2013-2015年高考文科数学山东卷试题与答案解析版

20132015山东文科数学第1页2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类山东卷第卷共60分一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12013山东，文1复数ZI为虚数单位，则|Z|2IA25BC5D4122013山东，文2已知集合A，B均为全集U1,2,3,4的子集，且AB4，B1,2，则AA3B4C3,4D32013山东，文3已知函数FX为奇函数，且当X0时，FXX2，则F11A2B1C0D242013山东，文4一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正主视图如下图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是A，85B，3C，41D8,852013山东，文5函数FX的定义域为123XA3,0B3,1C，33,0D，33,162013山东，文6执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的A的值为12，第二次输入的A的值为12，则第一次、第二次输出的A的值分别为A02,02B02,08C08,02D08,0872013山东，文7ABC的内角A，B，C所对的边分别为A，B，C若B2A，A1，B，则C3AB2CD1282013山东，文8给定两个命题P，Q若P是Q的必要而不充分条件，则P是Q的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件92013山东，文9函数YXCOSXSINX的图象大致为102013山东，文10将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以X表示则7个剩余分数的方差为20132015山东文科数学第2页ABC36D16936767112013山东，文11抛物线C1YP0的焦点与双曲线C2的右焦点的连线交2X213XYC1于第一象限的点M若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则PABCD3638343122013山东，文12设正实数X，Y，Z满足X23XY4Y2Z0则当取得最小值时，X2YZ的ZXY最大值为A0BC2D989第2卷共90分二、填空题本大题共4小题，每小题4分，共16分132013山东，文13过点3,1作圆X22Y224的弦，其中最短弦的长为_142013山东，文14在平面直角坐标系XOY中，M为不等式组所表示的区域上一360,2XY动点，则|OM|的最小值是_152013山东，文15在平面直角坐标系XOY中，已知1，T，2,2若OABABO90，则实数T的值为_162013山东，文16定义“正对数”LNX现有四个命题0,LN若A0，B0，则LNABBLNA；若A0，B0，则LNABLNALNB；若A0，B0，则LNALNB；LN若A0，B0，则LNABLNALNBLN2其中的真命题有_写出所有真命题的编号三、解答题本大题共6小题，共74分172013山东，文17本小题满分12分某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高单位米及体重指标单位千克/米2如下表所示ABCDE身高169173175179182体重指标1922511852332091从该小组身高低于180的同学中任选2人，求选到的2人身高都在178以下的概率；2从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在170以上且体重指标都在185,239中的概率20132015山东文科数学第3页182013山东，文18本小题满分12分设函数FXSIN2XSINXCOSX0，3且YFX图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为41求的值；2求FX在区间上的最大值和最小值3,2192013山东，文19本小题满分12分如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点1求证CE平面PAD；2求证平面EFG平面EMN20132015山东文科数学第4页202013山东，文20本小题满分12分设等差数列AN的前N项和为SN，且S44S2，A2N2AN11求数列AN的通项公式；2若数列BN满足，NN，求BN的前N项和TN1212NBA212013山东，文21本小题满分12分已知函数FXAX2BXLNXA，BR1设A0，求FX的单调区间；2设A0，且对任意X0，FXF1试比较LNA与2B的大小20132015山东文科数学第5页222013山东，文22本小题满分14分在平面直角坐标系XOY中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在X轴上，短轴长为2，离心率为21求椭圆C的方程；2A，B为椭圆C上满足AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P64设，求实数T的值OPTE20132015山东文科数学第6页2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类山东卷第卷共60分一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案C解析，所以|Z|5故选C4I134IIZ2432答案A解析AB4，AB1,2,3又B1,2，A一定含元素3，不含4又3,4，A33答案D解析FX为奇函数，F1F1214答案B解析由正主视图数据可知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高也是2，如图由图可知PO2，OE1，所以PE，215所以V42，S38445答案A解析由题可知120X13X0,定义域为3,06答案C解析第一次A120，A12102，020，A021080，A081不成立，输出08第二次A120不成立，A121成立，A121021不成立，输出027答案B解析由正弦定理得，SINIBAB3SINIAB又B2A，132COCOSA，A30，3B60，C90，C22218答案A20132015山东文科数学第7页解析由题意QP，PQ，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以等价于所以P是Q的充分而不必要条件故选A9答案D解析因FXXCOSXSINXXCOSXSINXFX，故该函数为奇函数，排除B，又X，Y0，排除C，而X时，Y，排除A，故选D,210答案B解析模糊的数为X，则90X879491909091917，X4，所以7个数分别为90,90,91,91,94,94,87，方差为S22222901941879736711答案D解析设M，故M点切线的斜率为，故M由201,XP21XYP03XP1,6P，2,0三点共线，可求得P，故选D3,6,4312答案C解析由X23XY4Y2Z0得X24Y23XYZ，1ZY当且仅当X24Y2即X2Y时，有最小值1，Z将X2Y代入原式得Z2Y2，所以X2YZ2Y2Y2Y22Y24Y，当Y1时有最大值2故选C第卷共90分二、填空题本大题共4小题，每小题4分，共16分13答案解析如图，当AB所在直线与AC垂直时弦BD最短，AC2231，CBR2，BA，BD2214答案解析由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示20132015山东文科数学第8页由图可知OM的最小值即为点O到直线XY20的距离，即DMIN|215答案5解析1，T，2,2，AB3，T2BO又ABO90，0，即3，T22,20，62T40，T516答案三、解答题本大题共6小题，共74分17解1从身高低于180的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有A，B，A，C，A，D，B，C，B，D，C，D，共6个由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人身高都在178以下的事件有A，B，A，C，B，C，共3个因此选到的2人身高都在178以下的概率为P3122从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有A，B，A，C，A，D，A，E，B，C，B，D，B，E，C，D，C，E，D，E，共10个由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人身高都在170以上且体重指标都在185,239中的事件有C，D，C，E，D，E，共3个因此选到的2人的身高都在170以上且体重指标都在185,239中的概率为P31018解1FXSIN2XSINXCOSX31COS1IN2XXCOS2XSIN2X3SINX因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，4又0，所以因此1242由1知FXSIN3X当X时，3258所以，SIN120132015山东文科数学第9页因此1FX32故FX在区间上的最大值和最小值分别为，1,32191证法一取PA的中点H，连接EH，DH因为E为PB的中点，所以EHAB，EH12AB又ABCD，CD，所以EHCD，EHCD因此四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH又DH平面PAD，CE平面PAD，因此CE平面PAD证法二连接CF因为F为AB的中点，所以AF12AB又CD，所以AFCD又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形因此CFAD又CF平面PAD，所以CF平面PAD因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA又EF平面PAD，所以EF平面PAD因为CFEFF，故平面CEF平面PAD又CE平面CEF，所以CE平面PAD2证明因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA又ABPA，所以ABEF同理可证ABFG又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD又ABCD，所以MNAB因此MN平面EFG又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN2020132015山东文科数学第10页解1设等差数列AN的首项为A1，公差为D，由S44S2，A2N2AN1得1168,D解得A11，D2因此AN2N1，NN2由已知，NN，22NBBA当N1时，；1当N2时，122NNNNBA所以，NNN由1知AN2N1，NN，所以BN，NN又TN，23512N，11两式相减得2312NNT，13N所以TN221解1由FXAX2BXLNX，X0，得FX1AB当A0时，FX若B0，当X0时，FX0恒成立，所以函数FX的单调递减区间是0，若B0，当0X时，FX0，函数FX单调递减1B当X时，FX0，函数FX单调递增所以函数FX的单调递减区间是，单调递增区间是1,B1,B当A0时，令FX0，得2AX2BX10由B28A0得20132015山东文科数学第11页X1，X2284BA284BA显然，X10，X20当0XX2时，FX0，函数FX单调递减；当XX2时，FX0，函数FX单调递增所以函数FX的单调递减区间是，单调递增区间是28,4BA28,4BA综上所述，当A0，B0时，函数FX的单调递减区间是0，；当A0，B0时，函数FX的单调递减区间是，单调递增区间是；10,B1,B当A0时，函数FX的单调递减区间是，单调递增区间是28,4A28,4A2由题意，函数FX在X1处取得最小值，由1知是FX的唯一极小值点，284BA故1，整理得2AB1，即B12A令GX24XLNX，则GX，令GX0，得X当0X时，GX0，GX单调递增；14当X时，GX0，GX单调递减因此GX11LN40，LN故GA0，即24ALNA2BLNA0，即LNA2B22解1设椭圆C的方程为AB0，21XY由题意知2,CAB解得A，B12因此椭圆C的方程为Y21X2当A，B两点关于X轴对称时，20132015山东文科数学第12页设直线AB的方程为XM，由题意M0或0M22将XM代入椭圆方程Y21，得|Y|2所以SAOB|M|64解得M2或M231又2M,0MT,0，OPTETAOB12T因为P为椭圆C上一点，所以1由得T24或T23又因为T0，所以T2或T当A，B两点关于X轴不对称时，设直线AB的方程为YKXH将其代入椭圆的方程Y21，得12K2X24KHX2H220，设AX1，Y1，BX2，Y2，由判别式0可得12K2H2，此时X1X2，X1X2，Y1Y2KX1X22H，K所以|AB|2114X22K因为点O到直线AB的距离D，2|1HK所以SAOB|AB|D1222|1HKK21|又SAOB，6420132015山东文科数学第13页所以216|4KH令N12K2，代入整理得3N216H2N16H40，解得N4H2或N，2即12K24H2或12K2又OPTETAOBX1X2，Y1Y2，22,1HTK因为P为椭圆C上一点，所以，222KHT即21T将代入得T24或T2，3又知T0，故T2或T经检验，适合题意综上所得T2或T320132015山东文科数学第14页2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学第卷（共50分）一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知是虚数单位若，则,ABRIAI2BI2AIABCD34344343I2设集合，则2|0,|1AXBXABABCD0,21,3函数的定义域为21LOGFXABCD0,0,2,2,4用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是,AB30XABA方程没有实根B方程至多有一个实根30XC方程至多有两个实根D方程恰好有两个实根3X5已知实数满足，则下列关系式恒成立的是,XY1XYAAB3SINXYCD22LN1LXY2216已知函数的图象如右图，则下列结论成立的是LOG,0,ACA为常数，其中AB0,110CCDC,7已知向量若向量的夹角为，则实数,3,ABMAB6MABC0D238为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位KPA）XY0120132015山东文科数学第15页的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二12,3,41,5,61,7组，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为A6B8C12D189对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称FX0AX2FXAX为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是FXABFX3FXCDTANCOS110已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最,XY10,23XYZAXBY0,小值时，的最小值为252ABA5B4CD25第II卷（共100分）二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分11执行右面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为XN17651432/KPA舒张压频率/组距03608124开始输入X是0N34X结束1否输入XN20132015山东文科数学第16页12函数的最小正周期为23SINCOS2YX13一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。14圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标20XYCYCX23C准方程为。15已知双曲线的焦距为，右顶点为A，抛物线的焦点为21,AB2C20XPYF，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为。|F三、解答题本大题共6小题，共75分16（本小题满分12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位件）如右表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测地区ABC数量50150100（）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率17（本小题满分12分）中，角A，B，C所对的边分别为已知,ABC63,COS,2AB（）求的值；B（II）求的面积20132015山东文科数学第17页18（本小题满分12分）如图，四棱锥中，,分别为线段PABCD,/,BCADP平面AD21FE的中点。AD,（）求证EF平面/（）求证PACB平面19（本小题满分12分）在等差数列中，已知公差，是与的等比中项NA12A1A4（）求数列的通项公式；（II）设，记，求12NB1234NNTBBNTPBC20132015山东文科数学第18页20（本小题满分13分）设函数，其中为常数X1FALNA（）若，求曲线在点处的切线方程；0YF,1F（II）讨论函数的单调性FX21（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得XOYC210XYAB32YXC的线段长为4105（）求椭圆的方程；C（II）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点）点在椭圆上，且ABCDC，直线与轴、轴分别交于，两点ADBXYMN（I）设直线，的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；M12,K12K（II）求面积的最大值ON20132015山东文科数学第19页2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学参考答案一、选择题15、ACDAA610、CBCDB二、填空题11、312、13、1214、15、2214XYYX三、解答题16、（）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为50132ABC20132015山东文科数学第20页所以各地区抽取商品数为，；16A36B26C（）设各地区商品分别为12312,基本时间空间为121213,BAB，共15个112321233,BCCBC样本时间空间为1312,所以这两件商品来自同一地区的概率为45PA17、（）由题意知，23SIN1COSA，6SIIISINCO23BA由正弦定理得SINIIABABA（）由余弦定理得222126COS43903,BCCC又因为为钝角，所以，即，BAB所以132SIN2CSACA18、（）连接AC交BE于点O，连接OF，不妨设ABBC1,则AD2四边形ABCE为菱形,/,BDAPFPAFO/,中点，分别为又EE平面，平面（）CDCD,平面，平面,BBDBC/,/为平行四边形，PAEAEA为菱形，又,PCP平面、又,CE平面20132015山东文科数学第21页19、（）由题意知为等差数列，设，为与的等比中项NADNAN12A14且，即，解得41201322D21AN2（）由（）知，NA121NABN当N为偶数时2264253142NT当N为奇数时2112164222115341NNNNNT综上为偶数为奇数，NTN,220、10A当时21,1XFFX21F01,0F又直线过点2YX2201AFX20132015山东文科数学第22页2001AFXFX当时，恒大于在定义域上单调递增2210AAFFXXX当时，在定义域上单调递增048,A当时，即FX开口向下，在定义域上单调递减。1,21841202AAA当时，1200XXA对称轴方程为且12120,AAAF在单调递减，单调递增，单调递减。01112,2212,AFXAFXAFA综上所述，时，在定义域上单调递增；时，在定义域上单调递增时，在定义域上单调递减；时，在单调递减，单调递增，单调递减。21、12233,44CBEAB即设直线与椭圆交于,PQ两点。不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点。241025,5AB又弦长为，224,1XY联立解得椭圆方程为20132015山东文科数学第23页20132015山东文科数学第24页20132015山东文科数学第25页20132015山东文科数学第26页2015年山东高考文科数学试题及答案解析第I卷（共50分）本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页满分150分考试用时120分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、已知集合，则24AX130BXAB（A）（B）（C）（D）,31,2,2,42、若复数满足，其中为虚数单位，则ZIIZ（A）（B）（C）（D）1I11I1I3、设，则的大小关系是06506,ABC,ABC（A）（B）（C）（D）ACBCA4、要得到函数的图象，只需将函数的图象SIN43YXSIN4YX（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位1212（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位335、设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是MR020XM（A）若方程有实根，则2X（B）若方程有实根，则（C）若方程没有实根，则20XM0M（D）若方程没有实根，则6、为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据单位制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（A）（B）（C）20132015山东文科数学第27页（D）7、在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为0,2X12LOGX（A）（B）（C）（D）34233148、若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为21XFAFXX（A）（B）（C）（D）,00,11,9已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（A）（B）（C）（D）234324210设函数若，则,1,XBF546FB（A）1（B）（C）（D）78312第II卷（共100分）二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分。（11）执行右边的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值是XY（12）若满足约束条件则的最大值为,XY,31,YZ（13）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则1,3P2XYAB（14）定义运算“”当2,0XYRXY时，的最小值为0,XY2XY（15）过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P，若210,CAB点P的横坐标为则的离心率为A三、解答题本大题共6小题，共75分20132015山东文科数学第28页16（本小题满分12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的请况，数据如下表参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学，3名女54321,A同学，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求被选中且未被选中的概率。321,B1B17（本小题满分12分）中，角所对的边分别为，已知，AC,CBA,3OSB，求和的值32,96SINACBASIN18（本小题满分12分）如图，三棱台中，分别为ABCDEF2,DEGH的中点，BAC,（I）求证平面；/（II）若，求证平面平,BC面FGH19（本小题满分12分）已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为。NA1NA12N（I）求数列的通项公式；N（II）设，求数列的前项和NA21BNBNT20132015山东文科数学第29页20（本小题满分13分）设函数，已知曲线在点处的切线与直线平XEGAXF2,LNXFY1,F02YX行，（I）求的值；（II）是否存在自然数，使的方程在内存在唯一的根如果存在，求出；如果KXGF1,KK不存在，请说明理由；（III）设函数表示中的较小值），求的最大值,MIN,INQPXFXM,XM21（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且点在椭OY012BAYXC2321,圆上，C（I）求椭圆的方程；（II）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆E于142BYAXEPPMKXY两点，射线交椭圆E于点，BA,POQ（I）求的值；Q（II）求面积的最大值。AB1C2A3C4B5D6B7A8C9B10D1113127131415223316（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有4530人，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P2从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件有11213212231323,ABABABABAB444555，共个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的20132015山东文科数学第30页事件“1A被选中且1B未被选中”所包含的基本事件有1213,AB，共2个因此被选中且未被选中的概率为215P17在C中，由3COS，得6SIN3B因为AB，所以II9CA，因为SINIC，所以B，为锐角，53COSC，因此IISINCOINA66293由,SINIACC可得2SI3N69AAC，又23A，所以1C18（I）证法一连接,DG设CFM,连接H，在三棱台DEFABC中，2ABE，分别为A的中点，可得/DGC，所以四边形G是平行四边形，则M为C的中点，又H是B的中点，所以B,又平面F，平面F，所以/平面F证法二在三棱台