高中数学总复习专题练习08直线与圆的位置关系.doc

高中数学总复习专题练习08 直线与圆的位置关系A组一、选择题1过点的直线中，被圆截得的弦最长的直线的方程是 ()ABCD答案A解析的圆心为，截得弦最长的直线必过点和圆心直线方程为，故选D2已知，则直线与圆的位置关系是 ()A相交但不过圆心B相交且过圆心C相切D相离答案A解析，.圆心到直线的距离，直线与圆相交，又点不在直线上，故选D3若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为 ()ABCD答案D解析解法一：如图，.解法二：设直线方程为，则由题意知，.解法3：过的直线可设为，代入中得：，由得或.的斜率，特别地，当时，显然有公共点， 4已知是圆上的点，是圆上的点，则的最小值为 ()ABCD答案D解析，圆内含于圆，则的最小值为.5过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为 ()ABCD答案A解析以线段为直径的圆的方程为，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得，这就是经过两切点的直线方程6已知两圆相交于两点，两圆圆心都在直线上，则的值是 ()ABCD答案C解析两点，关于直线对称，.，线段的中点在直线上，.7已知圆的方程是，则的最大值为 ()ABCD答案D解析圆的标准方程为，圆心为，半径为.，圆上一点到原点的距离的最大值为，表示圆上的一点到原点的距离的平方，最大值为.8方程有惟一解，则实数的范围是 ()ABCD或答案D解析由题意知，直线与半圆只有一个交点结合图形易得或.二、填空题9设直线截圆所得弦的中点为，则直线的方程为_；_.答案解析设，则，两式相减得，.故的方程为，即.又圆心为，半径，故.10圆圆的位置关系是_.答案相交解析圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径为，故两圆相交11某公司有、两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路和，且、景点间相距，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于_.答案景点在小路的投影处解析所选观景点应使对两景点的视角最大由平面几何知识，该点应是过、两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为轴，过点与轴垂直的直线为轴上建立直角坐标系由题意，得、，设圆的方程为.由、在圆上，得，或，由实际意义知.圆的方程为，切点为，观景点应设在景点在小路的投影处三、解答题12求满足下列条件的圆的切线方程：(1)经过点；(2)斜率为；(3)过点解析(1)点在圆上所求切线方程为.(2)设圆的切线方程为，代入圆的方程，整理得，直线与圆相切，.解得.所求切线方程为.也可用几何法求解(3)解法一：，点在圆外设切线方程为，即.直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，所求切线方程为.解法二：设切点为，则过点的切线方程为，点在切线上，又在圆上，由构成的方程组可解得，或.所求切线方程为或，即或.13已知圆，若圆平分圆的周长，且圆的圆心在直线上，求满足上述条件的半径最小的圆的方程.解析解法一：设圆的半径为.圆的圆心在直线上，圆的圆心可设为，则圆的方程是，即.圆的方程是，得两圆的公共弦方程为.圆平分圆的周长，圆的圆心必在公共弦上，于是，将，代入方程并整理，得.当时，.此时，圆的方程是.解法二：也可以从图形的几何性质来考虑，用综合法来解如图，设圆，圆的圆心分别为，则，在直线上，连接，过作，且交圆于，两点为圆的直径圆平分圆，只需圆经过，两点圆的半径是，设圆的半径为，.欲求的最小值，只需求的最小值是定点，是上的动点，当，即时，最小于是，可求得直线方程为，即，与直线联立可求得，.圆的方程是14.如图，已知一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)解析 如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，则，圆方程.直线方程：，即.设到距离为，则，所以外籍轮船能被海监船监测到设监测时间为，则答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是.15. 已知隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为、高为的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？解析以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：将代入，得，所以，在离中心线处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道将代入得.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为.B组一、 选择题1设圆上有且仅有两个点到直线的距离等于，则圆半径的取值范围是 ()ABCD答案B解析圆心，半径为，圆心到直线的距离，由于圆上有且仅有两个点到直线的距离等于，则，所以.2(2016山东文)已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 ()A内切B相交C外切D相离答案B解析由题知圆，圆心到直线的距离，所以，解得.圆、圆的圆心距，两圆半径之差为、半径之和为，故两圆相交3已知圆的方程为.设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 ()ABCD答案B解析圆心坐标是，半径是，圆心到点的距离为，根据题意最短弦和最长弦(即圆的直径) 垂直，故最短弦的长为，所以四边形的面积为.4在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为 ()A BCD答案A解析原点到直线的距离为，则，点到直线的距离是圆的半径，由题知是的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角中，圆过原点，即，所以，所以最小为，面积最小为5. 已知圆，直线上至少存在一点，使得以点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最小值是（ ）A B C D答案A解析 圆，由题意得,即圆到直线距离不大于2，因此.6. 已知圆与直线相交于、两点，则当的面积为时，实数的值为（ ）A B C D答案B解析 圆的圆心，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以弦长为，所以的面积为，解得.7. 已知点是直线上一动点，是圆的一条切线，为切点，若长度的最小值为，则的值为（ ）A B C D答案D解析圆的圆心为，当与直线垂直时，切线长最小，在中，也就是说点到直线的距离为，.又，.8.过点的直线被圆所截得的弦长最短时，直线的斜率为A、 B、 C、 D、答案A解析 点在圆内，要使得过点的直线被圆所截得的弦长最短，则该弦以为中点，与圆心和连线垂直，而圆心和连线的斜率为，所以所求直线斜率为.二、 填空题9已知两点、，点是圆上任意一点，则面积的最小值是_.答案解析直线的方程为，圆心到直线的距离中AB边上高的最小值为，又，面积的最小值为.10若圆与圆的公共弦长为，则_.答案解析两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为，圆心到直线的距离，于是由，解得.11设集合，若存在实数，使得，则实数的取值范围是_.答案解析首先集合，实际上是圆上的点的集合，即，表示两个圆，说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是，因此两圆圆心距不大于半径之和，即，整理成关于的不等式：，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即，解得.三、 解答题12设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且与直线相交的弦长为，求圆的方程.解析设圆的方程为.由已知可知，直线过圆心，则，又点在圆上，则，因为直线与圆相交的弦长为.所以解由所组成的议程组得，或.故所求方程为或.13已知圆与圆交于、两点，且这两点平分圆的圆周，求圆心的轨迹方程.解析两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为:，由于、两点平分圆的圆周，所以、为圆直径的两个端点，即直线过圆的圆心，而，所以，即，即，由于圆的圆心,从而可知圆心的轨迹方程为14已知圆：，直线.（1）求证：对，直线与圆总有两个不同交点；（2）设直线与圆交于不同两点，求弦的中点的轨迹方程；（3）若定点分弦所得线段满足，求此时直线的方程.解析 （1）直线恒过定点，且这个点在圆内，故直线与圆总有两个不同的交点.（2）当不与重合时,连接、,则,设,则,化简得：,当与重合时，满足上式.故所求轨迹方程为：（3）设，由得，将直线与圆的方程联立得（*），可得，代入（*）得，直线方程为或.15. 已知圆的圆心在轴上，半径为，直线被圆截得的弦长为，且圆心在直线的上方（1）求圆的方程；