2017年高三数学选择题、填空题解题方法与技巧

12017年高三数学选择题、填空题解题方法与技巧（一）数学选择题的解题方法1直接法2图解法3特例检验法4筛选法5代入法6估值法七推理分析八验证法一、直接法直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解例1、设定义在R上的函数FX满足FXFX213，若F12，则F99等于A13B2CD132213思维启迪先求FX的周期解析FX2，FX4FX函数FX为周期函数，且T413FX13FX21313FXF99F4243F313F11322变式训练3有三个命题垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面的一条斜线L有且仅有一个平面与垂直；异面直线A、B不垂直，那么过A的任一个平面与B都不垂直。其中正确命题的个数为（）A0B1C2D3解析利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D。变式训练4、已知F1、F2是椭圆1的两焦点，经点F2的的直线交椭圆于点A、B，若|AB|5，62X9Y则|AF1|BF1|等于（）A11B10C9D16解析由椭圆的定义可得|AF1|AF2|2A8,|BF1|BF2|2A8，两式相加后将|AB|5|AF2|BF2|代入，得|AF1|BF1|11，故选A。变式训练5、已知在0，1上是的减函数，则A的取值范围是（）LOGAYXXA（0，1）B（1，2）C（0，2）D2，）解析A0,Y12AX是减函数，在0，1上是减函数。LOGAY变式训练6、曲线在点P（1,12）处的切线与轴交点的纵坐标是（C）3YXYA9B3C9D15二、图解法据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确判断的方法叫图解法或数形结合法图解法体现了数形结合的思想。它是将函数、方程、不等式，甚至某些“式子”以图形表示后,再设法解决的基本方法。其思维形象直观、生动活泼。图解法，不但要求我们能建立起由“数”到“形”的联想，同时还必须自觉地将“形”转化到“数”。例1、函数的零点的个数（）2LN01XFA0B1C2D3例2、用MINA，B，C表示A，B，C三个数中的最小值设FXMIN2X，X2,10XX0，则FX的最大值为A4B5C6D7思维启迪画出函数FX的图象，观察最高点，求出纵坐标即可本题运用图象来求值，直观、易懂3解析由题意知函数FX是三个函数Y12X，Y2X2，Y310X中的较小者，作出三个函数在同一个坐标系之下的图象如图中实线部分为FX的图象可知A4,6为函数FX图象的最高点三、特例检验法用特殊值特殊图形、特殊位置代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确判断,常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。（1）特殊值代入法要点是从条件或者选择支中，取一些方便于计算和推理的数值进行验证，从而否定答案，比如取端点值、中点值等等。在取值时，应主动地取几个值距较大的特殊值，或者有代表性的范围内的特殊值，或者变换角度地进行验证，有时候一次能成功，但是有时候必须取两次、三次等等，切忌“一次成功”。例1、若SINTANCOT，则（）24A，B（，0）C（0，）D（，）242解析因，取代入SINTANCOT，满足条件式，则排除A、C、D，故选B。46例2、一个等差数列的前N项和为48，前2N项和为60，则它的前3N项和为（）A24B84C72D364解析结论中不含N，故本题结论的正确性与N取值无关，可对N取特殊值，如N1，此时A148,A2S2S112，A3A12D24，所以前3N项和为36，故选D。变式训练1、在等差数列中，已知，则该数列前11项和（）N4816A1SA58B88C143D176【常规解法】4811822AS【方法与技巧】采用特值法取则为公差为0每一项都等于8的常数列则48NA18S变式训练2设等比数列的前N项和为S若633则69S（）AA2B73C8D3【常规解法】由等比数列性质可知，为等比数列，设，则由NS2N32NS3SK63可得然后根据等比数列性质进行求解。63SK【方法与技巧】采用特值法令则根据，为等比数列得31S6NS2N32NS97S所以967变式训练3、已知，则（）SINCO2,0,TANABCD121【常规解法】对等式左右平方得，则SINCOS21SINCO2SINCO又因为，所以分式中分子分母同时除得到然后22SI1INCOS2TA1解方程得TA【方法与技巧】因为则则选项C、D错误，SINCOS21SI0,COSTAN0又因为则的值必然和有关，由此分析猜测可取SICI,2，此时满足题中已知条件，所以2IN,O2SITAN1CO（2）特殊状态法对于具有动态的问题，可以优先考虑问题极端情况。包括在端点的情形、在相等时取到最值的情形、在某个不断变换时的变化趋势和极限状态等等。例7对任意（0，）都有（）25（A）SINSINCOSCOSCOS（B）SINSINCOSCOSCOS（C）SINCOSCOSSINCOS（D）SINCOSCOSCOSSIN（3）特殊数列例1、已知等差数列满足，则有（）NA1210AA、B、C、D、10039051A【方法与技巧】取满足题意的特殊数列，则，故选C。N（4）特殊位置例2、过的焦点作直线交抛物线与两点，若与的长分别是，则02AXYFQ、PFQQ、P（）QP1A、B、C、D、A21A4A4【方法与技巧】考虑特殊位置PQOP时，所以，故选C。1|2PF124APQ例3、向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如右图所示，那么HVH水瓶的形状是【方法与技巧】取，由图象可知，此时注水量大于容器容积的，故选B。2HV12（5）特殊点例1、设函数，则其反函数的图像是（）0FXX1XFA、B、C、D、【方法与技巧】由函数，可令X0，得Y2；令X4，得Y4，则特殊点2,0及20FXX4,4都应在反函数F1X的图像上，观察得A、C。又因反函数F1X的定义域为，故选C。|2X（6）特殊方程例1、双曲线B2X2A2Y2A2B2AB0的渐近线夹角为，离心率为E,则COS等于（）AEBE2CDE121E【方法与技巧】本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为1，易得离心率E,TAN,COS，故选C。42X1Y25BA12（7）特殊模型6例1、如果实数X,Y满足等式X22Y23，那么的最大值是（）XYABCD2333【方法与技巧】题中可写成。联想数学模型过两点的直线的斜率公式K，可将问XY012XY题看成圆X22Y23上的点与坐标原点O连线的斜率的最大值，即得D。变式训练1、在各项均为正数的等比数列中，若，则（NA5693132310LOGLLOGAA）A、12B、10C、8D、32L【方法与技巧】思路一（小题大做）由条件有从而452956119,AQAA，所以原式，选B。10292951012313AAQAA103203LOGLOG思路二（小题小做）由知原式，选56478291056B。思路三（小题巧做）因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列即可，选B。563,1AQ变式训练2、若，则下列命题中正确的是（）02XA、B、C、D、SINSINX3SINXSINX（【方法与技巧】取验证即可，选B）,63四、筛选法（排除法）从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断例1已知YLOG2AX在0，1上是X的减函数，则A的取值范围是（）A（A）0，1（B）1，2（C）0，2（D）2，【方法与技巧】2AX是在0，1上是减函数，所以A1，排除答案A、C；若A2，由2AX0得X1，这与X0，1不符合，排除答案D所以选B例2方程AX22X10至少有一个负根的充要条件是A01，排除B,C,D，故X0,3X应选A。筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占40五、代入法将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案例1函数YSIN（2X）的图象的一条对称轴的方程是（）5（A）X（B）X（C）X（D）X4845解【方法与技巧】把选择支逐次代入，当X时，Y1，可见X是对称轴，又因为统22一前提规定“只有一项是符合要求的”，故选A另解（直接法）函数YSIN（2X）的图象的对称轴方程为2XK，即X，552K当K1时，X，选A六、估值法例1、若A为不等式组ERROR表示的平面区域，则当A从2连续变化到1时，动直线XYA扫过A中的那部分区域的面积为AB1CD23474【方法与技巧】如图知区域的面积是OAB去掉一个小直角三角形阴影部分面积比1大，比SOAB222小，故选C项128例2、如图，在多面体ABCDFE中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF，EF与面23ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）A、B、5C、6D、9215【方法与技巧】依题意可计算，而6，故选6233HSVABCABEABCDEFABCDVD。七、推理分析法推理分析法包括三种思考方向逻辑分析法、特征分析法和等价分析法。1逻辑分析法通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，肯定正确支的方法，称为逻辑分析法。它可分为以下三个方面分析分析（1）“若A真B也真”，则A必是假命题。否则将与只有一个选择支正确的前提矛盾。所谓B为真命题是指“符合该选择题的题设与结论”的判断，离开了这一要求的任何判断将是无意义的。分析（2）“若A、B是等价命题”，即，则A，B均为假命题，可同时排除。分析（3）“若A、B是互补命题“，则必有一个是真命题，即非A即B。例1已知,1,0NMA下列不等式正确的是（）A；B；C；DANLOGLAAMNALOGLMNA例2、设A,B是满足AB|AB|B|AB|B1，则LOGAB,LOGBA,LOGABB的大小关系是。【解】考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令A4,B2，则LOGAB,LOGBA2,LOGABB,2131LOGABBLOGABLOGBA2特殊函数法【例2】如果函数FXX2BXC对任意实数T都有F2TF2T，那么F1，F2，F4的大小关系16【解】由于F2TF2T，故知FX的对称轴是X2。可取特殊函数FXX22,即可求得F11,F20,F44。F2F1F4。3特殊角法【例3】COS2COS2120COS2240的值为。【解】本题的隐含条件是式子的值为定值，即与无关，故可令0，计算得上式值为。234特殊数列法【例1】已知等差数列AN的公差D0，且A1,A3,A9成等比数列，则的值是。1042931A【解】考虑到A1,A3,A9的下标成等比数列，故可令ANN满足题设条件，于是。10429365特殊点法【例1】椭圆1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的92X4Y取值范围是。【解】设PX,Y，则当F1PF290时，点P的轨迹方程为X2Y25，由此可得点P的横坐标X，又当点P在X轴上时，F1PF20；点P在Y轴上时，F1PF2为钝角，由此可得点P横坐标的取53值范围是X。537特殊模型法【例1】已知M,N是直线，、是平面，给出下列是命题若，则；若N，N，则；若内不共线的三点到的距离都相等，则；若N，M且N,M，则；若M,N为异面直线，N，N，M,M,则；则其中正确的命题是。（把你认为正确的命题序号都填上）。【解】依题意可构造正方体AC1，如图1，在正方体中逐一判断各命题易得正确命题的是。图1图23数形结合法数形结合法就是借助于图形进行直观分析，并辅之以简单计算得出结论。例1使成立的的取值范围是_2LOGXX例2、若关于X的方程KX2有两个不等实根，则实数K的取值范围是21【解】令Y1,Y2KX2,由图可知KABK0，17其中AB为半圆的切线，计算KAB,K0。3例3如果不等式的解集为A，且，那么实数A的取值范围是XAX1422|X。解根据不等式解集的几何意义，作函数和24XY函数的图象（如图），从图上容易得出实数A的取XAY1值范围是。,2例4已知实数X、Y满足，则的最大值是。32Y1X解可看作是过点P（X，Y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆上，如132YX图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为。XY3TAN例5函数YFX的图象如图所示，其定义域为4,4，那么不等式0的解集FXSINX为_解析0ERROR或ERROR在给出的坐标系中，再作出YSINX在FXSINX4,4上的图象，如图所示,观察图象即可得到所求的解集为4，0，24类比法类比推理常见的情形有平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等。类比时不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比。例1等差数列1，3，5，7，9，11，按如下方法分组（1），（3,5）7,9,11,13,15,17,19，第组中所有数的和_N3_NS第一组第一个是101第二组第一个是211第三组第一个是321第N组第一个是N（N1）1N2N1每组有N个数，且这N个数是公差为D的等差数列，5归纳法处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系（1）先猜后证是一种常见题型；（2）归纳推理的一些常见形式一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）。18例7蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以FN表示第幅图的蜂巢总数则4F_37_FN_3N23N1_6等价转化法通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题，从而等到正确的结果例8若不论K为何实数，直线与圆恒有交点，则实数A的1KXY0422AXY取值范围是例9点在直线上，则的最小值为_,MAB3452AB填空题练习1集合的真子集的个数是_NXXX,210LOG12的值为_4求值222COS10COS40_AA5已知实数X，Y满足，则的最大值是_3Y1YX6已知函数，则方程的解_4LG2FXF选择题答案及方法分析1Y例切入点先求切线，再求切线与轴交点的纵坐标。213|312309CXYXKYXY解析由，得切线斜率，则切线方程为，当时，故选例2解析当时，可做出02LNXYX和的图像，如图，可得函数0F有2个零点。当时，有零点，0X21FX12X综上，可得有3个零点。F例3解析筛选法由已知可知轨迹曲线的顶点为1,0，开口向右，由此排除答案A、C、D，所以选B；SIN30SIN33在ABC中，如果SINASINBSINC568，那么此三角形最大角的余弦值为_192212384023AB415053DCAXBXB解析取，代入原不等式得，解得或，不符合条件，从而排除、取代入原不等式得，解得，解集中的整数解少于个，从而排故选除53,B例解析用特殊法由条件，联想到构造一等比数列，可知正确例6解析取100，B10，此时P，QLG，RLG55LG，比较可知选A2103025PQR例7解析当0时，SINSIN0，COS1，COSCOSCOS1，故排除A，B；当时，COSSINCOS1，COS0，故排除C，因此选D2例8解析考虑特殊位置，当，故选C11,242PQOFQAAPQ有所以例9解析因为PA，PB，PC两两垂直，可以PA，PB，PC为棱长补成一个正方体，2223,43,RARASRAA故选例10答案C解析注意B与D等价，可同时排除；若A成立，则不符合AXF单调增函数的性质，必排除。例11答案A解析考虑它的逆否命题是的什么条件XYSINY12540ACDXY例解析若两点关于直线对称，则它们的中点一定在已知直线上，即中点满足直线，代入验证，可知、选项不满足方程，故选例13答案D解析直接法，采用降次、和化积、讨论，要化费很多时间。优先考虑逆推法。若是直角三角形，取，则满足条件，排除A，B；90,3,60B若是等腰三角形，不妨取，不满足条件，排除C。3,12B选择题练习1答案B解析焦点F1,0，设,则由0得1AXY23XYF，即而可转化为A、B、C三点到准线的12310XX23|FAB距离，即6故选B|FABC131XX评析本题考查抛物线及向量的基本知识，解题的关键是将向量运算转化为坐标运算，再结合抛物线的性质将点到焦点的距离转化为点到准线的距离2答案B解析数形结合因为钝角三角形三内角的度数成等差数列，所以其中一个角为，如图，当三角形为直角三角形时，,所以当三角形062M为钝角三角形时，有选B2M3答案C解析用图象法解题。4答案D解析取特殊值代入验证，可立即排除A、B、C而选DX6600MN例切入点解集中设整数集为有限集，故原不等式解集为，的形式205答案B解析以为主构造函数2XAGXF，则有A021XG则有或136答案D解析考虑它的逆否命题YX是YXTANT的什么条件7答案A解析先代入求得，再对照给出的选择支，分别验证，即可得出31A1A231A结论，选A8答案D解析观察题设可看出等式是关于、A与B、B的对称式，于是选择支A、B等价，可同时排除；又若C正确，则原式即为21，于是又排除C，故只有选D评析以上两例中抓住各选择支的蕴含与等价关系的特征，根据逻辑原理进行筛选因高考选择题四个结论中只有一个正确，若选择支满足关系式甲乙，则可排除甲；若选择支甲与乙等价，则可同时排除甲、乙；若选择支中甲与乙对立矛盾，则甲和乙必一真一假，可排除其余的选择支9答案B解析从定义域、值域、特殊值等角度加以验证。填空题答案及方法分析例1分析1答案1解析设,由得12,PFMN2245MN2,MN2SMN例2分析代入检验成立。10210FFA例3分析不妨设,则，符合题意,故NA1,391392410A1326例4分析特殊化不妨令COSC0，从而所求值为。,5,ABCABC则为直角三角形，COSA5，5例5分析运用常规方