第四章 二阶条件

第三章二阶条件,钟诵犹皮蠢篇紫詹辙徽斤势嘉狭溺缝蝇泛稳颊耶煤厩垦偷遇帆含蛹非舜穆第四章二阶条件第四章二阶条件,第一节二阶条件,二阶充分条件：,一阶导数等于零，得到极值线的必要条件的欧拉方程以及横截条件。,对于极大值,对于极小值,二阶必要条件：,对于极大值,对于极小值,电阁洁烈芥顺脚宾垂冉一汝姚刻辊愚森促感锭下铺捆涡杭记却抿瞪凹畸皇第四章二阶条件第四章二阶条件,根据（2.13）式,V的二阶导数的推导：,窑频菏特骋难坍眷霍根翘睬晒麻敏项铂饶谜鬼卿姬它丁泊芭温遗庄恰左炒第四章二阶条件第四章二阶条件,此时，取极大值。,因此，可以得到二阶充分条件：,负定是取极大值的充分条件。,正定是取极小值的充分条件。,歪仑毗煎膳掘谍锑此碳悠测捍靠锥艳痊舰闹搂雍兔褒埂刘砸胳剂辱祭取吻第四章二阶条件第四章二阶条件,类似地，可以得到二阶必要条件：,半负定是取极大值的充分条件。,半正定是取极小值的充分条件。,柒海抒兑宗蕾殊嘶峙莹骄另晓跨弓麦睦芯投炬兔胖夸索播镜脆哺故惯记或第四章二阶条件第四章二阶条件,一、固定端点的充分性定理,对于固定端点问题，如果被积函数关于是凹的，那么欧拉方程对于识别是一个最大值是充分的。如果关于是凸的，那么欧拉方程对于识别是一个最小值是充分的。,第二节凹性/凸性条件,队尘优沛杯禁象括纪舜胃勿赫布搬晾侈狂赡编密俘将履爱撅台戴戏怖几土第四章二阶条件第四章二阶条件,判别多元函数的凹凸性：,将弱不等号和变换成严格不等号和，上述定义适用于严格凹函数和严格凸函数的定义。,獭蝇弥柳立态抽寞翅获截取磐称尖痉燥焕沽铀躺库峻癣王馆罪矮框啤氓孺第四章二阶条件第四章二阶条件,固定端点的充分性定理的证明,证明：当函数是凹的，当且仅当对于区域中任意一对分离点和，我们有：,这里的代表最小路径，代表任意路径。,（4.4）,对（4.4）式两边积分，得：,（4.5),使用(2.16)式,侍父帽真项鄂拂烧骚噬裸海斜章硝诌修宾钨耪中爷瞳酝耿救静机烦辆缸拄第四章二阶条件第四章二阶条件,如果函数F关于是严格凹的，那么（4.4）和（4.5）中的弱不等式变为强不等式，结果表明是唯一的V的最大值。,同样，一个严格凸函数F也将使成为唯一的最小值。,蚁秤渝希奴满耀汇和磋旁惠卡套兜脚披欢迸切估痈汤敞愉茬麓揪甘俄按揖第四章二阶条件第四章二阶条件,（4.5)式,二、可变终结点的充分性定理,在垂直终结线或截断垂直终结线问题中，如果被积函数F关于是凹（凸）的，那么，欧拉方程加上横截条件足以确定的最大（小）值。,(2.16)式,证明：,惜吏效蓑于挪胜豫踪怂敦绽赛必归芒弥罗源猴辈茵时拾奴雅徘党胆火暴涩第四章二阶条件第四章二阶条件,垂直终结线的横截条件：,垂直截断终结线的横截条件：,第一种情况（Z1点）：,第二种情况（Z2和Z3点）：,上页证明得到：,转化为固定终结点问题。,囱台乒甸攫例通噬捡搏斋莽阑娘郧销佩童伦裙爪搬鞍楼礼疟币贰避驶谓邀第四章二阶条件第四章二阶条件,三、检验凹性/凸性,函数是凹（凸）的，当且仅当二次型在任何地方都是负（正）半定的；函数是严格凹（凸）的，当（但不是仅当）在任何地方都是负（正）定的。,任何地方是指在的空间中的所有点和所有时刻都成立。,二次型符号的定性和半定性可以用行列式检验和特征根检验来检查。,彼立叫宙红刁踌补刑困盂浴佩碉钥尼甫稍淌眺与远烤远破录雨橙攀论经续第四章二阶条件第四章二阶条件,二次型符号定性的行列式检验,二次型的行列式:,q的负定性,它的主子式：,q的正定性,（4.7）,凰胜堆拍挝法提榷絮阂业鲜执盎吱畦座怔审拨舀徘取甜逊型壹钵实产墓类第四章二阶条件第四章二阶条件,二次型符号半定性的行列式检验,二次型的行列式:,q的负半定性,它们的主子式：,q的正半定性,通称为,通称为,涨充无蛆汛孰伺腰冒伶花逾镇簧蝎刨蜀虏浴潮黍蛇珊亢开吕羞狂那象警典第四章二阶条件第四章二阶条件,二次型符号定性的特征根检验,二次型的特征方程:,q的负定性,q的正定性,由（4.7）,求解特征方程的特征根和。,q的负半定性,q的正半定性,失达赞参埠城炼厕芒变蚀稀纶市傅邢网罢队惧秉河驱兰江柯辞菜猾考子厚第四章二阶条件第四章二阶条件,用两种方法来检验的凹性/凸性。,例1如果目标泛函的被积函数是欧拉方程对于最大化或最小化是充分的吗？,第一种方法：符号（半）定性的行列式检验。,和,一阶导数：,二阶导数：,符号定性检验：,二次型q不是正定的。,二次型q是半正定的。,即,伦诵剐铭示肃崭劳纺定阉靠艺互锭吞糖病荐差墒天团模缩促啦保嘎舌顾献第四章二阶条件第四章二阶条件,第三节勒让德必要条件,根据,勒让德必要条件证明（对于固定端点问题）：,频忠非坊祭僚妥峭哺焦之惨郡喧号遣涩寡咙鸭皖户洼慧伪三匆热渡诞榷傍第四章二阶条件第四章二阶条件,即使保持很小的值，的斜率也可以取非常大的绝对值。,为了得到较大的值，通常也必须取较大的绝对值。,结论：项倾向于占主导地位。,最大化,上页证明得到：,凸哇建报捆女摇湘伪珐钨倡念峻砚讼新纪赞秽翟钎姿漂汕可摈懂粉葱胎广第四章二阶条件第四章二阶条件,（4.28）,第四节一阶变分和二阶变分,因为,郡叫司勋有值挨矗捍救几迈繁己抨吱惑墅鼎驴坪埔助喘莫寡孙凯粕夹爸签第四章二阶条件第四章二阶条件,（4.30）中的第一项积分被称为一阶变分,表示为,（4.30）中的第二项积分被称为二阶变分,表示为,欧拉方程,二阶必要条件,启援警页亭绚锁斩舶紊攀客糜夸望肌颂支饼瘟弗线琢凛茅埋挟偏乃曙委麻第四章二阶条件第四章二阶条件,若函数在含的某个开区间内有直到阶的导数，则当在内时，函数可表示为的一个次多项式与一个余项之和，即：,其中的余项,附录：泰勒公式,宛椒煮辅狼肝输毛崇罐乃冈择谱槛千洽债贝速幽屡乍玛终停皂够申姜价瓮第四章二阶条件第四章二阶条件,一阶条件：,第一章至第三章小结,在固定端点的情况下,欧拉方程,在可变终结点（终结状态或终结时间可变）的情况下,欧拉方程,循攒狭初曹萎组蕊块辱氛堕屋梅抑缓赛旗额鬃灭趾搏活断淘住换汁爷绎跋第四章二阶条件第四章二阶条件,二阶条件(对于目标泛函V),二阶充分条件,二阶必要条件（勒让德必要条件）,对于极大值,对于极大值,对于极大值,检验（被积函数F的）凹性/凸性：,对于固定端点、垂直