2017届江苏南京市高三上学期学情调研数学试题解析版

试卷第1页，总19页2017届江苏南京市高三上学期学情调研数学试题一、填空题（题型注释）1已知集合A0，1，2，BX|X2X0，则AB【答案】0，1【解析】试题分析由题意，所以|01X0,1AB考点集合的运算2设复数Z满足（ZI）I34I（I为虚数单位），则Z的模为【答案】5【解析】试题分析，则4342IZII245ZI考点复数的运算，复数的模3为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间40，80中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间40，60）内的汽车有辆【答案】80【解析】试题分析，013028考点频率分布直方图4若函数F（X）SIN（X）（0）的最小正周期为，则F（）的值是63【答案】12【解析】试题分析，则，T251SIN2SIN362F考点三角函数的周期5下图是一个算法的流程图，则输出K的值是试卷第2页，总19页【答案】5【解析】试题分析依题意，循环时值依次为；,SK3,2SK，此时不再计算，而是8,3SK19,42,56480K直接输出5考点程序框图6设向量（1，4），（1，X），3若，则实数X的值是ABCABC【答案】4【解析】试题分析，由得，解得32,43CABX/AC2431X4考点平面向量的平行的坐标运算7某单位要在4名员工（含甲、乙两人）中随机选2名到某地出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是【答案】56【解析】试题分析2456CP考点古典概型8在平面直角坐标系XOY中，双曲线C（A0）的一条渐近线与直线214XYY2X1平行，则实数A的值是【答案】1【解析】试卷第3页，总19页试题分析由题意，2A1考点双曲线的几何性质9在平面直角坐标系XOY中，若直线AXY20与圆心为C的圆（X1）2（YA）216相交于A，B两点，且ABC为直角三角形，则实数A的值是【答案】1【解析】试题分析圆的半径是4，是直线三角形，则圆心到直线的距离为，CCAB2所以，解得21A1A考点直线与圆的位置关系【名师点睛】解决直线和圆的位置关系，可用直线方程与圆方程联立方程组，通过研究方程组的解的情况来得出位置关系无解相离，一解相切，两解相交，但用得最多的，比较简便的方法是求出圆心到直线的距离，由与半径的关系来DR确定相离，相切，相交DRDRDR10已知圆柱M的底面半径为2，高为6；圆锥N的底面直径和母线长相等若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为【答案】6【解析】试题分析设圆锥的底面半径为，则高为，所以，R3R22163R，所以高为23R36考点圆柱与圆锥的体积11各项均为正数的等比数列AN，其前N项和为SN若A2A578，S313，则数列AN的通项公式AN【答案】13【解析】试题分析设公比为，则，因为，所以，Q4127813AQ0Q31A所以13NA考点等比数列的通项公式【名师点睛】等差数列的通项公式和前项和公式在解题是起到变量代换作用，而N和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法在1D中，知三即可求二，解题时要注意方程思想的应用,NAS12已知函数F（X）当X（，M时，F（X）的取值范围为210X，16，），则实数M的取值范围是【答案】2，8试卷第4页，总19页【解析】试题分析时，当时，0X312FX213FXX，当时，即在上递减，在上F20F,2,0递增，当时，递减，6XF极小值XFX，因此0F812,8M考点函数的单调性，函数的值域13在ABC中，已知AB3，BC2，D在AB上，若3，AD13BDC则AC的长是【答案】10【解析】试题分析由已知，设，则，又2,1BDADC2COS3BX，所以，则在中24COSX6X6COS4AC，22161104AC考点向量的数量积，余弦定理【名师点睛】本题是一道平面向量与解三角形的综合题，其中向量部分是概念的应用，说明是线段的一个三等分点，数量积3，只要根D3BABDBC据定义写出数量积的定义转化为三角形的边角关系，然后根据条件选择解三角形时要用什么公式在两个三角形中分别应用余弦定理即可方便求解14已知F（X），G（X）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且F（X）G（X）（）X若存在X0，1，使得等式AF（X0）G（2X0）0成立，则实数A1212的取值范围是【答案】，5【解析】试题分析由得，即12XFXG12XFG，所以，存在X0FXX，1，使得等式AF（X0）G（2X0）0成立，即，设1201,202GAF（），则GHXF1,2HX21X2X试卷第5页，总19页，时，设，则22XX1,23,X2XT，而，易知在是递减，在上递增，3,THTYT,3,因此，所以，2Y最小252最大52,HX即52,A考点函数的奇偶性，函数的值域【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，考查转化与化归思想解题时需由奇偶性定义求出函数的解析式，存在X0，1，使得等式AF（X0）G（2X0）0,FXG12成立，其中等式可转化为，这样求的取值范围就转化为求函数0GAFA的值域当然在求函数值域时还用到换元法和的单调21,GXHFHX性，问题进一步进行了转化二、解答题（题型注释）15如图，在平面直角坐标系XOY中，以X轴正半轴为始边的锐角和钝角的终边分别与单位圆交于点A，B若点A的横坐标是，点B的纵坐标是31025（1）求COS（）的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）034【解析】试题分析（1）要求的值，由两角差的余弦公式知要求得的正弦与COS,余弦值，这首先由三角函数的定义可得，再由同角关系及的位置可COS,IN试卷第6页，总19页得，从而可得；（2）要求角，一般要求的三角SIN,COCOS函数值，可以先关注的范围，由知，0,23,2这个范围内正弦是一对一的，因此可求，再得角SIN试题解析因为锐角的终边与单位圆交于A，且点A的横坐标是，310所以，由任意角的三角函数的定义可知，COS，310从而SIN2101COS因为钝角的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是，25所以SIN，从而COS2521SIN（1）COS（）COSCOSSINSIN（）310502510（2）SIN（）SINCOSCOSSIN（）105325因为为锐角，为钝角，故（，），32所以34考点三角函数的求值、求角三角函数的定义，三角函数的同角间的关系，两角和与差的正弦公式16如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点（1）求证MN平面BB1C1C；（2）若D在边BC上，ADDC1，求证MNAD试卷第7页，总19页【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】试题分析（1）要证线面平行，就要证与平面内的一条直线平行，注意MN1BC到都是相应线段中点，特别是与的交点就是，这样有中位线定理就,MN1A1可行线线平行，从而证得线面平行；（2）要证线线与垂直，可以证明与ADAD垂直，这样结合已知，只要证平面即可，为此还要一BC1DC1个线线垂直，而这由直棱柱的定义可得试题解析证明（1）如图，连结A1C在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点因为M为线段A1B的中点，所以MNBC又MN平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC又AD平面ABC，所以CC1AD因为ADDC1，DC1平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，CC1DC1C1，所以AD平面BB1C1C又BC平面BB1C1C，所以ADBC又由（1）知，MNBC，所以MNAD考点线面平行的判定，线面垂直的判定与性质17如图，某城市有一块半径为40M的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建在AB的延长线上取点D，OD80M，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为SM2设AOCXRAD（1）写出S关于X的函数关系式S（X），并指出X的取值范围；（2）试问AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值【答案】（1）S1600SINX800X，0X；（2）当AOC为时，改建后的绿化23区域面积S最大【解析】试卷第8页，总19页试题分析本题是三角函数应用题，解题的关键是建立函数关系（1）求面积，它S由两部分组成，一个是扇形面积，由扇形面积公式可得，另一个是2SR面积，观察图形选用面积公式易得，两者相加即得；（2）由OCD1SINABC于S1600SINX800X，因此其最大值可用导数的知识求解，即求出导函数，讨SX论的单调性后可得极值、最值X试题解析（1）因为扇形AOC的半径为40M，AOCXRAD，所以扇形AOC的面积S扇形AOC800X，0X2XOA在COD中，OD80，OC40，CODX，所以COD的面积SCODOCODSINCOD1600SIN（X）1600SINX12从而SSCODS扇形AOC1600SINX800X，0X（2）由（1）知，S（X）1600SINX800X，0XS（X）1600COSX8001600（COSX）12由S（X）0，解得X23从而当0X时，S（X）0；当X时，S（X）0因此S（X）在区间（0，）上单调递增；在区间（，）上单调递减23所以当X，S（X）取得最大值23答当AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大考点三角函数的应用题18如图，在平面直角坐标系XOY中，椭圆C（AB0）的左、右焦点21XY分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在X轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设Q（1）若点P的坐标为（1，），且PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；3（2）若PF2垂直于X轴，且椭圆C的离心率E，求实数的取值范围12试卷第9页，总19页【答案】（1）1；（2），524X3Y73【解析】试题分析（1）求椭圆标准方程，实质就是要求的值，为此要找两个关于,AB的方程，本题由已知，把点坐标代入可得一个方程，由椭圆定义知的,ABCP2PFQ周长是，又可得值，从而得解；（2）本小题关键是建立起与离心率的关系，4AE利用两点在椭圆上，由轴可求得，由，可求得,PQ2FX2,BCA1点坐标，把点坐标代入椭圆方程，再转化后可得的关系（243）,EE221，因为10，故有，从而可得的范围22314E试题解析（1）因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，所以PF1PF2QF1QF22A，从而PQF2的周长为4A由题意，得4A8，解得A2因为点P的坐标为（1，），所以，32914B解得B23所以椭圆C的方程为2143XY（2）方法一因为PF2X轴，且P在X轴上方，故设P（C，Y0），Y00设Q（X1，Y1）因为P在椭圆上，所以，解得Y0，即P（C，）201YCAB2BA2BA因为F1（C，0），所以（2C，），（X1C，Y1）1PF21FQ由，得2C（X1C），Y1，1PQ2BA解得X1，Y1，所以Q（C，）2C2AB2AB因为点Q在椭圆上，所以（）2E21，BA即（2）2E2（1E2）2，（243）E221，因为10，试卷第10页，总19页所以（3）E21，从而223143E因为E，所以E2，即547所以的取值范围为，573方法二因为PF2X轴，且P在X轴上方，故设P（C，Y0），Y00因为P在椭圆上，所以，解得Y0，即P（C，）201YCAB2BA2BA因为F1（C，0），故直线PF1的方程为2X由得（4C2B2）X22B2CXC2（B24A2）0221BYXA因为直线PF1与椭圆有一个交点为P（C，）设Q（X1，Y1），2BA则X1C，即CX124B24因为，1PFQ所以12CX2223143BCAE因为E，所以E2，即52473所以的取值范围为，573考点椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】本题考查解析几何中的范围问题，由于题中已知离心率的范围，因此E我们可以把表示为的函数，为此先求得点的坐标（这里点是确定的，否则设EP出点坐标），由向量的运算求得点的坐标，再把点坐标代入椭圆方程可得PQ的等式，利用可化此等式为的方程，解出，即把,ABC22,CABC,E表示为的函数，由函数性质可求得的范围本题采用的方法是解析几何中的基E本的计算，考查了学生的运算能力19已知数列AN是公差为正数的等差数列，其前N项和为SN，且A2A315，S416试卷第11页，总19页（1）求数列AN的通项公式；（2）数列BN满足B1A1，1NNBAA求数列BN的通项公式；是否存在正整数M，N（MN），使得B2，BM，BN成等差数列若存在，求出M，N的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）AN2N1；（2）；存在正整数M3，N8，使得31NB2，BM，BN成等差数列【解析】试题分析（1）本小题是求是等差数列，可用基本量法，把已知条件用和公NA1A差表示出来，并解得，然后可得通项公式；（2）已知的递推关系），D1,DNB可用累加法求得，本11121NNBANAAN题是存在性命题，解题方法是假设存在，然后建立的关系式得,MN，从此式分析，的整数解，如有整数解，说明存在，如没有2642M,整数解，说明不存在试题解析（1）设数列AN的公差为D，则D0由A2A315，S416，得1215,A6,解得或（舍去）1,D17,2所以AN2N1（2）因为B1A1，1NNBAA所以1111212NNBANNAA1NB即,21335B11,223NNN累加得B试卷第12页，总19页所以也符合上式11322NNB1B故3,N假设存在正整数M、N（MN），使得B2，BM，BN成等差数列，则B2BN2BM又，2431,24NB314所以即31,6化简得791N当N13，即N2时，M2，（舍去）；当N19，即N8时，M3，符合题意所以存在正整数M3，N8，使得B2，BM，BN成等差数列考点等差数列的通项公式，累加法求通项公式，存在性命题的研究20已知函数F（X）AX2BXLNX，A，BR（1）当AB1时，求曲线YF（X）在X1处的切线方程；（2）当B2A1时，讨论函数F（X）的单调性；（3）当A1，B3时，记函数F（X）的导函数F（X）的两个零点是X1和X2（X1X2）求证2FLN4【答案】（1）2XY20；（2）当A0时，F（X）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，）上单调递减时，F（X）在区间（0，1）和区间2A1,2A上单调递增，在区间上单调递减当时，F（X）在区间（0，）上1,单调递增时，F（X）在区间和区间（1，）上单调递增，在区间2A,A上单调递减（3）证明见解析1,2【解析】试题分析（1）求切线方程，可根据导数的几何意义，求出导数，计算，FX1F切线方程为，化简即可；（2）研究单调性，同样求出导函数11YFX。然后研究的正负，实质只要研究函数式2,0AXFFX的正负，必须分类讨论，确定分类的标准是，在Y0A时，按，分类；（3）要证明此不等式，首先要考察0A12A12A的范围与关系，由已知求出，因此是方程12,X210XBF12,X的两根，粗略地估计一下，由于10GBX12试卷第13页，总19页，因此有，由此可知F（X）130,1302BGGB120,1,X在X1，X2上为减函数，从而有，这里12FFF，正好可证明题设结论LN2L4F试题解析（1）因为AB1，所以F（X）X2XLNX，从而FXX因为F（1）0，F（1）2，故曲线YF（X）在X1处的切线方程为Y02（X1），即2XY20（2）因为B2A1，所以F（X）AX2（2A1）XLNX，从而,0AAFAX当A0时，X（0，1）时，F（X）0，X（1，）时，F（X）0，所以，F（X）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，）上单调递减当时，由得或，由得2AF1X2A0FX12XA所以F（X）在区间（0，1）和区间上单调递增，在区间上单调递,减当时，因为（当且仅当X1时取等号），所以F（X）在区间2A0FX（0，）上单调递增当时，由得或X1，由得，所以1F2A0F12A在区间和区间（1，）上单调递增，在区间上单调递减FX0,2A,（3）方法一因为A1，所以F（X）X2BXLNX，从而BXF由题意知，X1，X2是方程2X2BX10的两个根，故12X记G（X）2X2BX1，因为B3，所以30,30BGGB所以，且120,2,IIX2111212122LNLNXFXFXBX因为，所以12221L,4FFX令22121,LN,TTXTFFTX试卷第14页，总19页因为所以（T）在区间（2，）单调递增，210T所以，即3LN4T123LN4FXF方法二因为A1，所以，从而2LFB210XBF由题意知，X1，X2是方程2X2BX10的两个根记G（X）2X2BX1，因为B3，所以130,32GG所以，且F（X）在X1，X2上为减函数120,所以LNLN244BFXFF因为B3，故1233BX考点导数的几何意义，用导数研究单调性，函数的综合应用【名师点睛】1导数法求函数单调区间的一般流程求定义域求导数F（X）求F（X）0在定义域内的根用求得的根划分定义区间确定F（X）在各个开区间内的符号得相应开区间上的单调性2在函数中含有参数时，解方程F（X）0时必须对参数进行分类讨论，这里分类讨论的标准要按照不等式的形式正确确定3已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件F（X）0（或F（X）0）,X（A,B）,转化为不等式恒成立问题求解21如图，AB为圆O的一条弦，C为圆O外一点CA，CB分别交圆O于D，E两点若ABAC，EFAC于点F，求证F为线段DC的中点【答案】证明见解析【解析】试题分析要证F为线段DC的中点，由于EFAC，因此只要证，也即只要EDC证，而这两个角都可与相等，因此结论得证EDCABC试题解析证明因为点A、D、E、B在圆O上，即四边形ADEB是圆内接四边形，所以BEDC。因为ABAC，所以BC所以CEDC，从而EDEC又因为EFDC于点F，所以F为线段DC中点考点圆内接四边形的性质22已知矩阵，设MAB2,131,0（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的特征值试卷第15页，总19页【答案】（1）；（2）特征值为1或4,3【解析】试题分析（1）由矩阵乘法法则可求得；（2）写出特征多项式M，然后解方程可得特征值23F0F试题解析（1）2,1,2,33AB（2）矩阵M的特征多项式为,213F令F（）0，解得11，24，所以矩阵M的特征值为1或4考点矩阵的运算，特征值23已知曲线C的极坐标方程为2COS，直线L的极坐标方程为，SIN6M若直线L与曲线C有且只有一个公共点，求实数M的值【答案】或123【解析】试题分析由公式可把极坐标方程化为直角坐标方程，由题意直线与圆22COSINXY相切，在直角坐标方程中，由圆心到直线的距离等于圆的半径可求得M试题解析曲线C的极坐标方程为2COS，化为直角坐标方程为X2Y22X即（X1）2Y21，表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆直线L的极坐标方程是，即SIN,6M13COSSIN2化为直角坐标方程为320XY因为直线L与曲线C有且只有一个公共点，所以，解得或12M1M所以，所求实数M的值为或23考点极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系24解不等式|X1|2|X|4X【答案】【解析】试题分析解绝对值不等式，可根据绝对值的定义去绝对值符号，化绝对值不等式为一元一次不等式组，然后分别解出，并求并集试题解析原不等式等价于试卷第16页，总19页或或0,124XX01,24X1,24X解得；,解得01,24X13X解得,1X所以原不等式的解集为1,3考点解绝对值不等式25如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，侧棱PD底面ABCD，PDDC，点E是线段PC的中点（1）求异面直线AP与BE所成角的大小；（2）若点F在线段PB上，使得二面角FDEB的正弦值为，求的值3PFB【答案】（1）；（2）61【解析】试题分析由已知条件可得两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，（2）求得的夹角可得异面直线AP与BE所成角的大AB,APBE小（这个角是锐角）；（2），再求出的坐标，然后求出平面和平F,FFDE面的法向量，则法向量夹角与二面角相等或互补，可得出的方程，解之可得DE值试题解析（1）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD底面ABCD，所以DA、DC、DP两两垂直，故以为正交基底，建立空间直角坐标系,DACDXYZ试卷第17页，总19页因为PDDC，所以DADCDP，不妨设DADCDP2，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0）因为E是PC的中点，所以E（0，1，1）所以（2，0，2），（2，1，1），