华电线性系统理论大作业

分数_任课教师签字_华北电力大学研究生结课作业学年学期20142015学年第一学期课程名称线性系统理论学生姓名学号提交时间2014年11月27日目录1绪论12球杆系统分析与建模121球杆模型简介122拉格朗日法建模123拉格朗日模型线性化及状态空间表达式求取43系统稳定性分析531有初始状态下求取系统响应曲线633稳定性判断并求取零极点分布图74系统能控性判别841代数判据842模态判据843可控性与可稳定性105系统极点配置1051极点配置方法10511状态反馈原理11512输出反馈原理11513PID配置极点原理12514三种反馈对比1252用状态反馈进行极点配置126可观性分析及带状态反馈的状态观测器的设计1661能观性分析16611代数判据16612模态判据1663全维观测器原理1764全维状态观测器结构1765全维状态观测器设计1866全维状态观测器SIMULINK仿真1867全维状态观测器在干扰下的性能研究207总结2211绪论球杆系统是控制理论中很经典的一个模型，通常用来检验控制策略的效果，并且很多实际系统都可以近似抽象为球杆模型，因此，对球杆系统的研究很有意义，本文从球杆模型的拉格朗日法建模入手，对球杆系统稳定性，能控能观性等控制特性进行分析。2球杆系统分析与建模21球杆模型简介球杆系统由底座，直流伺服电机，光滑导轨，小球等组成，导轨在伺服电机的带动下转动，小球在自身重力的作用下沿着光滑的金属导轨自由滚动，球杆系统简图如下，其中是小球在导轨上相对于导轨中心的位移量，以导轨左X侧为正，是导轨相对于水平线的倾斜角。图1球杆系统简图22拉格朗日法建模为了对球杆系统进行研究，我们先对其进行建模，一般来说，这种球杆系统，运用拉格朗日方程建立其数学模型比较方便，拉格朗日方程如下TUQRVQTDT其中T为系统的动能，包括小球的转动的动能，导轨转动的动能等，V为系统的势能，包括重力势能弹性势能等等，能量耗散函数为，2为广义坐标向量，其中代表系统的自由度，即完全描述系TKQQ,21K统运动特性需要的坐标数目，关于自由度在下文会具体分析，为作用于系统U的外力。以下为各个变量所表示的物理意义，M导轨的质量，G重力加速度R小球的半径球的惯性力矩，杆的惯性力矩，X球的相对横坐标，BIWIY球的相对纵坐标，小球相对于导轨的转角，A导轨与水平线的夹角，球杆系统受力分析如下图1球杆受力分析由图可知，小球的广义坐标向量有3个，即是小球坐标，小球转动角，X杆的转角，而小球的速度和导轨转动的角速度可以用和来表达，因此，A通过这三个变量，就能完全描述系统的各个状态，但是在实际中，由于小球是沿着导轨只做滚动不做滑动的，因此就有，也就是说小球的转动角和RX小球位移是一一对应的，那么转动角就可以和合并到一起分析，这样球杆系统有两个广义坐标，。XQ1A2要想计算系统的动能，就必须知道小球和导轨的转动惯量，根据资料得小球和导轨的转动惯量如下25210345KGMMRIB20W导轨是一个重心在重心的均匀旋转体，其角速度为，因此，导轨的动能A为321AITW而小球的动能包括两部分，第一部分是小球沿着导轨运动的动能，用来计算，第二部分是小球的旋转动能，用小球的转动惯量和角速度来计21MV算，公式如下221MVITBB其中，小球的转动角速度要考虑到导轨的运动，因此要加上导轨的角速度AARXB22AXB因为导轨转动角速度速度很小，因此忽略后两项得A222RXB而式中V是小球的线速度，根据资料可以用向量积来表示RWV其中是小球相对于导轨的线速度，其数值等于，负号是指方向与规定X的正方向相反，指的是导轨的角速度，即，R是小球的质心在坐标系中的位A置向量，计算式如下00AXRRAXV由于小球的半径R很小，同时导轨转动的角速度也很小，因此上式可以近似等于40AXV22AXV将以上结果带入小球动能计算公式中，得小球的动能为2221RXIAXMTBB而前文已经得出导轨的动能，因此两式相加得系统的动能T为W22221AIRXIAXMTWBWB而系统的势能为小球的重力势能，以导轨水平位置为零点，得势能V为AGXVSIN以上，系统的动能和势能均已求出，下面带入拉格朗日方程进行求解，由于篇幅原因，推导过程在本文中不再赘述，带入拉格朗日方程后得到关于导轨倾角的拉格朗日方程为AMGXAXIMXWCOS22小球坐标X的运动方程为XRIBSIN22球杆系统的运动方程为AMXAIMBSIN22GIXWCOS2523拉格朗日模型线性化及状态空间表达式求取以上为通过拉格朗日方法建立起来的系统运动方程，但是由于运动方程存在非线性环节，无法直接转化为状态空间表达式，需要通过在稳定工作点附近做近似线性化处理来消除，根据实际情况来说，我们一般考虑的是小球在一个确定点附近的稳定性，假设这个点为，那么这个点就是系统的静态工作点，0X动能计算式中项可以近似认为是，因此就可以近似认为是常数，2MX2M2X运动方程中的相关倒数项就消失了，因此运动方程近似为AGXRIBSIN2MAIXWCOS2进一步进行简化，由于导轨倾角A一般较小，因此近似取，ASIN，得到最终的运动方程为1COSAGAXRIB2MIXW2根据资料，小球半径、小球质量0189KG03选取状态变量，带入参数即得到以下状态X12AX34空间表达式FXX49530087311042143214321210XY63系统稳定性分析系统的稳定性是系统的根本特性，一个不稳定的系统几乎是无法使用的，为了分析一个系统，首先应该分析其稳定性，根据常识，球杆系统在不给予控制时是不稳定的，因为当导轨的倾角是固定时，小球将会在重力的作用下一直运动到导轨底部，即使导轨停留在水平位置时，小球可能处于静止状态，但是当导轨受到一个微小的扰动后，小球就无法回到原来的位置了。如果导轨既不是固定倾角，又不是水平状态，而是无规律摆动的话，那么小球更不可能稳定在一个位置，要使小球能够停在任意位置，必须对导轨的倾角施加控制，下面通过MATLAB来分析系统在有初始条件下的稳定性。31有初始状态下求取系统响应曲线设置小球初始位移为05，导轨初始倾角为5，进行仿真，程序如下A01000070000118873000B0003495C10000010D0T0000510UZEROSSIZETX005050LSIMA,B,C,D,U,T,X0响应曲线如下7图3有初始状态响应曲线由上图可以看出，小球的位移和导轨的倾角在9秒钟以后都开始发散，从实际情况来说，因为小球有初始位置，导轨也有初始倾角，那么小球必然在重力的作用下加速下滚，而导轨的倾角也将越来越大，在一段时间后，小球的位置和导轨的倾角都将发散，这也从侧面说明所建模型是合理的。33稳定性判断并求取零极点分布图以上的分析是根据常识分析的，下面，通过严格的判断方法来分析系统的稳定性，系统稳定性分为外部稳定和内部稳定，外部稳定是指输入和输出之间的关系，由系统传递函数分母的特征根决定，但是当系统不稳定的极点对消时，有可能出现假稳定的情况，而内部稳定是指系统内部变量能够趋于稳定，而由内部稳定可以推出外部稳定，反之则不行，因此现在只判断内部稳定，内部稳定的充要条件是特征矩阵的所有特征根具有负的实部，这样系统的能量就逐渐减小，最终达到稳定条件，如果特征值有正的实部，那么能量就不能衰减，导致系统不稳定。求系统特征根分布的程序如下A01000070000118873000B0003495C10000010D0EIGAPZMAPA,B,C,D求得的特征根为ANS3390300000I0000033903I0000033903I3390300000I零极点坐标图如下8图4系统零极点图由系统零极点坐标图可知，系统有一个极点位于系统右半平面，并且有一对虚轴上的共轭虚根，因此，系统是不稳定的。4系统能控性判别由上文可知，系统是不稳定的，我们知道，稳定是一个系统能够使用的前提，一个不稳定的系统是没有意义的，但是在实际使用过程中，我们可以通过状态反馈或者输出反馈等方法来重新配置系统的极点，使系统达到稳定，而重新配置极点的充要条件是一、系统完全能控，这样所有的特征根都可以重新配置。二、系统部分可控，但是不可控极点拥有负的实部，而拥有正实部的极点是可控的，这种情况下我们依然可以通过配置可控极点使系统稳定。一般来说，判断能控性的方法主要有两种，一种是代数判据，一种是模态判据，下面分别通过两种方法判断系统能空性。41代数判据对于一个线性定常系统，系统完全能控的充分必要条件是能控判别矩阵满秩，而MATLAB中可以通过CTRB命令轻松求得能控NNCBAU1矩阵，配合求矩阵秩的命令RANK可以判断矩阵是否能控。能控性判别程序如下A01000070000118873000B00034959C10000010D0UCCTRBA,BNRANKUCIFN4DISP系统完全能控ELSEIFN4DISP系统不完全能控END结果为N4系统完全能控由此可知，系统是完全能控的，也就是说我们可以通过状态反馈随意配置系统的所有极点。42模态判据模态判据分为特征根两两互异和特征根有重根两种情况，当特征根两两互异时，模态判据表示为，把系统化为对角标准型UBBXXPNNPN11121以后，B矩阵，没有全为零的行即表示系统完全可控。当特征根有重根时，模态矩阵表示为，把系统化为约当标准型，这里假设系统有P重根和个互不相等的特征根，约当标准型如下PNBUXAX其中A矩阵为B矩阵为P121PNPN化为约当标准型以后，只要最后一行不全为0，那么矩阵完全可控。根据前文可知，本系统的四个特征根两两互异，因此，只需化成对角标准10型即可，MATLAB程序如下A01000070000118873000B0003495C10000010D0SYSSSA,B,C,DSYSCCANONSYS,MODAL运行后得结果SYSCAX1X2X3X4X1339000X204996E163390X303394996E160X4000339BU1X104578X206808X300925X404578CX1X2X3X4Y1034290061510452703429Y205630101074340563DU1Y10Y20即对角标准型为UEEX45780926300169431694XY7156522可以看出，矩阵没有任意一行完全为零，因此系统能控。B43可控性与可稳定性前文曾经提过，如果系统所有的极点都是可控的话，那么系统可以通过状11态观测器任意配置极点，从本文来看，即可以达到使系统由不稳定配置到稳定，那么是不是不完全能控的系统就不能配置到稳定呢答案是否定的，事实上，在部分可控的系统中，如果所有不可控的极点，只要其满足，那么系0REI统称为可稳定的，也就是说我们依然可以通过配置可控的那部分极点来使系统达到稳定，而判断一个特征根是否可控的依据是该特征根对应的特征行向量与矩阵相乘的结果不为0，即说明这个特征根是可控的，由于本文所使用IB系统为完全可控，那么必然是可稳定的，因此只做定性研究。5系统极点配置由上文可知，系统是完全可控的，即所有极点都可以通过状态反馈配置到我们想要的位置，以获得期望的动态性能，下面从极点配置方法入手，对极点配置部分进行研究。51极点配置方法一般来说，我们对于系统的极点配置方法主要有三种，分别是状态反馈，输出反馈和用PID配置极点，这三种方法从理论上来说都可以对极点进行配置，下边对三种方法进行分析。511状态反馈原理图5状态反馈原理图根据原理图，状态反馈是把系统的状态通过一个转换矩阵K引到输入端，这样输入就变成了，带入后即有这样，系统的特KXRUBRXAX征矩阵即变成了，而系统的特征矩阵决定了系统的特性，这样我们就通BA过配置反馈矩阵来将的闭环极点设置到我们想要的位置。512输出反馈原理12图6输出反馈原理图跟状态反馈类似，输出反馈是将输出通过一个转换矩阵F引到输入端，这样输入就变成了，带入后有，系统特征矩阵变FYRUBRXCAX成了，同样我们可以通过配置矩阵来配置系统的极点。BCAF513PID配置极点原理图7PID配置极点PID配置极点的方法是将PID传递函数写成的形式，带入闭SKDIP2环中得到闭环传递函数，这时把闭环传递函数的分母等于，321S则是期望的极点，用待定系数法即可求得参数。321,PID514三种反馈对比这三种方法都可以配置极点，那么如何选择呢，事实上，输出反馈不如状态反馈适应能力强，因为一般系统，输出的数量要少于状态的数量，比如本文中的系统，就是4个状态，2个输出，这就代表，用状态反馈有4个自由度，而用输出反馈仅有两个自由度，由于输出反馈自由度要小，能用状态反馈配置的时候，输出反馈并不一定能够配置成功，而配置极点的方法由于结构限PID制，对于二阶一下系统较为实用，而高阶系统则不好用，因此，本文选用状态13反馈进行极点配置。52用状态反馈进行极点配置闭环极点的选择首先要保证系统的稳定性，即期望的特征根应有负的实部，其次考虑到系统的动态特性，一般选择的极点是原极点的两到三倍，因此我选择极点如下61S72JS64,3MATLAB程序如下A01000070000118873000B0003495C10000010D0GSSA,B,C,DFIGURE1STEPGM6766J66JKACKERA,B,MG1SSABK,B,C,DG2TFG1HEIGABKFIGURE2STEPG2得到控制器参数为K129005258859677253271531下面，对比配置前后的响应曲线，配置以前的响应曲线如下14图8极点配置前阶跃响应图极点配置以后的响应曲线如下图9极点配置后阶跃响应图15由极点配置以后的响应曲线看出，小球位移和导轨的倾角在12S以后均趋于稳定，这表示小球可以控制到导轨上的任意位置，极点配置是成功的。为了进一步验证极点配置的有效性，我对极点配置以后的系统在有位移为05，倾角为5的情况下进行了仿真，仿真程序如下A01000070000118873000B0003495C10000010D0K129005258859677253271531T0000510UZEROSSIZETX005050LSIMABK,B,C,D,U,T,X0得到的曲线如下图10，极点配置后有初始状态的响应在配置极点以前，同样在05米5的初始条件下，仿真曲线如下16图11极点配置前有初始状态的响应根据这两个曲线的对比来看，极点配置很好的解决了在有初始条件下系统的稳定性。6可观性分析及带状态反馈的状态观测器的设计61能观性分析本文系统有两个输出，分别是位移和倾角，这两个状态可以直接从输X出中获得，而系统的状态变量有4个，分别是，和而和是不能X从输出中直接获得的，而我们在实际使用中往往是需要这些状态的，这就需要设置一个全维状态观测器来观测无法直接获得的变量，而全维状态观测器能够设置的充分条件是系统完全能观，下面我讨论系统的能观性，类似于能控性判别，我们仍然使用代数判据和模态判据两种方法来判断能观性。611代数判据MATLAB程序如下A01000070000118873000B0003495C10000010D0UOOBSVA,C17NRANKUOIFN4DISP系统完全能观ELSEIFN4DISP系统不完全能观END运行程序得结果为N4系统完全能观这个结果说明系统是完全能观的，那么我们就能通过状态观测器来得到无法从输出得到的那两个变量。612模态判据能观性模态判据与能控性相似，只不过判断标准由矩阵没有任何一行全B为零变为了矩阵没有任何一列全为0，有前文可轻松判断出模态判据下，系C统也是完全能观的，在此不再赘述。62能观性与可检测性类似于能控性与能稳定性的条件，一个不完全能观的系统，只要其不能观极点满足，那么整个系统就是可检测的，在这里，判断特征根是否能0REI观的条件是特征根对应的列向量与矩阵的乘积不为，由于本系统完全能IC0观，那必然是能检测的，因此不对能检测性做判断。63全维观测器原理为了能够通过状态反馈配置系统极点，就必须知道系统中各个状态变量的变化曲线，而实际系统中往往不是每个状态都能直接测得的，以本系统为例，X1和X3分别是小球的位移和导轨的转角，这两个量都是可以作为输出直接测量的，而X2和X4分别是小球的速度和导轨的角速度，这两个量是无法直接测量的，因此要用状态变量进行状态反馈，必须构建全维状态观测器，并从观测器中提取各个状态变量，因此，状态反馈和状态观测器是相互联系的。状态观测器的原理即状态重构，即在实际系统结构已知的条件下，通过建模手段在计算机中构建一个机理模型，并且给这个模型输入与实际系统相同的输入信号，这样，就相当于在计算机中模拟了整个实际系统，从模拟的过程中我们就可以得到系统各个状态的观测值，并利用这些状态通过状态反馈矩阵K来重新配置极点。64全维状态观测器结构带状态反馈的全维状态观测器的结构如下18图12带状态反馈的全维状态观测器原理图状态观测器上半部分是实际的系统，下半部分是在计算机中进行仿真的观测器，因此用虚线方框框住，代表这部分是虚拟的，因为仿真总会有误差，而且实际系统容易受到干扰，为了避免误差逐步累加，因此用实际输出和观测器输出的差值来校正观测器。根据原理图可得，虚线方框中状态观测器的状态空间表达式为即XCYLBUXALYBUXCA65全维状态观测器设计根据上文，我们只要将（ALC）的极点配置到想要的位置即可求得状态观测器的L矩阵，而观测器的基本要求是反应速度快，这样才能更快的跟踪原系统，因此一半选择观测器极点为原极点的46倍，现设置极点为，12P1JP64,3状态观测器求取的MATLAB程序如下A01000070000118873000B0003495C10000010D0P1211116J116J19LPLACEA,C,P求得L235469136870943796703498800898210872145311178992而状态反馈矩阵在前文已经求得，即K12900525885967725327153166全维状态观测器SIMULINK仿真前文已经求得带状态反馈的全维状态观测器的全部参数，在SIMULINK中搭建出模型并进行仿真，由于系统为4阶系统，并且有两个输出，结构较为复杂，因此K矩阵和L矩阵均使用了SUBSYSTEM来简化，模型截图如下图13状态观测器SIMULINK模型截图经过仿真，得到响应曲线，并将数据保存到WORKSPACE中，并绘制成曲线，MATLAB程序如下SCOPESCOPEDATA1,SCOPEDATA2,SCOPEDATA3,SCOPEDATA4,SCOPEDATA5,SCOPEDATA6,SCOPEDATA7,SCOPEDATA8FORI15913Y1SCOPE,I1Y2SCOPE,I3X1SCOPE,IX2SCOPE,I