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二用数学归纳法证明不等式举例一、选择题1.用数学归纳法证明1+1)时,第一步是证下述哪个不等式成立()A.12B.1+2C.1+2D.1+2解析:当n=2时,左边=1+,右边=2,所以应证1+2.答案:C2.用数学归纳法证明式子“1+1)”时,由n=k(k1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1解析:当n=k时,不等式1+an,且(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0,先计算a2,a3,再猜想an等于()A.nB.n2C.n3D.解析:(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0,(a2-1)2-2(a2+1)+1=0,a2=4,或a2=0(舍去).同理a3=9,或a3=1(舍去).猜想an=n2.答案:B4.用数学归纳法证明不等式+(n2,nN+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边(A.增加了一项B.增加了两项C.增加了两项,但减少了一项D.以上各种情况均不正确解析:当n=k时,不等式为+;当n=k+1时,不等式左边=+.比较n=k和n=k+1,易知选C.答案:C5.某同学回答“用数学归纳法证明n+1(nN+)”的过程如下:证明:(1)当n=1时,显然命题是正确的;(2)假设当n=k(k1)时有k+1,那么当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由(1)(2)可知对于nN+,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于()A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从k到k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体解析:证明(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设=.所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)知,原不等式对一切n2,nN+均成立.9.等比数列an的前n项和为Sn,已知对任意的nN+,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(nN+),证明对任意的nN+,不等式成立.解: (1)因为对任意的nN+,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1,b,r均为常数)的图象上,所以Sn=bn+r.当n=1时,a1=S1=b+r.当n2时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)=bn-bn-1=(b-1)bn-1.又因为an为等比数列,所以r=-1,公比为b,an=(b-1)bn-1(nN+).(2)证明:当b=2时,an=(b-1)bn-1=2n-1,bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n,则,所以=.下面用数学归纳法证明不等式成立.当n=1时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.假设当n=k
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