2019_2020学年高中数学第2章解析几何初步11.4两两条直线的交点学案北师大版必修2.docx

1.4两条直线的交点学 习 目 标核 心 素 养1.学会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(重点)2.理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系(难点)1.通过学习解方程组的方法求两直线交点坐标培养数学运算素养.2.通过理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系提升数学抽象素养.两直线的交点已知两条不重合的直线l1：A1xB1yC10；l2：A2xB2yC20.(1)若点P(x0，y0)是l1与l2的交点，则.(2)若两直线方程组成的方程组有唯一解则两条直线相交，交点坐标为(x0，y0)因此求两条直线的交点，就是求这两条直线方程的公共解思考：两条直线的交点同时满足这两条直线吗？提示：满足1两条直线l1：2xy10与l2：x3y110的交点坐标为()A(3,2)B(2,3)C(2，3) D(3，2)B解方程组得故两条直线的交点坐标为(2,3)2已知两条直线l1：ax3y30，l2：4x6y10，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是_a2由题意得6a120，即a2.3直线ykx3过直线2xy10与yx5的交点，则k的值为_由得交点(4,9)，代入ykx3得94k3，k.两直线的交点问题【例1】判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标(1)l1：2x3y70，l2：5xy90；(2)l1：2x3y50，l2：4x6y100；(3)l1：2xy10，l2：4x2y30.解(1)解方程组得所以交点坐标为(2,1)，所以l1与l2相交(2)解方程组2得4x6y100.因此和可以化成同一方程，即和表示同一条直线，l1与l2重合(3)解方程组2，得10，矛盾，方程组无解，所以两条直线无公共点，l1l2.解答本题充分利用了直线相交与联立直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解此类问题的基础.1直线ax2y80，x3y40和5x2y60相交于一点，求a的值解解方程组得直线x3y40和5x2y60的交点坐标为(2，2)，代入直线方程ax2y80，得2a480，a6.过两直线交点的直线方程【例2】求过直线l1：3x2y70与l2：xy10的交点，且平行于直线5xy30的直线方程解法一：由得又所求直线与直线5xy30平行，所以斜率k5，由点斜式得y25(x1)，即5xy30.法二：设所求直线方程为3x2y7(xy1)0，即(3)x(2)y70.直线与5xy30平行，(3)5(2)，解得，所求直线为3x2y7(xy1)0，即5xy30.经过两直线交点的直线系方程：与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByC0(CC)；与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAyC0；过两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为1(A1xB1yC1)2(A2xB2yC2)0(1，2为参数).当11，20时，方程即为l1；当10，21时，方程即为l2.2求经过两直线l1：3x4y20和l2：2xy20的交点且过坐标原点的直线l的方程解法一：由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(2,2)直线过坐标原点，所以其斜率k1，直线方程为yx，一般式为xy0.法二：l2不过原点，可设l的方程为3x4y2(2xy2)0(R)，即(32)x(4)y220，将原点坐标(0,0)代入上式解得1，l的方程为5x5y0，即xy0.直线恒过定点问题探究问题1不论k取什么值，直线ykx2恒过定点，试求出此定点提示：由直线的方程可知当x0时y2，此时与k的取值无关故直线恒过点(0,2)2不论m取什么值：直线y2m(x3)恒过定点求出此定点提示：由直线方程可知当x3时y2与m的取值无关故直线恒过定点(3,2)【例3】求证：无论k取何值时，直线(k1)x(k1)y2k0必过定点，并求出该定点坐标解法一：当k1时，直线方程为x1.当k0时，直线方程为xy0.由得交点P(1，1)，将P(1，1)代入原方程左边得k1(k1)(1)2kk1k12k0，即点P的坐标总适合直线方程无论k取何实数，点P(1，1)总在直线(k1)x(k1)y2k0上法二：将原方程化为k(xy2)xy0，要使其对任意实数k恒成立，则有不论k为何实数，原直线都过定点(1，1)若将本例中的直线方程改为(m1)x(2m1)ym5应如何求解证明法一：取m1时，直线方程为y4；取m时，直线方程为x9.两直线的交点为P(9，4)，将点P的坐标代入原方程左边(m1)9(2m1)(4)m5.故不论m取何实数，点P(9，4)总在直线(m1)x(2m1)ym5上，即直线恒过点P(9，4)法二：原方程化为(x2y1)m(xy5)0.若对任意m都成立，则有不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，4)1求直线过定点，可以分离系数，即将原方程化为f(x，y)mg(x，y)0的形式，欲使此式成立与m的取值无关，则由此方程组求得定点坐标2分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程成立，则此点为定点1解含有参数的直线过定点问题将含有一个参数的二元一次方程常整理为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(其中为常数)形式，可通过求解定点2方程组有唯一解的等价条件是A1B2A2B10，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2A2B10，直线A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)是过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20交点的直线(不含l2)1思考辨析(1)两条直线不相交就平行()(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解()(3)两直线平行，则由两直线方程组成的方程组无解()(4)若两直线重合，则由两直线方程组成的方程组有无数组解()答案(1)(2)(3)(4)2直线2xy7与直线3x2y70的交点坐标是()A(3，1)B(1,3)C(3，1) D(3,1)A联立两直线的方程，得解得即交点为(3，1)，故选A.3当a取不同实数时，直线(2a)x(a1)y3a0恒过一个定点，这个定点的坐标为_(1，2)直线方程可写成a(xy3)2xy0，则该直线系必过直线xy30与直线2xy0的交点，即(1，2)4已知直线l1：x2y40，l2：xy20，设其交点为P.(1)求交点P的坐标；(2)设直线l3：3x4y50，分别求过点P且与直线l3平行及垂直的直线方程解(1)直线l1：x2y40与直线l2：xy20的交点为P，由得P