立体几何练习题答案.pdf

. 立几测 001 试 一、选择题： 1a、b 是两条异面直线，下列结论正确的是（） A过不在a、b 上的任一点，可作一个平面与a、b 都平行 B过不在a、b 上的任一点，可作一条直线与a、b 都相交 C 过不在a、b 上的任一点，可作一条直线与a、b 都平行 D 过a可以且只可以作一个平面与b 平行 2空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( ) 011或4无法确定 3在正方体 1111 ABCDA B C D中，M、N分别为棱 1 AA、 1 BB的中点，则异面直线CM和 1 D N所成角 的正弦值为 ( ) 1 9 2 3 4 5 9 2 5 9 4已知平面平面，m是内的一直线，n是内的一直线，且 mn，则：m ；n； m或n；m且n。这四个结论中，不正确 的三个是 ( ) 5. 一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6 个顶点，则这个简单多面体的面数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 在北纬 45的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R） ( ) A. R 4 2 B. R 3 C. R 2 D. 3 R 7. 直线l平面 ，直线 m平面 ，有下列四个命题 (1)ml/ (2)ml / (3)ml / (4)/ml其中正确的命题是 ( ) A. (1)与(2) B. (2)与(4) C. (1)与 (3) D. (3)与(4) 8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为 ，则下列不等式成立的是( ) A. 6 0 B. 46 C. 34 D. 23 9ABC中，9AB，15AC，120BAC，ABC所在平面外一点P到点A、B、C的距离 都是14，则 P到平面 的距离为 ( ) 791113 10在一个 45 的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角 45 ，则此直线与二面角的另一个平面所 成角的大小为 ( ) 30456090 11. 如图 ,E, F分别是正方形SD1DD2的边 D1D,DD2的中点 , 沿 SE,SF,EF 将其折成一个几何体, 使 D1,D,D2重合 , 记作 D.给出下列位置关系: SD 面 DEF; SE面 DEF; . DFSE; EF面 SED,其中成立的有: ( ) . 与 B. 与 C. 与 D. 与 12. 某地球仪的北纬60 度圈的周长为6cm,则地球仪的表面积为( ) A. 24cm 2 B. 48 cm 2 C. 144cm 2 D. 288 cm 2 二、填空题（本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分） 13. 直二面角 MN 中， 等腰直角三角形ABC的斜边 BC，一直角边 AC，BC与所成角的正弦值是 4 6 ，则 AB与所成角大小为 _。 . 14. 如图在底面边长为2 的正三棱锥VABC中,E 是BC中点 , 若 VAE的面积 是 4 1 , 则侧棱 VA与底面所成角的大小为 15如图，已知矩形ABCD中， 1AB ，BCa， PA 面ABCD。 若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于 _. 16. 六棱锥 PABCDEF 中，底面 ABCDEF 是正六边形，PA底面 ABCDEF ，给出下列四个命题 线段 PC的长是点P到线段 CD的距离； 异面直线PB与 EF 所成角是 PBC ； 线段 AD的长是直线CD与平面 PAF的距离； PEA是二面角PDE A平面角。 其中所有真命题的序号是_ 。 三 . 解答题 : （共 74 分，写出必要的解答过程） 17( 本小题满分10 分) 如图，已知直棱柱 111 ABCA B C中， 1 6AA，M是90ACB，30BAC，1BC， 1 CC的中点。 求证： 11 ABA M 18（本小题满分12 分） 如图， 在矩形ABCD中，3 3AB，3BC，沿对角线BD将BCD折起， 使点C移到P点，且P 在平面ABD上的射影O恰好在AB上。 （1）求证：PB面PAD； （2）求点 A到平面PBD的距离； （3）求直线AB与平面PBD的成角的大小 19（本小题满分12 分） 如图 , 已知PA面,ABC ADBC, 垂足D在BC的延长线上 , 且1BCCDDA (1)记PDx,BPC, 试把tan表示成x的函数 , 并求其最大值. P A BQC D A B C 1 B 1 A 1 C M A B CD AB ()P C D O P . (2)在直线 PA上是否存在点Q, 使得BQCBAC 20. （本小题满分12 分） 正三棱锥V-ABC的底面边长是a, 侧面与底面成60的二面角。 求（ 1）棱锥的侧棱长； （2）侧棱与底面所成的角的正切值。 21. （本小题满分14 分） 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8，面的对角线B1C=10， D为 AC 的中点， （1）求证： AB1/ 平面 C1BD; （2）求异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值; （3）求直线 AB1到平面 C1BD的距离。 22. （本小题满分14 分） 已知 A1B1C1-ABC为直三棱柱，D为 AC中点， O为 BC中点， E在 CC1上， ACB=90 ， AC=BC=CE=2 ，AA1=6. . （1）证明平面BDE AO ； （2）求二面角A-EB-D 的大小； （3）求三棱锥O-AA1D体积 . . 立测试 001 答案 一选择题：( 每题 5 分, 共 60 分) 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D C C B D B C C A A B C 二填空题：( 每题 4 分, 共 16 分) 13. 60o 14. 4 1 arctan 15. 2 16. 三. 解答题 : （共 74 分，写出必要的解答过程） 17(10 分) 解：【法一】 90ACB 1111 B CAC，又三棱柱 111 ABCA B C是直三棱柱， 所以 11 B C面 1 AC，连结 1 AC，则 1 AC是 1 AB在面 1 AC上的射影 在四边形 11 AAC C中， 111 111 2 AAAC ACC M ，且 1111 2 AACAC M， 1111 AACAC M， 11 ACA M 11 ABA M 【法二】以 11 C B为x轴， 11 C A为y轴， 1 C C为z轴建立空间直角坐标系 由 1BC ， 1 6AA，90ACB，30BAC， 易得 1(0, 3,0)A，(0,3,6)A， 6 (0,0,) 2 M， 1(1,0,0) B 1 (1 ,3,6)AB， 1 6 (0,3,) 2 A M 11 6 03(6)0 2 ABA M 11 ABAM所以 11 ABA M 18解： （1）P在平面ABD上的射影O在AB上，PO面ABD。 故斜线 BP在平面ABD上的射影为AB。 又DAAB，DABP，又BCCD，BPPD ADPDDBP面PAD （ 2）过A作AEPD，交PD于E。 BP面PAD，BPAE，AE面BPD故AE的长就是点A到平面BPD的距离 ADAB，DABCAD面ABPADAP 在Rt ABP中， 22 3 2APABBP； 在Rt BPD中，3 3PDCD . 在Rt PAD中，由面积关系，得 3 23 6 3 3 AP AD AE PD （ 3）连结BE， AE 面BPD， BE是AB在平面BPD的射影 ABE为直线AB与平面BPD所成的角 在Rt AEB中， 2 sin 3 AE ABE AB ， 2 arcsin 3 ABE 19(1) PA 面ABC,BDADBCPD, 即90.PDB 在Rt PDB和Rt PDC中, 21 tan,tanBPDCPD xx , 2 21 tantantan() 2 1 2 1 x xx BPCBPDCPD x x x (1x) 112 2 4 2 2 x x , 当且仅当2x时,tan取到最大值 2 4 . (2)在Rt ADB和Rt DC中 ,tan BAD=2,tan1CAD 2112 tantan() 12 134 BACBADCAD 故在PA存在点Q( 如1AQ) 满足 12 tan 34 BQC, 使BQCBAC 20. (12分) 解：（ 1）过 V点作 V0面 ABC于点 0， VEAB于点 E 三棱锥 VABC是正三棱锥O为 ABC的中心 则 OA=aa 3 3 2 3 3 2 ，OE=aa 6 3 2 3 3 1 又侧面与底面成60角 VEO=60 则在 RtVEO中； V0=OE tan60 = 2 3 6 3a a 在 RtVAO中， VA= 6 21 12 7 34 222 22aaaa AOVO 即侧棱长为a 6 21 . （2）由（ 1）知 VAO即为侧棱与底面所成角，则tan VAO= 2 3 3 3 2 a a AO VO 21 (12分) 解：（ 1）连结 BC1交 B1C于点 E，则 E为 B1C的中点，并连结DE D为 AC中点DE AB1 而 DE面 BC1D， AB1面 BC1D AB1面 C1BD （2）由（ 1）知 AB1DE ，则 DEB或其补角为异面直线AB1与 BC1所成的角 由条件知 B1C=10， BC=8 则 BB1=6 E 三棱柱中 AB1=BC1DE=5 又 BD=348 2 3 在 BED中 25 1 552 482525 2 cos 222 DEBD BDDEBE BED 故异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值为 25 1 （3）由（ 1）知 A到平面 BC1D 的距离即为直线AB1到平面 BC1D的距离 设 A 到平面 BC1D的距离为h，则由 ABDCDBCA VV 11 得 CCShS ABDDBC1 3 1 3 1 1 即 h= DBC ABD S CCS 1 1 由正三棱柱性质得BD C1D 则DCBDS DBC1 : 2 1 1 13 1312 52 24 46 64 2 1 2 1 22 1 1 1 1 DC CCAD DCBD CCADBD h 即直线 AB1到平面的距离为 13 1312 22. (14分) 证明：设 F 为 BE与 B1C的交点， G为 GE中点 AO DF AO 平面 BDE =arctan2-arctan 2 2 或 arcsin1/3 用体积法V= 3 1 2 1 6h=1 . . 立几测试 002 一、选择题（125 分） 1已知直线a、 b 和平面 M，则 a/b的一个必要不充分条件是（） Aa/M, b/M Ba M ，bM Ca/M, bM Da、 b 与平面 M成等角 2正四面体P ABC中， M为棱 AB的中点，则PA与 CM所成角的余弦值为（） A 2 3 B 6 3 C 4 3 D 3 3 3a, b是异面直线，A、Ba, C 、D b，AC b，BD b，且 AB=2，CD=1 ，则a与 b 所成的角为（） A30B60C 90D 45 4给出下面四个命题： “直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是：直线a、b不相交； “直线l垂直于平面内所有直线”的充要条件是：l平面； “直线ab”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面内的射影”； “直线a平面”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面内的一条直线” 其中正确命题的个数是（） A1 个B 2 个 C3 个D4 个 5设l1、l2为两条直线，a、为两个平面，给出下列四个命题： (1)若l1, l2，l1，l1a则a. (2)若l1a，l2a，则l1l2 (3)若l1a， l1l2，则l2a (4)若a，l1，则l1 其中，正确命题的个数是（） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 6三棱柱 111 CBAABC中，侧面BBAA 11 底面ABC， 直线CA1与底面成60 角，2CABCAB， BAAA 11 ，则该棱柱的体积为（） A34 B33 C4 D3 7已知直线l面 ，直线m面，给出下列命题： （1）/ /lm（2）lm/ / （3）lm/ /（4）lm/ / 其中正确的命题个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8正三棱锥SABC的底面边长为a，侧棱长为b，那么经过底 边 AC和 BC的中点且平行于侧棱SC的截面 EFGH的面积为（） A. ab B. ab 2 C. ab 4 D. 2 2 ab 9已知平面 、，直线l、m，且lmml,，给出下列四个结论：； l；m；. 则其中正确的个数是（） A0 B1 C2 D3 10 在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱 A1B1上任意一点，则直线OP与支线AM所成角的大小为（） A.45 oB.90 oC.60 oD. 不能确定 A B C A1 B1 C1 A A1 D1 D O M A B C S E F G H . 11将边长为1 的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得点A到点A的位置，且A C1，则折起后二面角ADC B的大小为（） A. 2 2 arctan B. 4 C.arctan2 D. 3 12. 正方体ABCDA B C D 1111，E、F 分别是 AACC 11 、的中点， P是CC1上的动点（包括端点），过E、D、 P作正方体的截面，若截面为四边形，则P 的轨迹是（） A. 线段C F 1 B. 线段 CF C. 线段 CF和一点C1D. 线段C F 1 和一点 C 二、填空题（44 分） 13矩形 ABCD的对角线AC，BD成 60角，把矩形所在的平面以AC为折痕，折成一个直二面角DAC B，连 结 BD ，则 BD与平面 ABC所成角的正切值为 . 14将棱长为1 的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为，球的表面积为 （不计损耗） . 15. 四面体 ABCD中，有如下命题： 若 AC BD，ABCD ，则 AD BC ； 若 E、F、 G分别是 BC 、AB、CD的中点，则FEG的大小等于异面直线AC与 BD所成角的大小； 若点 O是四面体ABCD 外接球的球心，则O在面 ABD上的射影是ABD的外心 若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体。 其中正确的是：_ 。（填上所有正确命题的序号） 16直三棱柱ABC A1B1C1的每一个顶点都在同一个球面上，若1,2 1 CCBCAC， 2 ACB ，则 A、C 两点之间的球面距离为 . 三、解答题（12+12+12+12+12+14 分） 17已知长方体AC1中，棱 AB=BC=1 ，棱 BB1=2，连结 B1C ， 过 B 点作 B1C的垂线交CC1于 E，交 B1C于 F. （1）求证 A1C平面 EBD ； （2）求点 A 到平面 A1B1C的距离； （3）求平面A1B1CD与直线 DE所成角的正弦值. 18在平行四边形ABCD 中，23AB，32AD， 90ADB, 沿 BD将其折成二面角ABD C，若 折后AB CD。 （1）求二面角 ABDC的大小； （2）求折后点C到面 ABD的距离。 19在棱长 AB=AD=2 ，AA =3 的长方体AC1中，点 E 是平面 BCC1B1上动点，点F 是 CD的中点。 (1) 试确定 E的位置，使D1E平面 AB1F。 (2) 求二面角B1AFB的大小。 A1 B1 C1 D1 A D F A B C D F E A1 B1C1 D1 A B C D B E . E D B C A1 C1 B1 A 20 （本小题满分14 分）如图，在正三棱柱 111 A B CABC中，D、E分别是棱BC、 1 CC的中点， 1 2ABAA。 （）证明： 1 BEAB；（）求二面角 1 BABD的大小。 21如图，在直三棱柱ABCA B C 111 中， BCAAAC 1 43， ACB 90， D是A B 11 的中点。 （1）在棱BB1上求一点P，使 CP BD ； （2）在（ 1）的条件下，求DP与面BB C C 11 所成的角的大小。 BCA=90 ， PB=BC=CA=24，22如图，三棱锥PABC中， PB底面 ABC于 B， 点 E，点 F 分别是 PC，AP的中点 . （1）求证：侧面PAC 侧面 PBC ； （2）求异面直线AE与 BF所成的角； （3）求二面角ABEF 的平面角 . A B C P E F . 立几测试 002 答案 一、选择题（125 分） 1已知直线a、 b 和平面 M，则 a/b的一个必要不充分条件是（D） Aa/M, b/M Ba M ，bM Ca/M, bM Da、 b 与平面 M成等角 2正四面体P ABC中， M为棱 AB的中点，则PA与 CM所成角的余弦值为（B） A 2 3 B 6 3 C 4 3 D 3 3 3a, b是异面直线，A、Ba, C 、D b，AC b，BD b，且 AB=2，CD=1 ，则a与 b 所成的角为（B） A30B60C 90D 45 4给出下面四个命题： “直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是：直线a、b不相交； “直线l垂直于平面内所有直线”的充要条件是：l平面； “直线ab”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面内的射影”； “直线a平面”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面内的一条直线” 其中正确命题的个数是（B） A1 个B 2 个 C3 个D4 个 5设l1、l2为两条直线，a、为两个平面，给出下列四个命题： (1)若l1, l2，l1，l1a则a. (2)若l1a，l2a，则l1l2 (3)若l1a， l1l2，则l2a (4)若a，l1，则l1 其中，正确命题的个数是（B） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 6三棱柱 111 CBAABC中，侧面BBAA 11 底面ABC， 直线CA1与底面成60 角，2CABCAB， BAAA 11 ，则该棱柱的体积为（B） A34 B33 C4 D3 7已知直线l面 ，直线m面，给出下列命题： （1）/ /lm（2）lm/ / （3）lm/ /（4）lm/ / 其中正确的命题个数是（B） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8正三棱锥SABC的底面边长为a，侧棱长为b，那么经过底 边 AC和 BC的中点且平行于侧棱SC的截面 EFGH的面积为（ C） A. ab B. ab 2 C. ab 4 D. 2 2 ab 9已知平面 、，直线l、m，且lmml,，给出下列四个结论：； l；m；. 则其中正确的个数是（C） A0 B1 C2 D3 10在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是底面ABCD 的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与支线AM所成角 的大小为（ B） A B C A1 B1 C1 A A1 D1 D O M A B C S E F G H . A.45 oB.90 oC.60 oD. 不能确定 11将边长为1 的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得点A到点A 的位置，且A C1，则折起后二面角A DC B的大小为（ C） A. 2 2 arctan B. 4 C.arctan2 D. 3 12. 正方体ABCDA B C D 1111，E、F 分别是 AACC 11 、的中点， P是CC1上的动点（包括端点），过E、D、 P作正方体的截面，若截面为四边形，则P 的轨迹是（ C ） A. 线段C F 1 B. 线段 CF C. 线段 CF和一点C1D. 线段C F 1 和一点 C 二、填空题（44 分） 13矩形 ABCD的对角线AC，BD成 60角，把矩形所在的平面以AC为折痕，折成一个直二面角DAC B，连 结 BD ，则 BD与平面 ABC所成角的正切值为 7 21 . 14将棱长为1 的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为 6 ，球的表面积为 （不计损耗） . 15. 四面体 ABCD中，有如下命题： 若 AC BD，ABCD ，则 AD BC ； 若 E、F、 G分别是 BC 、AB、CD的中点，则FEG的大小等于异面直线AC与 BD所成角的大小； 若点 O是四面体ABCD 外接球的球心，则O在面 ABD上的射影是ABD的外心 若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体。 其中正确的是：_ _。（填上所有正确命题的序号） 16直三棱柱ABC A1B1C1的每一个顶点都在同一个球面上，若1,2 1 CCBCAC， 2 ACB ，则 A、C 两点之间的球面距离为 2 . 三、解答题（12+12+12+12+12+14 分） 17已知长方体AC1中，棱 AB=BC=1 ，棱 BB1=2，连结 B1C ， 过 B 点作 B1C的垂线交CC1于 E，交 B1C于 F. （1）求证 A1C平面 EBD ； （2）求点 A 到平面 A1B1C的距离； （3）求平面A1B1CD与直线 DE所成角的正弦值. 解：（ 1）连结 AC ，则 ACBD AC是 A1C 在平面 ABCD 内的射影 A1CBD ； 又 A1B1面 B1C1CB ，且 A1C在平面 B1C1CB内的射影B1CBE， EBDCABBEBDBECA面又 11 （2）易证： AB/ 平面 A1B1C ，所以点 B到平面 A1B1C 的距离等于点A到平面 A1B1C的距离， 又 BF平面 A1B1C， 所求距离即为. 5 52 12 12 22 BF （3）连结 DF，A1D，CAEFCBEF 11, CBAEF 11 面， EDF即为 ED与平面 A1B1C 所成的角 . A B C D F E A1 B1C1 D1 . 由条件 AB=BC=1 ， BB1=2，可知5 1C B， , 5 5 , 5 54 , 5 52 1 CFFBBF. 2 1 , 10 5 1 1 1 FB BBFC EC FB BFFC EF . 5 1 sin. 2 522 ED EF EDFCDECED 18在平行四边形ABCD 中，23AB，32AD， 90ADB, 沿 BD将其折成二面角ABD C，若 折后ABCD。 （1）求二面角 ABDC的大小； （2）求折后点C到面 ABD的距离。 解法一：设A点在面 BCD内的射影为H， 连结 BH交 CD于 E，连 DH ，在 ADB中， AB 2=AD2+BD2， ADDB。 又 AH 面 DBC ， BH DH 。 ADH为二面角ABDC的平面角。 由 AB CD ，AH 面 DBC ， BH CD 。 易求得 CE=22，DE= 2 。 又 RtDEH RtCEB DH=3。 在 Rt ADH中， 3 , 2 1 cosADHADH， 二面角ABD C 的大小为 3 。 法二：在 BCD中，由余弦定理得 90, 3 3 cosDBCADBBDC 。 BCDADBBCBDDA,二面角的大小就是。 0)(,0,CDDADBDCABDCAB即， 即CDDACDDBCDDACDDB故,0。 cos, | DA BC DA BC DABC = 3232 )(DBDCDA = 12 )()(DBDADCDA = 12 DCDB = 12 ),cos(DCDBDCDB = 2 1 12 3 3 236 60),(BCDA (2) 由对称性成等积性知：C到面 ABD的距离等于A到面 BCD的距离 3 sin2 33 (12) 2 AHADADH分 19在棱长 AB=AD=2 ，AA =3 的长方体AC1中，点 E 是平面 BCC1B1上动点，点F 是 CD的中点。 (1) 试确定 E的位置，使D1E平面 AB1F。 (2) 求二面角B1AFB的大小。 A1 B1 C1 D1 AD F A B C D B E . E D B C A1 C1 B1 A E D B C A1 C1 B1 A y x z 解： (1) 建立空间直角坐标系，如图 A(0， 0，0) ，F(1 ，2，0) ，B1(2 ，0，3) ，D1(0 ，2，3) ， 设 E(2 ，y， z) ) 3,2,2( 1 zyED，)0,2, 1(AF，)3 ,0,2( 1 AB 由 D1E平面 AB1F 0 0 11 1 ABED AFED ，即 3 5 1 0)3(34 0)2(22 z y z y E(2，1， 3 5 ) 为所求。 (2) 当 D1E平面 AB1F 时，) 3 4 , 1,2( 1E D，)3,0, 0( 1B B 又BB1与ED1分别是平面BEF与平面 B1EF 的法向量，则 二面角 B1-AF-B 的平面角等于。 cos= 61 614 ) 3 4 (123 ) 3 4 (3 22 B1-AF-B 的平面角为 61 614 arccos或用传统法做(略) ( 3 5 arctan 4 ) 20 （本小题满分14 分）如图，在正三棱柱 111 A B CABC中，D、E分别是棱BC、 1 CC的中点， 1 2ABAA。 （）证明： 1 BEAB；（）求二面角 1 BABD的大小。 解：如图建立空间直角坐标系，则 （）证明：因为( 1, 0, 0)B，(1, 0,1)E， (0 ,3 ,0)A， 1( 1, 0, 2) B， 所以(2 , 0,1)BE， 1 ( 1,3 , 2)AB，故 1 2( 1)0(3)120BE AB， 因此，有 1 BEAB； （）设 1 ( ,)nxyz是平面 1 ABB的法向量， 因为 1 ( 1,3 , 2)AB， 1 (0 , 0, 2)BB，所以由 . 1111 1111 320 20 nABnABxyz nBBnBBz 可取 1 ( 3 ,1, 0)n； 同理， 2 (2 , 0,1)n是平面 1 AB D的法向量。 设二面角 1 BABD的平面角为，则 12 12 12 |1515 cos|cos,|arccos 55| | nn nn nn 。 21如图，在直三棱柱ABCA B C 111 中， BCAAAC 1 43， ACB 90， D是A B 11 的中点。 （1）在棱BB1上求一点P，使 CP BD ； （2）在（ 1）的条件下，求DP与面BB C C 11 所成的角的大小。 解法一：（ 1）如图建立空间直角坐标系 设Pz40， ，则CPz 40， 由 4 2 3 2004，DB得：4 2 3 2，BD 由 CP BD ，得：0 BDCP z2 所以点 P 为BB1的中点时，有CP BD （2）过 D 作 DE B1C1，垂足为E， 易知 E为 D在平面BC1上的射影， DPE为 DP与平面BC1所成的角 由（ 1）， P（4，0，z）， 4 2 3 2，D得：2 2 3 2，PD )4,0,2(E，)2,0,2(PE。DPEPEPDPEPDcos|， 41 824 cosDPE， 41 824 arccosDPE。 即 DP与面BB C C 11 所成的角的大小为 41 824 arccos。 解法二：取B C 11 的中点 E，连接 BE、DE 。显然 DE 平面BC1 BE为 BD在面BC1内的射影，若P 是BB1上一点且CPBD ，则必有 CPBE 四边形BCC B 11 为正方形， E是B C 11 的中点 . 点 P 是BB1的中点，BB1的中点即为所求的点P （2）连接 DE ，则 DE B C 11 ，垂足为 E，连接 PE、 DP DPE为 DP与平面BC1所成的角 由（ 1）和题意知：DEPE 3 2 2 2, 8 23 arctan, 8 23 tanDPE PE DE DPE 即 DP与面BB C C 11 所成的角的大小为 8 23 arctan 22如图，三棱锥PABC中， PB底面 ABC于 B， BCA=90 ， PB=BC=CA=24，点 E，点 F 分别是 PC ，AP的 中点 . （1）求证：侧面PAC 侧面 PBC ； （2）求异面直线AE与 BF所成的角； （3）求二面角ABEF 的平面角 . 解：（ 1） PB平面 ABC ，平面PBC 平面 ABC ， 又 ACBC，AC 平面 PBC 侧面 PAC 侧面 PBC. （2）以 BP所在直线为z 轴， CB所在直线y轴， 建立空间直角坐标系，由条件可设 ,224| ,16 ),22,22,22(),22,22 ,24( )22,22,22(),22 ,22, 0( )0,24,24(),0 ,24, 0(),0, 0 ,0(),24, 0, 0( BFAEBFAE BFAE FE ACBP 则 3 2 arccos, 3 2 ,cos所成的角是与BFAEBFAE （3）平面 EFB的法向量a=(0,1,1)，平面 ABE的法向量为b=（1，1，1） , 3 6 ,cosba A B C P E F . . 3 6 arccos的平面角为二面角FBEA . 立几测试 003 一选择题（请将选择题的答案填在第二页的表格中）)36123( 1设 M=平行六面体 ，N=正四棱柱 ，P=直四棱柱 ，Q=长方体 ，则这些集合之间的关系是 (A)MNPQ(B)QMNP (C)NQPM (D)以上都不正确 2空间四边形的对角线相等且互相垂直，顺次连接这个空间四边形的各边中点所得的四边形为 (A) 平行四边形 (B)梯形 (C) 矩形(D) 正方形 3两个平行平面间的距离为 d，则到这两个平面的距离为1:2 的点的轨迹是 (A) 一个平面 (B)两个平面 (C)三个平面 (D) 四个平面 4在正四面体ABCP中，如果EF、分别为PC、AB的中点，那么异面直线EF与PA所成的角为 (A) 0 90 (B) 0 60 (C) 0 45 (D) 0 30 5已知在 ABC中，15,9 ACAB ， 120BAC，ABC所在平面外一点P到三角形的三个顶 点的距离均为14，则点P到平面的距离为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13 6三棱锥ABCP中，PA底面ABC，ABC是直角三角形，则三棱锥的三个侧面中直角三角形有 (A) 个 (B)个 (C)至多个 (D)个或个 7正方体的棱长为，P为 1 DD的中点，O为底面ABCD的中心，则 1 DD与平面PAO所成角的正切值为 (A) 2 2 (B)2 (C)22 (D)以上皆非 8已知球内接正方体的全面积是 2 a，则这个球的表面积是 (A) 2 3 a (B) 2 2 a (C) 2 2 a (D) 2 3 a 9正n棱锥的侧面积是底面积的2 倍，则侧面与底面所成二面角的度数为 (A) 3 (B) 2 (C) 6 (D) 与n的取值有关 10设长方体的三条棱长分别为cba,，若其所有棱长之和为，一条对角线的长度为，体积为，则 cba 111 为 (A) 4 11 (B) 11 4 (C) 2 11 (D) 11 2 . 11一长为a的线段夹在互相垂直的两平面间，它和这两平面所成角分别为30 和 45 ，由线段端点作平面 交线的垂线，则垂足间的距离为 (A) 2 a (B) 3 a (C) 2 2a (D) 3 2a 12在下列的四个命题中： ba,是异面直线，则过ba,分别存在平面,，使/； ba,是异面直线，则过ba,分别存在平面,，使； ba,是异面直线，若直线dc,与ba,都相交，则dc,也是异面直线； ba,是异面直线，则存在平面过a且与b垂直 真命题的个数为 (A)1 个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 二填空题)1644( 13A是两条异面直线ba,外的一点，过A最多可作个平面，同时与ba,平行 14二面角l内一点P到平面,和棱l的距离之比为1:3 : 2，则这个二面角的平面角是 _度 15在北纬 60圈上有甲乙两地，它们在纬度圈上的弧长为R 2 （R为地球的半径），则甲乙两地的球面距离 为 16 若四面体各棱长是1 或 2， 且该四面体不是正四面体，则其六条棱长的一组可能值是(只 须写出一种可能值即可) 三解答题)48412( 17ABCD是边长为1 的正方形，NM ,分别为BCDA,上的点，且 ABMN / ，沿MN将正方形折成直二 面角 CDMNAB (1) 求证：平面ADC平面AMD； (2) 设xAM)10(x，点N与平面ADC间的距离为y，试用x表示y . 18某人在山顶 P处观察地面上相距m2800 的BA，两个目标，测得在南偏西 67，俯角为30，同时测 得B在南偏东 83，俯角为45，求山高 19已知三棱柱 111 CBAABC的底面是边长为1 的正三角形， 45 1111 CAABAA，顶点A到底面 111 CBA和侧面CB1 的 距离相等，求此三棱柱的侧棱长及侧面积 20长方体 1111 DCBAABCD中，1ADAB，2 1 BB，E为 1 BB的中点 (1) 求证：AE平面EDA 11 ； (2) 求二面角 11 AADE的正切值； (3) 求三棱椎EDCA 11 的体积 答案 一、选择题（312=36） 1D 2D 3D 4C 5A 6D 7B 8B 9A 10A 11A 12B 二、填空题 131 1490 0 或 150 0 15R 3 161，2，2，2，2，2 或 1，1，2，2，2，2 或 1， 1，1，2，2，2 三、解答题（44=16） 17解： （1）MN AM ，MN/CD （12） CD AM 又 CD DM CD 平面 ADM 平面 ADC 平面 ADM . MN/CD MN平面 ADC CD平面 ADC MN/平面 ADC M 、N 到平面 ADC的距离相等 过 M作 MP AD 平面 ADM 平面 ADC MP 平面 ADC （2） MN DM MN AM AMN=90 0 在 Rt ADM 中 22 )1 ( )1( xx xx MP 122 )1 ( 2 xx xx MPy 18解：设PQ垂直于地面，Q为垂足 （12） PQ 平面 AQB AQB=67 0+830=1500 PAQ=30 0 PBQ=45 0 设 PQ=h 在 Rt AQP中， AQ=h3 在 Rt PQB中 QB=h 在 AQB中，由余弦定理 22220222 28007 2 3 323150cos2hhhhhhQBAQQBAQAB )(74002800400 2 mhh 19解：作AO 平面 A1B1C1，O为垂足 （12） AA1B1=AA1C1=45 0 O在 C1A1B1的平分线上 连结 A1O并延长交B1C1于 D1点 A1C1=A1B1A1D1B1C1 A1A B1C1 BB1 B1C1 四边形BB1C1C为矩形 取 BC中点 D，连结 AD DD1 DD1/BB 1 B1C1DD1又 B1C1A1D1 B1C1平面 A1D1DA 平面 A1ADD1平面 B1C1CB 过 A作 AN DD1，则 AN平面 BB1C1C AN=AO 四边形AA1D1D为 . A1D1=DD1 2 3 1 DD 2 3 1AA 2 3 2 6 1 2 3 2 2 2 3 12 侧 S 20解（ 1）：22 1 AEEA （12）AA1=2 A1E AE 又 AE A1D1 AE平面 A1D1E （2）取 AA1中点 F，过 F 作 FPAD1 EF平面 AA1D1D FP AD1 EPAD1 FPE即为 E-AD1-A1的平面角 在 Rt AA1D1中，可求 5 5 PF 5tan FP EF FPE （3） EF/C1D1 EF/ 平面 AC1D1 VA-C1D1E =VE-AC1D1 =VF-AC1D1 = 1 C V -AFD1 111 3 1 DCAFDS =1)21 4 1 ( 3 1 = 6 1 . 立几测试 004 一、选择题 1如果 a、b 是异面直线，直线c 与 a、b 都相交，那么由这三条直线中的两条所确定的平面个数是 ( ) A 0 B1 C2 D3 2若平面 上有不共线的三个点到平面的距离都相等，则平面与平面 的位置关系是 ( ) A平行 B相交 C垂直 D以上三种情况都有可能 3四面体PABC中，若 P 到 AB、BC 、CA边的距离相等，则点P在平面 ABC内的射影是ABC的( ) A外心 B内心 C垂心 D重心 4已知 a、b、c 是三条直线，则下列命题正确的是 ( ) Aabc=Pa、 b、c 共面 Babca、b、c 共面 Cab,b ca、 b、c 共面 D,abP bcQ caS(P,Q,S 是不同的三点)a,b,c共面 5设直线m在平面 内，则平面 平行于平面 是直线 m平行于平面 的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6. 棱长为 a 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线DD1与 BC1之间的距离为( ) Aa B 2 2 a c2a D3a 7若 a,b 是异面直线 ,=ab且 l, 则 ( ) Al与 a、b 分别相交 ; B. l与 a、b 都不相交 C.l至少与 a、b 中的一条相交; D.l至多与 a、b 中的一条相交 8四棱柱作为平行六面体的充分不必要条件是（） (A)底面是矩形 (B)侧面是平行四边形 (C)一个侧面是矩形 (D)两个相邻侧面是矩形 9如果一个棱锥被平行于底面的两个平面所截后得到的三部分体积（自上而下）为1:8:27 ，则这时棱锥的高 被分成上、中、下三段之比为（） (A) 1:)12( 3 :)23( 33 (B)1: 3 2: 3 3 (C)1: 2 1 : 3 1 (D)1:1:1 10、一凸多面体的棱数是30，面数为12，则它的各面的多边形的内角总和为（） A、5400 B、6480 C、7200 D、7920 二、填空题 11若两个平行平面之间的距离为12cm，一条直线和它们相交，且夹在这两个平面间的线段长为24cm，则这条 直线与该平面所成角为_. 12已知二面角 m的平面角为60 0，点 P 在半平面 内，点 P到半平面 的距离为 h，则点 P到棱 m的 距离是 _. 13已知集合A= 平行六面体 , B=正四棱柱 , C=长方体 , D=四棱柱 , E=正方体 ，写出这些集合之间的 连续包含关系 14正方体的表面积为m ，则正方体的对角线长为 . 15将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为 三、解答题 16、如图，已知四边形ABCD 是空间四边形，E是 AB的中点， F、G分 别是 BC 、CD上的点，且 1 3 CFCG CBCD . (1)设平面 EFG AD=H,AD= AH, 求 的值 (2) 试证明四边形EFGH是梯形 17、AB为圆 O的直径，圆O在平面 内， SA， ABS=30 o,P 在圆周上移动（异于 A、B）， M为 A在 SP上 的射影， ( ) 求证：三棱锥SABP的各面均是直角三角形； （）求证：AM 平面 SPB ； 18菱形 ABCD的边长为 a， ABC=60 0，将面 ABC沿对 角线 AC折起，组成三 棱锥 B-ABD，当三棱锥B-ACD的体积最大时，求此时的三棱锥B-ACD 的体积是多少？ 19.ABCD是边长为2 的正方形， GC 平面 AC, M,N分别是 AB,AD的中点，且 GC=1 ， 求点 B到平面 GMN 的距离。 20、在正三棱柱A1B1C1ABC中，AA1=AB=a ，D是 CC1的中 点， F 是 A1B的中点 . ()