2018高等数学B上复习资料.doc

华南理工大学网络教育学院 高等数学（上）辅导 一、 判断两个函数的定义域是否相同 2与是否表示同一个函数？、 1xx)?lnf(x2ln)f(x? 2表示同一个函数2、与|x|f(x)?xx)?f( 二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小： x?0时,xsinxtanxarcsinxarctanx x -1eln(1?x)x11 2 ,x?cosx1x?x11 22无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换 例题： 33xsin?1、lim ？ 2x0?xsin3x3xx?0，解：当 ， 页17共 页1第3)x(3原式=lim?lim27x?0 2x0?0xx? sin3x、2?lim？ x0?x3x解：原式=lim?3 x0?x 1-cosx？ 3、?lim 2x0x?12解：当x?0，1-cosxx 212x1 2 原式=?lim 2x20x? ln(1?3x)？ 4、?lim x0x?x?0，ln(1+3x)3x解：当 3x. 原式=.3?lim x0x? 2x?e15、？ ?lim x0?x 页17共 页2第2x解：当?1e2xx?0， 2x原式=. 2lim? x0x? 三、 多项式之比的极限 22?xx11x3?x， ，lim?lim?0?lim 223xxx3?x?3x?xx?x 四、 可导与连续等的关系 、xx. 在点连续若在, 点导数存在则1、)f(x)xf(00 x. 的极小值点是2. 若的驻点，则它不一定是)xf(f(x0 五、 导数的几何意义（填空题） ?(x)M(x,ff(x)处的切线斜率 ：表示曲线在点)(xy?f000M(x,f(x)处的切线方程为： .曲线.在点)f(x?y00?(x)(xf?x)(y?fx)? 000M(x,f(x)处的法线方程曲线为： 在点)y?(xf001(x?x)?xy?f()? 00?(x)f0例题： 页17共 页3第x?4 的切线的斜率、曲线在点1(2,3)M?y x4?)?xx)?(4?x)(4(4?x)(4? 解：?y22x?)(4?x2?x8 2?2)(4?x2x? xcos 在点2、曲线处的切线方程(0,1)M?y xexx?)e?cosx(cosx)e? 解：?y x20x?(e)x?0xxxecos?sinxe 1?2x)e(x?0cosx所以曲线在点处的切线方程为： (0,1)M?y xe，即 0?y?x?0)1x?(y?1?1?y在点处的切线方程 3、曲线(1,1)M 23x 522? ?x解：y? 3 1x?331?x1?y在点处的切线方程为： 所以曲线(1,1)M 23x2，即 0?5?x3y?21)?1y?(?x 3 页17共 页4第 六、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分 复合函数求导的链式法则： dydydu ?):?g(x?f(u),u?g(x)y?fy? xdxdud? ).gxf(u)或y?(x)? 微分：dx)(xdy?f例题： 21x?y?？ 1，则、设?y11x?22 解：?xx?1y?12 221?x 2？，则2、设 xsiny?y?222xcos2xcosy?x?x 解： sinx，则？ 3、设?dy2?y?xsinxsin2lnsinxcos?y22xln2? 解： sinxcosx2ln2dx 则?dy x，则？、设 4?dyesin?y 页17共 页5第?xxxx 解：e?eey?cose?cosxx 所以dxcosedy?e 22x?x?），则、设5？（答案： ey?dydx2xe? 运用导数判定单调性、求极值七、 例题： 的单调区间和极值1、求xxlny? 解：定义域)(0,?x?1?e?x 令，求出驻点0?1?yx?lnx 1? )(0,e1?e ?1 )?,(e? y- 0 + y 单调减 极小值点单调增 ?11? 函数的单调递减区间为，单调递增区间为)?(e,(0,e11 极小值为 ?y() ee ?x的单调区间和极值 2、求xe?y解：定义域 )?,x?(?xx?x?x?1 令，求出驻点0?)?ey?xe?(1xe 页17共 页6第x (?,1)1 )(1,? y+ 0 - y单调增 极大值点 单调减 ，函数的单调递减区间为)?1, ，单调递增区间为,1)?(1? 极大值为e?y(1) 2x? 、求函数.的单调区间和极值3e?f(x) 解：定义域)?(?,x2x? ，得 令0x?xe)?f2(xx 32x1? (?,0)dx0 )(0,? y+ 0 - y单调增 极大值点 单调减 ，单调递增区间：，单调递减区间：)?(0,(?,0) 极大值为1f(0)? 213答案：的极值4、求函数?(1)?x?y?f(x)x，极小值为 332 ?1)(y?极大值为 3 隐函数求导八、 页17共 页7第例题： x2所确定的隐函数、求由方程的导1)x?y(y0?e?siny?xydy 数 dxx求导，得： 解：方程两边关于x2? 0?)?2y?cosy?xy?(yey 2xe?y?y 即 cosy?2xy 2、求由方程所确定的隐函数的导数)x(y?cos(x?y)yydy dx解：方程两边同时关于x求导，得： ? )?ysin(?x?yy)(1?即 ?sin(x?y)? ?y 1?sin(x?y) 3、求由方程所确定的隐函数的导数)xy(?y)y?xy?sin(dycos(x?y)dy? 答案： dx1?cos(x?y)dx 页17共 页8第 4、求由方程所确定的隐函数的导)x?yy?lny?0(xy?lnxdydyy 答案：数 ? dxxdx 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理九、 例题：11?lim? 1、求极限? xxsine?1?0x?x1)e?sinx?(lim? 解：原式 xx(e?1)sin0x?x?e1)sinx?(?xx?1,时，sinxxex当?0. . lim? 2x0?xxe?cosx lim? 2x0?xxex?sin ?lim 20?x1 ? 2 0x?sinx?2、求极限 lim? 30xtan?0?x 页17共 页9第x?sinx? =解：原式xtanx当x?0时，lim 3x0x?1?cosx ?lim 23x0x?12x1 ?221?cosxx当x?0时，= lim? 22x3?0x?1 ? 6 x01?ex1?3、 （答案：）lim 求? 20x2?0?x 十、 凑微分法求不定积分（或定积分） 2x?lnxdxdxlnsin4xdxxecos5dx ，简单凑微分问题：,，x 2?dxdx3xx2?，分微问题：，般一的凑 2x?1sinxlnx? ，dxdx x1?xcos例题： x?dx 1、 2x1?2? 解：注意到x2)?x(1? 页17共 页10第111? 2?x?1?d 原式=Cx参考公式?dx?2? 2x2x1?1?2 ?xC1? 2 2? 2、dxx2?3x2? 解：注意到x6?(2?3x?)3?21 22? 原式C?参考公式xxdx)2?3xx(2?3d=?2? 36?1 23 =C?(2-3x)? 9 sinx? 3、dx 1?cosx? 解：注意到x?)sin?(1?cosx11?dx?ln|x参考公式|?C 原式)x(1?cos=?d? xcosx1?= C|?|1?cosx?ln 5?x?dxe 4、?x5?xx?)?ex(5d =解：原式C参考公式?edx?ex?5Ce? = 页17共 页11第 ?cos5xdx 5、1? 解：原式C?参考公式sincosxdx?x)(5xcos5xd? 51 C?sin5x 5 ?sin3xdx 、61? 解：原式C?xdx?cos参考公式xsin)x?(3sin3xd 31 C?cos3x? 3 十一、 不定积分的分部积分法（或定积分） x?x?dxdxxsinxdxxexcosxdxxe，诸如，?xlnxdx，可采用分部积分法 ?v(x)?)du(x)u)dv(x)?(x)v(x(ux 分部积分公式：例题： ?xsinxdx1、求不定积分 ?xsinxd?x?d(coxsx 解 ?(?cos?xx)dxcos?x 页17共 页12第?cosxdxcosx?x C?sinx?xcosx ?x?dxxe 2、求不定积分?x?x?xde?xedx? 解 ?x?x?dx?e?xe ?x?x?C?e?xe ?xlnxdx 3、求不定积分12? 解 )xd(xlnxdx?xln 21122? xdx?lnx?xln 22112? xdx?lnx?x 221122?xlnx?x?C 24 十二、 定积分的概念及其性质 知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等 例题： 页17共 页13第a2x3?、1dxex 定积分等于 a? 2x3x=0 解：因为是的奇函数，所以原式exa32?、2xdxsinx 等于定积分 a? 32x=0 是解： 因为的奇函数，所以原式xsinx 2xxsin?、3dx 定积分 等于 2x?1? 2xxsinx=0 的奇函数，所以原式解： 因为是 2x1? 变上限积分函数求导十三、 变上限积分函数的导数公式?)(x?)?xdt?f(?(x)(ft) a3x(C)?(x)?_t)dtxF()?,则Ff(a33)(f(xx)F(x)?解 23)(3xxf 例题： 43x?dt)(txF()?f?x)F(,)(fxab，则在设函数、1 上连续，a（ C ） 页17共 页14第2323 A)xf( B CD)(xxf3)xx)f(3xf( 2x2?tdtarctan?f(x)2、设，则 xarctan2x?xf)(1 x33? ，则、设3xsindttsinf(x)?f)(x0 十四、 凑微分法求定积分（或不定积分） 思想与不定积分类似 例题： 1 ? 、1x032? 解：注意到x?(x3?1)3?211 33? xdx?x参考公式?C 原式1)x1d(?x2? 330?12 33 =1)x(? 902 1)?(22 9 十五、 定积分的分部积分法（或不定积分） 思想与不定积分类似 页17共 页15第 例题：? 1 、求定积分xdxxsin20? 解 )?xxd(?cosxsinxdx2200? ? dxx?)(?cos?xcosx2200? ? xdx?cos20? 1?sinx?20 1x? 、求定积分2dxxe011xx? 解xde?xedx0011 xx? dxe?xe?001 x?1e0)?(e? 01?1?2e? 十六、 求平面图形面积 知识点：X型积分区域的面积求法 Y型积分区域的面积求法 通过作辅助线将已知区域化为若干个X型或Y型 页17共 页16第积分区域的面积求法 例题： 1、求由、，及所围成的封闭图0?x7?lnxy?ln2lnyy形的面积 yex? 得解：由xlny?ln7y? 面积为dy?(eS?0)2ln