云南省大理、丽江、怒江2020届高中毕业生第二次复习统一检测数学理试题.pdf

1 秘密启用前 【考试时间：1 月 2 日 1500 1700】 大理、丽江、怒江 2020 届高中毕业生第二次复习统一检测 理科数学 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 考生注意： 1答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上， 并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1已知集合3 , 0 x My yx=， () 2 lg 3Nx yxx=，则MN为（ ） A B() 1,+ C)3,+ D() 1,3 2设i是虚数单位，如果复数 2 ai i + + 的实部与虚部是互为相反数，那么实数a的值为（ ） A3 B 1 3 C 1 3 D3 3甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说： 丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用若这三人中仅有一人说法错误，则下列结 论正确的是（ ） A丙被录用了 B乙被录用了 C甲被录用了 D无法确定谁被录用了 4设m，n是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若m，/ /n，则m，n为异面直线； 若m，m，则； 2 若/ /，/ /，则/ /； 若m，n，/ /mn，则 则上述命题中真命题的序号为（ ） A B C D 5若正整数n除以正整数m后的余数为，则记为 (mod)nrm，例 如103(mod7)下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中 外的中国剩余定理，执行该程序框图，则输出n的值等于（ ） A29 B30 C31 D32 6曲线 2 lnyx x =在1x =处的切线的倾斜角为，则cossin+ 的值为（ ） A 2 10 5 B 10 5 C 10 5 D 5 2 10 7已知函数 4,0 ( ) 4,0 x x ex f x ex = ， 2 g( ) xx=，则函数 ( ) g( )yf xx=的大致图象是（ ） A B C D 8等比数列 n a的前n项和为 n S，若()() 213521 3 nn SaaaanN =+ ， 123 8a a a =， 则 8 S =（ ） 3 A510 B255 C127 D6540 9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A 9 2 B9 C12 D16 10已知1t ， 2 logxt=， 3 logyt=， 5 logzt=，则（ ） A235xyz B523zxy C352yzx D325yxz 11设 1 F、 2 F分别是椭圆 () 22 22 10 yx ab ab +=的焦点，过 2 F的直线交椭圆于P、Q两点，且 1 PQPF， 1 PQPF=，则椭圆的离心率为（ ） A 32 B 63 C2 2 D9 6 2 12已知函数( )4sin 2 6 f xx = ， 46 0, 3 x ，若函数( )( )3F xf x=的所有零点依次记为 1 x， 2 x， 3 x， n x，且 123n xxxx，则 1231 222 nn xxxxx +=（ ） A 1276 3 B445 C455 D 1457 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13在 5 ()()xy xy+的展开式中， 33 x y的系数是 14张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日 减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含 义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为 15已知双曲线() 22 22 10,0 xy ab ab =的两条渐进线均与圆 22 :8120C xyx+=相切，且双 4 曲线的右焦点为圆C的圆心，则双曲线的方程为 16平行四边形ABCD中，=3AB，=2AD，=120BAD，P是平行四边形ABCD内一点，且 1AP =若APxAByAD=+，则3 2xy+的最大值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 17（12 分） 在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 222 6bca+= ， 且sinsin4 sinsinbCcBaBC+= （1）求cos A； （2）求ABC的面积 18（12 分） 某工厂预购买软件服务，有如下两种方案： 方案一：软件服务公司每日收取工厂 60 元，对 于提供的软件服务每次 10 元； 方案二：软件服务公司每日收取工厂 200 元，若 每日软件服务不超过 15 次，不另外收 费， 若超过 15 次， 超过部分的软件服务 每次收费标准为 20 元 （1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式； （2）该工厂对过去 100 天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据， 把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明 理由 5 A B C M D P 19（12 分） 在四棱锥PABCD中，/ /ABCD，2CDAB= （1）设AC与BD相交于点M，若存在点N使得()0ANmAP m=，且/ /MN平面PCD，求 实数m的值； （2）若ABADDP=，60BAD=， 2PBAD= ，且PDAD，求二面角APCB的 余弦值 20（12 分） 设函数( )()11 xx f xxeae=+ （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若函数( )f x在()0,+有零点，证明：2a 21（12 分） 设A、B为曲线 2 : 4 x C y =上两点，A与B的横坐标之和为4 （1）求直线AB的斜率； （2）设弦AB的中点为N，过点A、B分别作抛物线的切线，则两切线的交点为E，过点E作直 线l，交抛物线于P、Q两点，连接NP、NQ 证明： 2 EAEBNPNQAB kkkkk+=+=. 6 请考生在第 22、23 题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，圆 C 的参数方程为 1 cos sin x y = + = （为参数），以 O 为极点，x 轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）直线 l 的极坐标方程是2 sin3 3 3 += ，射线: 3 OM =与圆 C 的交点为 O、P，与直 线 l 的交点为 Q，求线段PQ的长度 23选修 45：不等式选讲（10 分） 设函数( )1f xx= （1）求不等式()()336fxfx+的解集； （2）若不等式()()14f xf xaxb+的解集为实数集R，求ab+的取值范围 7 大理、丽江、怒江 2020 届高中毕业生第二次复习统一检测 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C C D A A B B D B C 12、函数( )4sin 2 6 f xx = ， 令2 62 xk =+得 1 23 xk =+,kZ，即( )f x的对称轴方程为 1 23 xk =+,kZ ( )f x的最小正周期为T=， 46 0 3 x ，当30k =时,可得 46 3 x =， ( )f x在 46 0, 3 上有 31 条对称轴，根据正弦函数的性质可知： 函数( )4sin 2 6 f xx = 与3y =的交点 1 x， 2 x关于 3 对称， 2 x, 3 x关于 5 6 对称， 故31n =即 12 2 2 6 xx +=, 23 5 2 6 xx +=， 3031 89 2 6 xx +=， 将以上各式相加得： 1233031 2589 2222 666 xxxxx +=+ ()25889455 3 =+ + +=故选 C 二、填空题 13、0 14、 4 29 15、 22 1 124 xy = 16、2 三、解答题 17、解：（1）因为sin sin4 sinsin,bCcBaBC+= 由正弦定理得：sinsinsinsin4sinsinsin,BCCBABC+= 2 分 8 又sinsin0BC ，所以4sin2,A=即 1 sin 2 A = 又 222 6bca+= ，由余弦定理得cos0A 4 分 所以 2 3 cos1 sin 2 AA= = 6 分 （2）因为 222 cos 2 bca A bc + =8 分 所以 36 22bc = ，即2 3bc = 10 分 所以 1113 sin2 3 2222 ABC SbcA = 12 分 18、解：（1）由题可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为 1060,yxxN=+2 分 方案二中的日收费y与x的函数关系式为 200,15, 20100,15, xxN y xxxN = . 5 分 （2）设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为 X 190 200 210 220 230 P 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2 所以()190 0.1 200 0.4210 0.1 220 0.2230 0.2210E X =+=（元）8 分 方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为 Y 200 220 240 P 0.6 0.2 0.2 ( )200 0.6220 0.2240 0.2212E Y =+=（元）11 分 所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.12 分 19、解：（1）因为/ABCD，所以 11 , 23 AMABAM MCCDAC =1 分 因为/ /MN平面PCD，MN 平面PAC，平面PAC平面PCDPC=， 9 所以/MN PC3 分 所以 1 3 ANAM APAC =，即 1 3 m =4 分 （2）因为,60ABADBAD=，可知三角形 ABD 为等边三角形，所以BDADPD=， 又 2BPAD= ，故 222 BPPDDB=+ ，所有PDDB 由已知,PDAD ADBDD=，所以PD 平面ABCD， 如图，以D为坐标原点，,DA DP的方向为 , x y轴的正方向建立空间直角坐标系， 设1AB =，则1,2ABADDPCD=， 所以()1,0,0A，()() 13 ,0,0,1,0 ,1,0, 3 22 BPC 则() 13 , 1,1, 1, 3 22 PBPC = ，()1, 1,0PA=6 分 设平面PBC的一个法向量为() 1111 ,nx y z=，则有 1 1 0 0 n PB n PC = = 即 111 111 230, 30. xyz xyz += += 令 1 1x =，则 11 2,3yz=， 即() 1 1,2, 3n =，8 分 设平面APC的一个法向量为() 2222 ,nxyz=，则有 2 2 0 0 nPA nPC = = 即 22 222 0, 30. xy xyz = += 令 22 3xy=，则 2 2z =， 即() 2 3, 3,2n =10 分 所以 12 12 12 5 315 cos, 42 210 n n n n nn = ， 设二面角APCB的平面角为，则 15 cos 4 = 12 分 10 20、解：（1）( )() 11 xx f xxeae=+ ( )()1 x fxxae= ，2 分 1xa 时，( )0fx ，函数( )f x在()1,a+上单调递增； 1xa时，( )0fx ，函数( )f x在(),1a上单调递减；4 分 （2）证明：函数( )f x在()0,+有零点，可得方程( )0f x =有解， () 11 11 111 x x xxx x ex xex ax eee + + =+ 有解， 令( ) 1 1 x x g xx e + =+ ， 则 ( ) ()() 22 2 11 1 (1)(1) xx xx xx eex exe gx ee + = += ，6 分 设函数( )2 x h xex=，( )10 x h xe= ，函数( )h x在()0,+上单调递增, 又( )130he= ，( ) 2 240he=，8 分 又函数( )h x在()0,+上单调递增， 存在() 0 1,2x ，当() 0 0,xx时，( )0gx；当() 0, xx+时，( )0gx， 函数( )g x存在唯一最小值点 0 x，满足 0 0 2 x ex=+， ()() 0 0 000 1 12,3 1 x x g xxx e + =+=+ ， ( ) 1 1 x x ag xx e + =+ 有解， () 0 2ag x ，2a 12 分 21、解：设()() 1122 ,A x yB xy则 22 12 121212 ,4 44 xx xxyyxx=+= （1）直线AB的斜率 2112 21 1 4 AB yyxx k xx + = 3 分 （2）由（1）知，等价于证明 2 EAEBNPNQ kkkk+=+= ， 11 1 1 2 EAx x x ky = =， 2 2 2 EBx x x ky = = 1212 2 222 EAEB xxxx kk + +=+=5 分 设直线: AB lyxm=+ 过() 11 ,A x y点的切线方程为() 111 1 2 yyxxx=，整理得 2 11 11 24 yx xx= 同理，过() 22 ,B xy点处切线的方程为 2 22 11 24 yx xx=， 联立方程组 2 11 2 22 11 24 11 24 yx xx yx xx = = 解得： 2 1111 1 2, 4 xyxxxym= ()2,Em 7 分 设()() 3344 ,P x yQ xy易知割线的斜率存在，因为()2,Em，设割线的方程为 ()2ymk x+=，代入抛物线 2 4 x y =，整理得 2 4840 xkxkm+=， 则 3434 4 ,84xxk xxkm+=+ 所以() 2 222 34343434 111 2442 444 yyxxxxxxkkm +=+=+= ， () 2 2222 343434 111 44 4416 yyxxx xkkmm=+， () 222 34 3443344334 11 84 444 x x x yx yxxxxxxkmk+=+=+=+ 8 分 因为()2,2Nm+， 1212