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文档简介
第四节依测度收敛,第四章可测函数,1.依测度收敛的定义及例子,例1：依测度收敛但处处不收敛的函数列,例2：几乎处处收敛但不依测度收敛的函数列,Riesz定理若,则必有fn的子列fnk，使得,2.Riesz定理及勒贝格定理,3.收敛间的关系,依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）,注：(1),(2),(4)当mE=+时,也成立；条件mE+对(3)来说不可少.,定理：令mE+，则(1)若又有,则f(x)=h(x)a.e.于E。,（2）的证明：设fn与gn是E上几乎处处有限的可测函数列,于E，于E,则于E,注:(1),(4)的证明类似，只要利用,证明：由于,故,这与（*）式矛盾，所以,证明：假设不成立，则,（3）证明,条件mE+对(3)来说不可少,注：令，则gn不依测度收敛于g,注：上述结果的证明也可通过依测度收敛的等价描述证明任取fngn的子列fnkgnk，找fnkgnk的子列fnkignki使得,例设但不依测度收敛于f2于R,依测度收敛的等价描述,令mE+，则对fn的任意子列fnk,存在fnk的子列fnki，使得,证明：（必要性）任取fn的子列fnk，由于当然有,由Riesz定理知，存在fnk的子列fnki，使得,充分性,反之：假设不成立，则,显然fnk的任何子列fnki都不依测度收敛与f，,再由Lebesgue定理(mE+)的逆否命题知，显然fnk的任何子列fnki都不几乎处处收敛与f，,这与条件矛盾，,故存在fn的子列fnk，使得,例对E=R1上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在E上的连续函数列fi(x)使fi(x)f(x)a.e.于E,从而,令，即得我们所要的结果。,证明：由鲁津定理的推论知,再由Riesz定
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