离散数学课件09代数系统

第9章代数系统,离散数学,中国地质大学本科生课程,代数学的新生,1、近代代数学的进展,2、代数方程的可解性,3、群的发现,1、近代代数学的进展,al-Kitabal-mukhtasarfihisabal-jabrwal-muqabala还原与对消计算概要（约820）,MohammedibnMusaal-Khowarizmi,783-850,al-jabr,algebra,探讨了算术问题的一般性解法,1、近代代数学的进展,F.Vieta,1540-1603,韦达把符号性代数称作“类的算术”，同时规定了算术与代数的分界，认为代数运算施行于事物的类或形式，算术运算仅施行于具体的数。这就使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛。,缺点：齐性原则,1、近代代数学的进展,基本问题：如何求解三次和四次代数方程的根,(1515,S.Ferro),x3+px=q(p,q0),Tartaglia,1499-1557NiccoloFontana,x3+px2=q(p,q0),A.M.Fior,1535,1、近代代数学的进展,G.Cardano,1501-1576,ArsMagna大法1545年,包含三次方程和四次方程的代数解法,根的个数,2、代数方程的可解性,18世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革。当时数学家们面临一系列数学发展里程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：高于四次的代数方程的根式求解问题；欧几里得几何中平行公理的证明问题；微积分算法的逻辑基础问题。,2、代数方程的可解性,中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问，他们系统地解决了二次方程的求根问题；文艺复兴时期的欧洲数学家们继承了这一传统，但又有所突破。他们成功地解决了三次和四次代数方程的求根问题，并将符号与数字的运算统一起来，创立了类的算术。,基本问题：五次或更高次的代数方程的根式解。,即在n5时，对于形如xn+a1xn1+an1x+an=0的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到。,2、代数方程的可解性,J.L.Lagrange1736-1813,1770年：关于代数方程解的思考,不可能用根式解四次以上的方程,2、代数方程的可解性,N.H.Abel,1802-1829,1824年:论代数方程，证明一般五次方程的不可解性,方程次数大于等于五时，任何以其系数符号组成的根式都不可能表示方程的一般解。,阿贝尔方程,3、群的发现,基本问题：什么样的特殊方程能够用根式来求解？,E.Galois,1811-1832,置换群,伽罗瓦群,伽罗瓦证明了：当且仅当方程的群满足一定条件（即它是可解群）时，方程才是根式可解的。也就是说，他找到了方程根式可解的充分必要条件。,3、群的发现,伽罗瓦关于群的发现工作，可以看成是近世代数的发端。这不只是因为它解决了方程根式可解性这样一个难题，更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。,群可以理解为一类对象的集合，这些对象之间存在着类似于加法或乘法那样的二元运算关系，这种运算使得该集合满足封闭性、结合性，并在其中存在着单位元和逆元素。,群概念的划时代意义在于：代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生，它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象“对象”的运算关系，一方面，数的概念有了极大推广，另一方面，许多抽象的对象，在更高层次上与数的概念获得了统一。,代数,方程与根数系扩张行列式与矩阵布尔代数代数数论,突破传统,19世纪的代数,高斯(联邦德国,1955),1799年高斯(德,1777-1855)代数基本定理,代数方程根式解,高斯，数学家、物理学家和天文学家1795年进入哥廷根大学正17边形尺规作图法（1796）数论、代数、非欧几何、复变函数和微分几何等方面做出了开创性的贡献近代数学奠基者之一，“数学王子”“宁可少些，但要好些。”,高斯和正十七边形(民主德国,1977),代数方程根式解,代数方程根式解,高斯墓,1824年阿贝尔(挪,1802-1829)定理,拉格朗日,1770年拉格朗日(法,1736-1813)关于代数方程解的思考：预解式,代数方程根式解,1799年鲁菲尼(意,1765-1822)定理,鲁菲尼,阿贝尔,伽罗瓦,18291831年伽罗瓦(法,1811-1832)理论,代数方程根式解,阿贝尔,阿贝尔（挪，18021829）贡献：方程论、无穷级数和椭圆函数论16岁开始阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作1821年，阿贝尔进入奥斯陆大学，1824年，证明了一般五次方程根式解的不可能性1825.5到柏林，五次方程论文发表于克雷勒杂志、完成了椭圆函数的论文1826.7到巴黎，论文提交法国科学院1827.5回到奥斯陆1841年椭圆函数论论文发表,1908年维格兰(挪,1869-1943)雕塑的阿贝尔塑像,数学奖,阿贝尔奖(2003-),1898年挪威数学家李(1842-1899)提议设立阿贝尔奖。挪威政府拨款2亿挪威克郎(约合人民币2.73亿元)设立阿贝尔纪念基金，在阿贝尔诞辰200周年之际设立阿贝尔奖,从2003年起每年颁发一次。阿贝尔奖颁发给那些在数学领域做出杰出贡献的数学家，奖金额为600万挪威克朗。,阿贝尔的塑像(挪威,1983),数学奖,阿贝尔奖(2003-),2003年塞尔(法,1926-)关于代数拓扑、代数几何获奖,数学奖,阿贝尔奖(2003-),2003年塞尔(法,1926-)关于代数拓扑、代数几何获奖,伽罗瓦(法,1811-1832)(法国,1984),代数方程根式解,伽罗瓦贡献：群论，宣告方程根式解这一经历了300年问题的彻底解决，及尺规作图中“三等分任意角”问题和“倍立方”问题不可能在中学读书时，已经熟悉欧拉、高斯、雅可比（德，18041851年）的著作1829年进入巴黎高等师范学校18291831年提交法国科学院的数学奖论文，分别交柯西、傅里叶、泊松1831年1月被校方开除，两次入狱，死于为“爱情与荣誉”的决斗1846年论文发表,伽罗瓦的遗书我请求我的爱国同胞们，我的朋友们，不要指责我不是为我的国家而死。我是作为一个不名誉的风骚女人和她的两个受骗者的牺牲品而死的。我将在可耻的诽谤中结束我的生命。噢！为什么要为这么微不足道的，这么可鄙的事去死呢？我恳求苍天为我作证，只有武力和强迫才使我在我曾想方设法避开的挑衅中倒下。我亲爱的朋友，我已经得到分析学方面的一些新发现。在我一生中，我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这里写下的这一切已经清清楚楚地在我的脑海里一年多了，我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性（不是就定理的正确与否）发表他们的看法。然后，我希望有人会发现将这些整理清楚会是很有益处的一件事。热烈地拥抱你。伽罗瓦,代数方程根式解,有限置换群1849-1854年凯莱(英,1821-1895)引入抽象群,伽罗瓦域1893年韦伯(德,1842-1913)抽象域,抽象化尝试,1811，1831年高斯(德,1777-1855)讨论了复数几何表示,1797年威塞尔(挪,1745-1818)、1806年阿甘德(瑞,1768-1822)讨论了复数几何表示,数系扩张,1747年达朗贝尔(法,1717-1783)断言复数表示为a+ib，1777年欧拉(瑞,1701-1783)支持用i表示虚数单位,1737年欧拉(瑞,1701-1783)证明了e是无理数1761年兰伯特(法,1728-1777)证明了是无理数1844年刘维尔(法,1809-1882)第一次显示了超越数的存在1873年和1882年埃尔米特(法,1822-1901)和林德曼(德,1852-1939)分别证明了e和是超越数，“化圆为方”问题的不可能欧拉常数是否是无理数?,实数,复数,1837年哈密顿(爱尔兰,1805-1865)表示复数为有序实数对1843年哈密顿(爱尔兰,1805-1865)定义了四元数,数系扩张,1844年格拉斯曼(德,1809-1877)引进了n个分量的超复数,1847年凯莱(英,1821-1895)定义了八元数,麦克斯韦(英,1831-1879)创造了向量分析,哈密顿的四元数(爱尔兰,1983),数系扩张,哈密顿（爱尔兰，18051865年），光学、力学和代数自幼聪明，具有非凡的语言能力，“神童”1820年已阅读牛顿自然哲学的数学原理，拉普拉斯的天体力学，1823年进入剑桥大学三一学院1834年发表论文“一种动力学的普遍方法”1843年10月16日定义了四元数“思想电路接通之火花”18371845年任爱尔兰皇家科学院院长英国声誉仅次于牛顿的数学家，物理学家,1683年关孝和(日,1642-1708，“算圣”)完成解伏题之法提出行列式理论和代数方程变换理论1750年克莱姆(瑞,1704-1752)法则1772年范德蒙(法,1735-1796)、拉普拉斯(法,1749-1827)行列式展开定理1841年凯莱(英,1821-1895)行列式记号1852年西尔维斯特(英,1814-1897)惯性定理1854年埃尔米特(法,1822-1910)使用了正交矩阵1858年凯莱证明了凯莱-哈密顿(爱尔兰,1805-1865)定理1870年若尔当(法,1838-1921)建立了若尔当标准形1879年弗罗贝尼斯(德,1849-1917)引入矩阵的秩,行列式与矩阵,凯莱,西尔维斯特,埃尔米特,弗罗贝尼斯,若尔当,行列式与矩阵,克莱姆,拉普拉斯,关孝和,布尔代数,来源于对数学和逻辑基础的探讨,莱布尼茨(德,1646-1716)提出思维演算和逻辑的数学化思想德摩根(英,1806-1871)1847年形式逻辑首创关系逻辑研究,德摩根,布尔,施罗德,施罗德(德,1841-1902)逻辑代数讲义(1890-1905)把布尔的逻辑代数推向顶峰,布尔(英,1815-1864)用代数方法建立了逻辑代数,1847年和1854年布尔出版逻辑的数学分析和思维规律研究,布尔代数,布尔(英,1815-1864)，数学、逻辑学家，50篇学术论文和两部教科书，19世纪数理逻辑的最杰出代表“自学成才”著称于世，掌握了拉丁语、希腊语、意大利语、法语和德语，自学了牛顿自然哲学的数学原理，拉格朗日解析函数论和拉普拉斯天体力学1839年申请进剑桥大学，1844年发表“关于分析中的一般方法”1849年爱尔兰科克皇后学院数学教授，1857年英国皇家学会会员,本章说明,本章的主要内容一元和二元运算定义及其实例二元运算的性质代数系统定义及其实例子代数,与后面各章的关系是后面典型代数系统的基础,9.1二元运算及其性质9.2代数系统9.3代数系统的同态与同构本章小结作业,本章内容,9.1二元运算及其性质,定义9.1设S为集合，函数f：SSS称为S上的二元运算，简称为二元运算。举例f:NNN，f()x+y是自然数集合N上的二元运算f:NNN，f()x-y不是自然数集合N上的二元运算称N对减法不封闭。,说明,验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点：S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一的。S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是封闭的。,（1）自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但减法和除法不是。（2）整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算，而除法不是。（3）非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，加法、减法不是。（4）设Sa1,a2,an，aiaj=ai为S上二元运算。,例9.1,例9.1,（5）设Mn(R)表示所有n阶(n2)实矩阵的集合，即,则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。（6）S为任意集合，则、为P(S)上的二元运算。（7）SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上的二元运算。,一元运算,定义9.2设S为集合，函数f：SS称为S上的一元运算，简称为一元运算。例10.3（1）求一个数的相反数是整数集合Z、有理数集合Q和实数集合R上的一元运算。（2）求一个数的倒数是非零有理数集合Q*、非零实数集合R*上的一元运算。（3）求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。,（4）在幂集P(S)上，如果规定全集为S，则求集合的绝对补运算是P(S)上的一元运算。（5）设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，ASS，求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。（6）在n(n2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求一个矩阵的转置矩阵是Mn(R)上的一元运算。,一元运算举例,可以用、等符号表示二元或一元运算，称为算符。设f:SSS是S上的二元运算，对任意的x,yS，如果x与y的运算结果为z，即f()z，可以利用算符简记为xy=z。对一元运算，x的运算结果记作x。例题设R为实数集合，如下定义R上的二元运算：x,yR，xy=x。那么34=3，0.5(3)=0.5。,二元与一元运算的算符,函数的解析公式运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）,二元与一元运算的表示,例9.4设S=1,2，给出P(S)上的运算和的运算表，其中全集为S。,解答,例9.4,例9.5设S=1,2,3,4，定义S上的二元运算如下：xy(xy)mod5，x,yS求运算的运算表。,解答,例9.5,定义9.3设为S上的二元运算，如果对于任意的x,yS都有xy=yx，则称运算在S上满足交换律。定义9.4设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,zS都有(xy)z=x(yz)，则称运算在S上满足结合律。说明：若+适合结合律，则有(x+y)+(u+v)x+y+u+v。定义9.5设为S上的二元运算，如果对于任意的xS有xx=x，则称运算在S上满足幂等律。如果S中的某些x满足xx=x，则称x为运算的幂等元。举例：普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法的幂等元，0和1是乘法的幂等元。,二元运算的性质,例题,Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2。,定义9.6设和为S上两个二元运算，如果对于任意的x,y,zS，有x(yz)(xy)(xz)（左分配律）(yz)x(yx)(zx)（右分配律）则称运算对运算满足分配律。说明：若*对运算分配律成立，则*对运算广义分配律也成立。x(y1y2yn)(xy1)(xy2)(xyn)(y1y2yn)x(y1x)(y2x)(ynx)定义9.7设和为S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的x,yS，都有x(xy)xx(xy)x则称运算和满足吸收律。,二元运算的性质,Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合，n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2。,例题,定义9.8设为S上的二元运算，如果存在元素el（或er）S，使得对任意xS都有elx=x(或xer=x)则称el(或er)是S中关于运算的一个左单位元(或右单位元)。若eS关于运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于运算的单位元。单位元也叫做幺元。,运算可以没有左单位元和右单位元。运算可以只有左单位元。运算可以只有右单位元。运算可以既有左单位元，又有右单位元。,说明,二元运算中的特异元素单位元,二元运算中的特异元素零元,定义9.9设为S上的二元运算，如果存在元素l（或r）S，使得对任意xS都有lx=l(或xr=r)，则称l(或r)是S上关于运算的左零元(或右零元)。若S关于运算既是左零元又是右零元，则称为S上关于运算的零元。,运算可以没有左零元和右零元。运算可以只有左零元。运算可以只有右零元。运算可以既有左零元，又有右零元。,说明,二元运算中的特异元素逆元,定义9.10设为S上的二元运算，eS为运算的单位元，对于xS，如果存在yl（或yr）S使得ylxe（或xyre）则称yl（或yr）是x的左逆元（或右逆元）。若yS既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y为x的逆元。如果x的逆元存在，则称x是可逆的。,运算可以没有左逆元和右逆元。运算可以只有左逆元。运算可以只有右逆元。运算可以既有左逆元，又有右逆元。,说明,特异元素的实例,定理9.1,定理9.1设为S上的二元运算，el、er分别为运算的左单位元和右单位元，则有el=er=e且e为S上关于运算的唯一的单位元。,eleler(er为右单位元)elerer(el为左单位元)所以el=er，将这个单位元记作e。假设e也是S中的单位元，则有e=ee=e所以，e是S中关于运算的唯一的单位元。,证明,定理9.2,定理9.2设为S上的二元运算，l和r分别为运算的左零元和右零元，则有l=r=且为S上关于运算的唯一的零元。,llr(r为左零元)lrr(l为右零元)所以l=r，将这个零元记作。假设也是S中的零元，则有=所以，是S中关于运算的唯一的零元。,证明,定理9.3,定理9.3设为S上的二元运算，e和分别为运算的单位元和零元，如果S至少有两个元素，则e。,用反证法。假设e=，则xS有xxex这与S中至少含有两个元素矛盾。所以，假设不成立，即e。,证明,定理9.4,定理9.4设为S上可结合的二元运算，e为该运算的单位元，对于xS，如果存在左逆元yl和右逆元yr，则有yl=yr=y且y是x的唯一的逆元。,由ylx=e和xyr=e，得,证明,yl=yle,令yl=yr=y，则y是x的逆元。,=yl(xyr),=(ylx)yr,=eyr,=yr,假若yS也是x的逆元，则,y=ye,=y(xy),=(yx)y,=ey,=y,所以y是x唯一的逆元，记作x1。,消去律,定义9.11设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,zS，满足以下条件：（1）若xyxz且x，则yz（左消去律）（2）若yxzx且x，则yz（右消去律）则称运算满足消去律。例如：整数集合上的加法和乘法都满足消去律。幂集P(S)上的并和交运算一般不满足消去律。,例9.6,例9.6对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。（1）Z+，x,yZ+，xylcm(x,y)，即求x和y的最小公倍数。（2）Q，x,yQ，xy=x+y-xy,解答,（1）运算可交换、可结合、是幂等的。xZ+，x1=x，1x=x，1为单位元。不存在零元。只有1有逆元，是它自己，其他正整数无逆元。,例9.6,（2）Q，x,yQ，xy=x+y-xy运算满足交换律，因为x,yQ，有xy=x+y-xy=y+x-yx=yx运算满足结合律，因为x,y,zQ，有(xy)z=(x+y-xy)z=x+y-xy+z-(x+y-xy)z=x+y+z-xy-xz-yz+xyzx(yz)=x(y+z-yz)=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyz运算不满足幂等律，因为2Q，但22=2+2-2202运算满足消去律，因为x,y,zQ，x1(1为零元)，有xy=xzx+y-xy=x+z-xzy-z=x(y-z)y=z由于是可交换的，所以右消去律成立。同理可证明左消去律成立，所以消去律成立。,例9.6,0是运算的单位元，因为xQ，有x0=x+0-x0=x=0x1是运算的零元，因为xQ，有x1=x+1-x1=1=1xxQ，欲使xy=0和yx=0成立，即x+y-xy=0得,所以，,例9.7,例9.7设A=a,b,c，A上的二元运算、如表所示。(1)说明、运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。(2)求出关于、运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。,运算满足交换律、结合律和消去律，不满足幂等律。单位元是a，没有零元，且a-1=a，b-1=c，c-1=b。运算满足交换律、结合律和幂等律，不满足消去律。单位元是a，零元是b，只有a有逆元，a-1=a。运算满足结合律和幂等律，不满足交换律和消去律。没有单位元，没有零元，没有可逆元。,解答,复习,分析,9.2代数系统,定义9.12非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,fk组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记做。实例：、都是代数系统，其中+和分别表示普通加法和乘法。是代数系统，其中和分别表示n阶(n2)实矩阵的加法和乘法。是代数系统，其中和为并和交，为绝对补。是代数系统，其中Zn0,1,2,n-1和分别表示模n的加法和乘法。,集合（规定了参与运算的元素）运算（只讨论有限个二元和一元运算）代数常数在定义代数系统的时候，如果把零元和单位元也作为系统的性质，称这些元素为该代数系统的特异元素或代数常数。有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统，也可以把这些代数常数列到系统的表达式中。例如：代数系统。,代数系统的成分,列出所有的成分：集合、运算、代数常数（如果存在）例如，列出集合和运算，在规定系统性质时不涉及具有单位元的性质（无代数常数）例如，用集合名称简单标记代数系统例如在前面已经对代数系统作了说明的前提下，上述两个代数系统可以简记为Z,P(S),代数系统的表示,定义9.13如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型的代数系统。例如V1=V2=V1、V2是同类型的代数系统，因为它们都含有2个二元运算，1个一元运算，2个代数常数。但是它们的运算性质不一样。,同类型的代数系统,在规定了一个代数系统的构成成分，即集合、运算以及代数常数以后，如果在对这些性质所遵从的算律加以限制，那么满足这些条件的代数系统就具有完全相同的性质，从而构成了一类特殊的代数系统。例如：代数系统V，如果*是可结合的，则称V为半群。如、等都是半群。从代数系统的构成成分和遵从的算律出发，将代数系统分类，然后研究每一类代数系统的共同性质，并将研究的结果运用到具体的代数系统中去。(抽象代数的基本方法)以后各章分别就几类重要的代数系统进行分析。,代数系统地说明,定义9.14设V是代数系统，BS，如果B对f1,f2,fk都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称是V的子代数系统，简称子代数。简记为B。例如：N是的子代数，N也是的子代数。N0是的子代数，但不是的子代数。,子代数和原代数具有相同的成分，运算性质也相同，是同类型的代数系统，在许多方面与原代数非常相似，不过可能小一些。对于任何代数系统，其子代数一定存在。,说明,子代数,最大的子代数：就是V本身。最小的子代数：如果令V中所有代数常数构成的集合是B，且B对V中所有的运算都是封闭的，则B就构成了V的最小的子代数。平凡的子代数：最大和最小的子代数称为V的平凡的子代数。真子代数：若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数。,子代数的相关概念,例9.8设V=，令nZ=nz|zZ，n为自然数，则nZ是V的子代数。,任取nZ中的两个元素nz1和nz2(z1,z2Z)，则有nz1+nz2n(z1+z2)nZ即nZ对+运算是封闭的。又0=n0nZ所以，nZ是V的子代数。,证明,当n=1和0时，nZ是V的平凡子代数，其他的都是V的非平凡的真子代数。,说明,例9.8,积代数,定义9.15设V1=和V2=是代数系统，其中和是二元运算.V1与V2的积代数V=,S1S2,=,例V1=,V2=,积代数,ZM2(R),=,积代数的性质,设V1=和V2=是代数系统，其中和是二元运算.V1与V2的积代数是V=(1)若和运算是可交换的，那么运算也是可交换的(2)若和运算是可结合的，那么运算也是可结合的(3)若和运算是幂等的，那么运算也是幂等的(4)若和运算分别具有单位元e1和e2，那么运算也具有单位元(5)若和运算分别具有零元1和2，那么运算也具有零元(6)若x关于的逆元为x1,y关于的逆元为y1，那么关于运算也具有逆元,9.3代数系统的同态与同构,同态映射的定义同态映射的分类单同态、满同态、同构自同态同态映射的实例满同态映射的性质,定义9.16设V1=和V2=是代数系统，其中和是二元运算.f:S1S2,且x,yS1f(xy)=f(x)f(y)则称f为V1到V2的同态映射，简称同态.,同态映射的定义,同态映射的定义(续),例1V=,判断下面的哪些函数是V的同态？(1)f(x)=|x|(2)f(x)=2x(3)f(x)=x2(4)f(x)=1/x(5)f(x)=x(6)f(x)=x+1,解(1)是同态,f(xy)=|xy|=|x|y|=f(x)f(y),(4)是同态,f(xy)=1/(xy)=1/x1/y=f(x)f(y),(3)是同态,f(xy)=(xy)2=x2y2=f(x)f(y),(2)不是同态，f(22)=f(4)=8,f(2)f(2)=44=16,(5)不是同态，f(11)=f(1)=1,f(1)f(1)=(1)(1)=1,(6)不是同态，f(11)=f(1)=2,f(1)f(1)=22=4,特殊同态映射的分类,同态映射如果是单射，则称为单同态；如果是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，记作V1V2；如果是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2，记作V1V2.对于代数系统V，它到自身的同态称为自同态.类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构.,例2(1)设V=，aZ，令fa:ZZ，fa(x)=ax那么fa是V的自同态.因为x,yZ，有fa(x+y)=a(x+y)=ax+ay=fa(x)+fa(y)当a=0时称f0为零同态；当a=1时，称fa为自同构；除此之外其他的fa都是单自同态.(2)设V1=,V2=，其中Q*=Q0，令f:QQ*,f(x)=ex那么f是V1到V2的同态映射，因为x,yQ有f(x+y)=ex+y=exey=f(x)f(y).不难看出f是单同态.,同态映射的实例,(3)V=,fp：ZnZn,fp(x)=(xp)modn，p=0,1,n1.x,yZn,fp(xy)=(xy)p)modn=(xp)modn(yp)m