河北石家庄第二实验中学高中数学 2.2等差数列课件 新人教A必修1

2.2等差数列,第二章数列,第一课时,一、数列的定义，通项公式:,按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2，a3,an,如果数列an的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。,二、数列的简单表示:,三、给出数列的方法:,复习,某此系统抽样所抽取的样本号分别是:7，19，31，43，55，67，79，91，103，115.,某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是：7500，8000，8500，9000，10000，10500.,（观察以下数列）,引入,这三个数列有何共同特征,从第2项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。,请尝试着给具有上述特征的特殊数列用数学的语言下定义,交流,1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。,（1）指出定义中的关键词：,从第2项起,等于同一个常数,由定义得等差数列的递推公式：,说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据.,每一项与其前一项的差,探究,练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。,2、等差数列的通项公式,根据等差数列的定义得到,方法一：不完全归纳法,2、等差数列的通项公式,将所有等式相加得,方法二累加法,例1求等差数列8，5，2，的第20项.-401是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？,解：,由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得a20=8+(20-1)(-3)=-49.,由a1=-5，d=-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1).由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项.,例2在等差数列an中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.,这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：,小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做以下练习。,1、已知等差数列的首项与公差，可求得其任何一项；,2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n，an四个量中知三求一.,结论,跟踪训练,3等差中项,如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.,由等差中项的定义可知，a,A,b满足关系：,意义：任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的.当a=b时，A=a=b.,例3（1）在等差数列an中，是否有（2）在数列an中，如果对于任意的正整数n（n2），都有那么数列an一定是等差数列吗？,4、等差数列通项公式的推广,解析：,由等差数列的通项公式得,思考：已知等差数列an中，a3=9,a9=3,求a12,a3n.,解法一:依题意得：a1+2d=9a1+8d=3解之得a1=11d=-1这个数列的通项公式是：an=11-(n-1)=12-n故a12=0,a3n=123n.,解法二：,课本P40(A)1、3、(B)2,作业,2.2等差数列,第二章数列,第二课时,2、等差数列的通项公式,1、等差数列的定义,3、等差数列的中项,复习,通项公式的证明及推广,100与180,例4,例5已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数.,解：设三个数为a-d，a，a+d，则,解之得,故所求三数依次为2，4，6或6，4，2,例6如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.（1）求AB，BC，CD的长；（2）以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第9项为边长的正方形的面积是多少？,3，7，11,a9=35,S9=1225,5、等差数列的通项及图象特征,解析:,思考,结论:,首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为,an2n-1,相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图,例如：,5、等差数列的性质,已知数列为等差数列，那么有,性质1：若成等差数列，则成等差数列.,证明：根据等差数列的定义，,即成等差数列.,如成等差数列，成等差数列.,推广：在等差数列有规律地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）,性质2：设若则,性质3：设c,b为常数，若数列为等差数列，则数列及为等差数列.,性质4：设p,q为常数，若数列、均为等差数列，则数列为等差数列.,例8,（1）已知等差数列an中，a3a15=30,求a9，a7a11,解：,（1）a9是a3和a15的等差中项,（2）已知等差数列an中，a3a4a5a6a7=150，求a2a8的值,7+11=3+15,（2）3+7=4+6=5+5,a3a4a5a6a7=5a5=150,即a5=30,故a2a8=2a5=60,a7a11=a3a15=30,a3a7=a4a6=2a5,（1）等差数列an中，a3a