲线的渐近线，因此OAC45AOAYX，又由题意，故填2AB2B22AA考点双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容对渐近线1掌握方程；2掌握其倾斜角、斜率的求法；3会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，时为椭圆，当时为12BYAX0ABA0AB双曲线15【2016高考江苏卷】在平面直角坐标系XOY中，双曲线2173XY的焦距是_【答案】210【解析】试题分析故答案应填，2227,3,7310,210ABCABCC210焦距为2C来源学优高考网考点双曲线性质【名师点睛】本题重点考查双曲线基本性质，而双曲线性质是与双曲线标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中量所对应关系是解题关键揭示焦点在X轴，实轴长为，虚轴长为，210,XYAB2A2B焦距为，渐近线方程为，离心率为2CAB2CAB16【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线L过点2150XYB（1,0）且与X轴不重合,L交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；EAB（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线L交C1于M,N两点,过B且与L垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围【答案】（）（）（II）342YX038,2【解析】试题分析根据可知轨迹为椭圆,利用椭圆定义求方程；（II）分斜率是否存在设出直线方程,当EAB直线斜率存在时设其方程为,根据根与系数的关系和弦长公式把面积表示为X斜率K的01KXY函数,再求最值学优高考网（）当与轴不垂直时,设的方程为,LXL01KXY1YXM2N由得1342YK2483422KXK则,821KX34121KX所以|2212MN过点且与垂直的直线,到的距离为,所以0,1BLM1XKYAM12K故四边形的面积34124|2KPQMPNQ34|212MNS可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为LXPN38,12当与轴垂直时,其方程为,四边形的面积为121X|M|QMPN综上,四边形面积的取值范围为PNQ38,2考点圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用17【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系中，椭圆C的离心率是，抛物线E的焦点FXOY210XYAB322XY是C的一个顶点（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的L中点为D，直线OD与过P且垂直于X轴的直线交于点M（I）求证点M在定直线上（II）直线与Y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最LF1SPD2S1大值时点P的坐标【答案】（）（）（I）见解析；（II）的最大值为，此时点的坐标为142YX12S49P41,2【解析】试题分析（）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（）（I）由点P的坐标和斜率设出直线L的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；（II）分别列出，面积的表达式，根据二次函数求最值和1S2此时点P的坐标（）（I）设，由可得，02,MPYX2X/所以直线的斜率为，L因此直线的方程为，即L2XY2MXY设，联立方程,021DXBA241XY得，144432MM由，得且，052M14231MX因此,42310X将其代入得，MY1420MY因为，所以直线方程为X410ODXY联立方程，得点的纵坐标为，MXYMM14即点在定直线上M41（II）由（I）知直线方程为，L2MXY令得，所以，0X2MY,0G又，1,PFD142,3M所以，4|21MS，18|202XPM所以，222114MS令，则，T2122TTS当，即时，取得最大值，此时，满足，21TT2149M0所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为P4,12SP41,2考点1椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2直线与圆锥曲线的位置关系；3二次函数的图象和性质【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题解答此类题目，利用的关系，确定椭圆,ABCE（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等18【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一XOYM21460XYY点2,4A（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；NXN6XN（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；OLM,BCOAL（3）设点满足存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。,0TTPQTPQT【答案】（1）（2）（3）261XY521LYXYX或2121T试题解析解圆M的标准方程为，所以圆心M6，7，半径为5,22675XY（1）由圆心在直线X6上，可设因为N与X轴相切，与圆M外切，0,所以，于是圆N的半径为，从而，解得07YY00Y01Y因此，圆N的标准方程为2261X2因为直线L|OA，所以直线L的斜率为40设直线L的方程为Y2XM，即2XYM0，则圆心M到直线L的距离26755MD因为24,BCOA而2,MD所以，解得M5或M1525M故直线L的方程为2XY50或2XY150考点直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中三个定理切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径关系上，这是解决直线与圆的根本思路对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，P这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆位置关系19【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系XOY中，已知直线，抛物线20LXY2Y0CPX（1）若直线L过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线L对称的相异两点P和Q求证线段PQ的中点坐标为；2,P求P的取值范围【答案】（1）（2）详见解析，XY834,0（2）设，线段PQ的中点12X,Y,PQ0X,YM因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ,LL于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为YXB由消去得2YPXB20YPB因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以12,Y从而，化简得240PB0PB方程（）的两根为，从而21,2Y120YP因为在直线上，所以0X,ML0XP因此，线段PQ的中点坐标为2,因为在直线上2,PYXB所以，即B2P由知，于是，所以20P043P因此的取值范围为4,3考点直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑1利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；3利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4利用基本不等式求出参数的取值范围；5利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围20【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中132YAX3AFA|3|1|FAEO为原点，为椭圆的离心率OE（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴ALBXLLMY交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围HFMOA【答案】（）（）2143XY,46,【解析】试题分析（）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利13|COFA13CA用，可解得，（）先化简条件，即223ACB21C24AMO|AMM再OA中垂线上，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，MXB最后根据，列等量关系解出直线斜率取值范围HFB解得，或，由题意得，从而2X34682K34682KXB3412KYB由（）知，设，有，由，得0,1F,HY,1HF,922KFHFB，所以，解得因此直线的方程为HB0341292KKY4MKXY14设，由方程组消去，解得在中，,M21492XKYKY1290KXMAO，即，化简得，即，解|OAOA22MX1290K得或46KK所以，直线的斜率的取值范围为L,46,考点椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑1利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；3利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4利用基本不等式求出参数的取值范围；5利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21【2016高考新课标3理数】已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线分别交C2YXFX12,L于两点，交的准线于两点C,ABCPQ，（I）若在线段上，是的中点，证明；FARARQ（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程BFB【答案】（）见解析；（）21YX【解析】试题分析（）设出与轴垂直的两条直线，然后得出的坐标，然后通过证明直线与,APQRAR直线的斜率相等即可证明结果了；（）设直线与轴的交点坐标，利用面积可求得，FQLX1,0DX1X设出的中点，根据与轴是否垂直分两种情况结合求解AB,EXYABXABEK试题解析由题设设，则，且021BYLAL,210A,1,02RQPBA记过两点的直线为，则的方程为3分BAL02ABYX（）由于在线段上，故F0AB记的斜率为，的斜率为，则，R1K2K2211KBA所以5分AQ（）设与轴的交点为，LX0,1XD则2,221BASABFABSPQFABF由题设可得，所以（舍去），1X01X1X设满足条件的的中点为,YE当与轴不垂直时，由可得ABXDABK12XYBA而，所以YBA212X当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为12分来源GKSTKCOMXE12XY考点1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点22【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆（A1）2XY（I）求直线YKX1被椭圆截得的线段长（用A、K表示）；（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围【答案】（I）；（II）221AK20E试题解析（I）设直线被椭圆截得的线段为，由得1YKXA21YKXA，2210AKX故，10X221AK因此22211AKKXA故，222121AKAK所以22221110AK由于，得2K20K，11A因此，2221AK因为式关于，的方程有解的充要条件是12K，所以2AA因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为0,A3，12由得，所求离心率的取值范围为1CAE20E考点1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率【思路点睛】（I）先联立和，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线1YKX21YA被椭圆截得的线段长；（II）利用对称性及已知条件可得任意以点为圆心的圆与椭圆至1YKX0,1A多有个公共点时，的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围3A23【2016高考新课标2理数】已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为E213XYTXAE的直线交于两点，点在上，0KE,AMNMAN（）当时，求的面积；4,|T（）当时，求的取值范围2K【答案】（）；（）14932,【解析】试题分析（）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（）设AMAMN，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理1,MXYYK1X|A用表示，再由求K|AN2NK（II）由题意，3T0K,AT将直线的方程代入得AMYXT213XYT2230TKXTKT由得，故213TKX21TK2216TAMTK由题设，直线的方程为，故同理可得，ANYXTK213TN由得，即2M23TT32TK当时上式不成立，3K因此等价于，321KTT232310KK即由此得，或，解得30K320K302K因此的取值范围是,考点椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线系和圆锥曲线系的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数系数的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解24【2016年高考北京理数】（本小题14分）已知椭圆C（）的离心率为，的面21XYAB0AB32,0AA,BB0,OAB积为1（1）求椭圆C的方程；（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点NPPAYX求证为定值BMAN【答案】（1）；（2）详见解析214XY【解析】试题分析（1）根据离心率为，即，的面积为1，即，椭圆中32CAOAB2AB列方程求解；（2）根据已知条件分别求出，的值，求其乘积为定值2ABCN|M试题解析（1）由题意得解得,12,32CBAC1,BA所以椭圆的方程为C142YX来源学优高考网令，得从而0Y10YXN120YXAN所以2200XYBMA284844000020YXYXYX4当时，01,2,ANB所以4MAN综上，为定值考点1椭圆方程及其性质；2直线与椭圆的位置关系【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种1从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算25【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线210XYAB与椭圆E有且只有一个公共点T3LYX（）求椭圆E的方程及点T的坐标；（）设O是坐标原点，直线L平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线L交于点P证明存在常数，使得，并求的值2PAB【答案】（），点T坐标为（2,1）；（）163XY45【解析】试题解析（I）由已知，即，所以，则椭圆E的方程为22ACAC2AB21XYB由方程组得21,3XYB22180XB方程的判别式为，由，得，2423此方程的解为，X所以椭圆E的方程为2163Y点T坐标为（2,1）（II）由已知可设直线的方程为，L02YXM有方程组可得123YXM，31Y，所以P点坐标为（），2,13M289PTM设点A，B的坐标分别为2,AXYB，由方程组可得2163XYM，22410方程的判别式为，由，解得2169032M由得21214,33XX所以，2211153MPAYX同理，2523BX所以1243MPAX2121543X243MM2109故存在常数，使得452PTAB考点椭圆的标准方程及其几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为，同时把直线12,XY方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入刚才的12,XPAB12,，这种方法是解析几何中的“设而不求”法可减少计算量，简化解题过程12,X26【2016高考上海理数】（本题满分14）有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地EFGHF分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的1S21S2S1S2分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点COE的坐标为（1,0），如图F（1）求菜地内的分界线的方程C（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上1S21S38MC纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判EHMEOGH断哪一个更接近于面积的经验值1【答案】（1）（）（2）五边形面积更接近于面积的“经验值”24YX0Y1S【解析】试题分析（1）由上的点到直线与到点的距离相等，知是以为焦点、以CFCF为准线的抛物线在正方形内的部分FG（2）计算矩形面积，五边形面积进一步计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可试题解析（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所