圆锥曲线光学性质的证明及应用初探

1圆锥曲线光学性质的证明及应用初探源于课本一份阅读材料的探究反思内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学王珏指导教师张红学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有一则阅读材料引起了同学们的兴趣，在老师的指导下，我们不仅了解了圆锥曲线的光学性质这一常见现象，而且进一步对它进行了证明和探究，并对它在数学解题和生产科技等方面的应用有了一定的认识。课后我经过反思与整理，写成此文。一、圆锥曲线的光学性质11椭圆的光学性质从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；见图11椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热12双曲线的光学性质从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；见图12双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用13抛物线的光学性质从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图13）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点2处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。二、问题转化及证明21圆锥曲线的切线与法线的定义设直线与曲线交于，两点，当直线连续变动时，两点沿LCPQLPQ着曲线渐渐靠近，一直到，重合为一点,此时直线称为曲线在点MLC处的切线，过与直线垂直的直线称为曲线在点处的法线。MLC此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化22圆锥曲线光学性质的证明预备定理1若点是椭圆上任一点，则椭圆过该点的0,PXY21XYAB图13F2F1图12AF1F2DO图11B3切线方程为。021XYAB证明由221YB22XYA1当时，过点的切线斜率一定存在，且XAPK0|XKY对式求导202BYXA切线方程为020|XBKYAY2000BXYAY点在椭圆上，0,P21XB故代入得21XYAB0022YA而当时，切线方程为，也满足式0YXA故是椭圆过点的切线方程021XYAB0,PXY预备定理2若点是双曲线上任一点，则双曲线过0,21XYAB该点的切线方程为221XYAB证明由21YB2XY1当时，过点的切线斜率一定存在，且XAPK0|XKY对式求导20BYXA020|XBYAY切线方程为20004点在双曲线上，0,PXY21XYAB故代入得21AB0022而当时，切线方程为，也满足式X0YXA故是双曲线过点的切线方程021AB0,PY预备定理3若点是抛物线上任一点，则抛物线过该点0,XY2PX的切线方程是00YP证明由，对求导得2X02|XYPKY当时，切线方程为0Y0YX即200PX而0YYX而当时，切线方程为也满足式0,X0故抛物线在该点的切线方程是0YPX定理1椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分（图21）已知如图，椭圆的方程为，分别是其左、右焦点，是C21XYAB2,FL过椭圆上一点的切线，为垂直于且过点的椭圆的法线，交轴0,PXYLLPX于D设，21,F求证证法一在上，2XYCAB0,PXYC，则过点的切线方程为P021XYABLODXY2F12L图215是通过点且与切线垂直的法线，LPL则0002221YXLYBABA法线与轴交于L0,CDX22102|,|CFXFAA220|又由焦半径公式得1020|,|PEXFAEX1122|DF是的平分线P1，故可得90证法二由证法一得切线的斜率，而的斜率，L020|XBKYA1PF01YKXC的斜率2PF02YKXC到所成的角满足L120022001200TANYBXCAYBXCKAY在椭圆上0,PXY1CAB20TANBC同理，到所成的角满足2FL20TAN1KBCYTANT而,0,26证法三如图，作点，使点与关于切线对称，连结，交椭圆3F32FL1F3于点CP下面只需证明点与重合即可P一方面，点是切线与椭圆的唯一交点，则，是上的点LC12|PFAL到两焦点距离之和的最小值（这是因为上的其它点均在椭圆外）L另一方面，在直线上任取另一点LP1213112|PFPFFF即也是直线上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而与重合ABP即而得证定理2双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图22）；已知如图，双曲线的方程为，分别是其左、右焦点，C21XYABF2是过双曲线上的一点的切线，交轴于点，设，L0,PXD1FP2FPD求证证明21XYCAB两焦点为，1,0FC2,22BAC在双曲线上0,PXY则过点的切线021XYAB切线与轴交于。L0,D由双曲线的焦半径公式得FLDXLPY图2271020|,|CCPFXAPFXA双曲线的两焦点坐标为，,0,CF故011102022|,|,|CXAPDFACADXDX故，切线为之角分线。LFP定理3抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分（图23）。已知如图，抛物线的方程为为，C24YCX直线是过抛物线上一点的切线，L0,X交轴于，XD,FD反射线与所成角记为，PQL求证证明如图，抛物线的方程为C，点在该抛物线上，24CYCX0,Y则过点的切线为P0PX切线与轴交于LX0,D焦点为，同位角,CF2000|,|PXYXCFXC|D通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢三、圆锥曲线的光学性质的应用PFLDYXD图23831解决入射与反射问题例1设抛物线，一光线从点A5，2射出，平行的对称轴，射2CYXC在上的P点，经过反射后，又射到上的Q点，则P点的坐标为_，Q点的坐标为_。解如图，直线平行于对称轴且A5，2，则P点的坐标为（4，2）A反射线过点P1,04F设，则2,T285T解得18T,64Q例2已知椭圆方程为1，若有光束自焦25X6Y点A3，0射出，经二次反射回到A点，设二次反射点为B，C，如图312所示，则ABC的周长为。解椭圆方程为1中，25X6Y25169CA3，0为该椭圆的一个焦点自A3，0射出的光线AB反射后，反射光线AC定过另一个焦点A3，0故ABC的周长为4520ABCAA例3双曲线，又，已知218XYCA4，2，F4，0，若由F射至A的光线图311图311图312图3139被双曲线反射，反射光通过P8，K，则K。C解入射线FA反射后得到的光线AP的反向延长线定过双曲线的另一个焦点4,0F23218KK32解决一类“距离之和”的最值问题张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉”层面上的结论，但却为我们研究一类“距离之和”取值范围问题时指明了思考的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证明，这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。”我读了他的文章，深受启发，并用圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。例4已知椭圆C，F1、F2为分别是其左右焦点，点Q2，1，259XYP是C上的动点，求|MF1|MQ|的取值范围。（一）分析猜想（1）经计算，Q（2，2）点在椭圆内,由于椭圆是封闭图形，因此|MF1|MQ|应该有一个封闭的取值范围，既有最小值也有最大值。（2）同样根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得从F1射出被椭圆反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图321，光线从F1P1Q），二是被下半椭圆反射（如图322，光线从F1P2F2Q），究竟哪种情况距离之和更小呢显然，根据椭圆定义，图321中的|P1F1|P1Q|2A，可见图321所示的情况距离之和更小。YXF1F2QP1P1O图321P2P2YXF1F2QO图322图323P2YXF1F2QP1O10但是，最大值又是多少呢图322所示的光线又有什么特点呢将图321和图322中的光线反射路线合并图323，由于|P2Q|P2F1|P1Q|P1F1|是定值4AA为椭圆长半轴长，而|P1Q|P1F1|由前面知最小，由此猜测|P2Q|P2F1|可能就是最大值。（二）证明|P1F1|P1Q|是最小值。如图322，连接QF2，延长交椭圆于P2，在椭圆上另取一点，由2P椭圆定义知|P2Q|QF2|PF1|F1|F2|（），因为|F2|Q|QF2|，代入（）式得|P2Q|QF2|P2F1|F1|Q|QF2|所2P以，|P2Q|P2F1|F1|Q|。猜想得证。2P（三）计算综上所述，只需求出22|40Q可得最小值为0A最大值为2|1F例5已知双曲线C，F1、F2为分别是其左右焦点，点23YX，M是C上的动点，求|MF2|MQ|的取值范围。94,2Q分析猜想经计算，Q点在双曲线右支开口内部。由于双曲线是不封闭曲线，显然|MF2|MQ|可以无限大，故要求|MF2|MQ|的取值范围，关键是求出|MF2|MQ|的最小值。根据光线的“最近传播”特点，我们猜想从F1射出经双曲线反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的，再结合双曲线的光学性质（从一个焦点射出的光线经椭圆周反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点），可作出从F1射出被双曲线反射后经过点Q的光线连接F1Q，与双曲线的交点即为使得|MF2|MQ|最小的点，设为P点，光线从F2PQ。（见图2）（二）证明如图2按猜想作出点P，由于所求点P显然不在双曲线的左支上（此时显然距离之和不会最小），故在右支上另取一点，由双曲线定义知|PF1|PF2|F1|F2|，即|PF1|F2|F1|PF2|，因为|PF1|PQ|Q|F1|，两边同加|PF2|得所以|PF1|PQ|PF2|Q|F1|PF2|Q|PF1|F2|，故P|PQ|PF2|Q|F2|，猜想得证。（三）计算由题意知19,04,FQ2112|PP11F|A422455OPPQF2F1图3251112例6已知抛物线C，F是其焦点，点，M是C上的动点，XY422,1Q求|MF|MQ|的取值范围。分析由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最大值，因此关键是求最小值。根据抛物线光学性质（从焦点射出的光线经抛物线反射，反射光线与对称轴平行，反之也成立），结合光线的“最近传播”特点，我们猜想过Q与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和最小的点，设为P点（见图326）。可由抛物线的定义证明猜想是正确的。且|PF|PQ|333圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用。光线反射总是满足反射定律（入射角等于反射角），光线被曲线反射也不例外，此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线。可见，曲线的切线和与曲线有关的反射问题有着密切联系。以椭圆为例如图331，L是过椭圆周上一点P的椭圆的切线，M是P点处的法线，光线从F1（F2）射出被椭圆反射经过F2（F1），满足12，且34。例7已知L是过椭圆C上一动点P的椭圆C的动切线，216XY过C的左焦点F1作L的垂线，求垂足Q的轨迹方程。分析如图332，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，或许借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐。由于L是椭圆的切线，切点为P，联想到椭圆光学性质及反射定律，可知L是F1PF2的外角平分线，F1关于直线L的对称点在F2P的延长线上。这样，由于|PF1|P|，故2|F2|PF1|PF2|2A8，而Q、O分别是F1、F2的中点，所1以|QO|4。从而Q点轨迹是以O为圆心、以4为半径的圆。即点Q的方程为6XY225OMLPF2F14321图331图332422455Q12F1OPF2F11234在生产生活中的作用例8某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图341，其中F为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以CM为单位的设计尺寸如图342为了达到最佳加热效果，