电动力学 第二章 静电场

.,第二章,静电场,.,静电势及其特性、分离变量法、镜象法、格林函数法。求解的依据是：唯一性定理。,给定自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，如何求解电场。,主要问题：,主要内容：,静电场的基本特点,边值关系：,（,，,为唯一解）),(不考虑永久磁体（,）,基本方程：,电荷静止不动场量不随时间变化,静电场两个条件,介质分界面上的束缚电荷：,电磁性质方程：,2.1静电势及其微分方程,一、静电场的标势,二、静电势的微分方程和边值关系,三、静电场的能量,本节主要内容,四、静电场问题的几种解法,1静电势的引入,一、静电场的标势,2、电势差,空间某点电势无物理意义，两点间电势差才有意义,电势差为电场力将单位正电荷从P移到Q点所作功负值,两点电势差与作功的路径无关,参考点,通常选无穷远为电势参考点,（1）电荷分布在有限区域，,P点电势为将单位正电荷从P移到电场力所做的功。,（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大。,3、电荷分布在有限区几种情况的电势,（1）点电荷,（2）电荷组,（4）连续分布电荷,二、静电势的微分方程和边值关系,电势满足的方程,适用于均匀介质,泊松方程,导出过程,(1)两介质分界面,2静电势的边值关系,由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上，并考虑导体内部电场为零，则可以得到第二个边值关系。,（2）导体表面上的边值关系,三静电场的能量,一般方程：能量密度,总能量,导出过程：,该公式只适合于静电场情况。能量不仅分布在电荷区，而且存在于整个场中。,.,讨论：对的使用注意几点：（1）适用于静电场，线性介质；（2）适用于求总能量（如果求某一部分能量时，面积分项）；（3）不能把看成是电场能量密度，它只能表示能量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以密度的形式在空间连续分布，场强大的地方能量也大；,.,（4）中的是由电荷分布激发的电势；（5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没有独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。（6）若全空间充满了介电常数为的介质，且得到电荷分布所激发的电场总能量,式中r为与点的距离,.,2.2唯一性定理,第二章第二节,唯一性定理,.,本节内容将回答两个问题：（1）要具备什么条件才能求解静电问题（2）所求的解是否唯一,静电场的基本问题是：求出在每个区域(均匀)内满足泊松方程，在所有分界面上满足边值关系和在所研究的整个区域边界上满足边界条件的电势的解。,.,1、静电问题的唯一性定理（1）有介质存在的情况把一个区域V找分为许多小区域Vi，每一个小区域内介电常数为，它是各向同性的。每一个区域给定电荷分布,.,已知：在每个均匀区域中满足，即有几个区域就是几个泊松方程。在各个均匀区域的交界面上，满足：至此，不知道边界条件，即不知道区域的边界S上的一些条件。这个问题正是唯一性定理所要解决的，下面讨论之。,.,唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布在V的边界S上给定（i）电势或（ii）电势的法向导数，则V内的电场唯一地被确定。,.,证法：证明：设有两组不同的解和满足唯一性定理的条件，只要得即可。令在均匀区域Vi内有,.,在两均匀区界面上有在整个区域V的边界S上有或者为了处理边界问题，考虑第i个区域Vi的界面Si上的积分问题，对已知的任意两个连续,.,函数必有：令则,.,对所有区域求和得到进一步分析：在两个均匀区域Vi和Vj的界面上,由于和的法向分量相等，又有，因此内部分界面的积分为,.,(这里）因此故而在S面上，从而有,.,由于,而,只有，要使成立，唯一地是在V内各点上都有即在V内任一点上，。由可见，和至多只能相差一个常数，但电势的附加常数对电场没有影响，这就是说静电场是唯一的。,.,（2）有导体存在的情况根据实践经验，把问题分为两类：A类问题：给定每个导体上的电势。B类问题：给定每个导体上的总电荷。,S,V,S1,S2,.,第二章第三节,分离变量法,.,2.3拉普拉斯方程的解分离变量法,.,1、空间，自由电荷只分布在某些介质（或导体）表面上，将这些表面视为区域边界，可用拉普拉斯方程。,一、拉普拉斯方程的适用条件,2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求自由电荷分布在真空中产生的势为已知。,一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分的和，即，为已知自由电荷产生的电势，不满足，为束缚面电荷产生的电势，拉普拉斯方程,.,二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式,1、直角坐标,（1）令,令,.,（2）若,注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边界条件，将与某些正整数有关，它们可取1，2，3，只有对它们取和后才得到通解。,.,柱坐标,.,3球坐标,缔合勒让德函数（连带勒让德函数）,-为勒让德函数,.,三解题步骤,根据具体条件确定常数,选择坐标系和电势参考点坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主要根据电荷分布是有限还是无限；,分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解；,（1）外边界条件：电荷分布有限,.,注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界，给定（接地），或给定总电荷Q，或给定。,（2）内部边值关系：介质分界面上,一般讨论分界面无自由电荷的情况,.,第二章第四节,镜象法,.,2.4镜象法,重点掌握：1、镜象法的基本概念2、求解电势的基本方法,.,求解泊松方程的难度,、电象法的概念和适用条件,一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。但是，在许多情况下非常困难。例如，对于介质中、导体外存在点电荷的情况虽然可以采用叠加法求解，但是求解比较困难。求解的困难主要是介质分界面或导体表面上的电荷一般非均匀分布的，造成电场缺乏对称性。,2.以唯一性定理为依据,在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。特别是对于只有几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。,.,3.镜象法的基本问题在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。那么，导体的感应电荷或介质的极化电荷对场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷来代替呢？,.,4.镜象法概念、适用情况,镜象法：用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。,适用情况：所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。b)导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。c)给定边界条件,注意：a）假想电荷必须放在所求区域之外。做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、Q大小不能变）。b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。,.,5.格林等效层定理（不证明）*,（1）等势面包围的体积V内的电荷在V外产生的电势与在此等势面上置一导体面，并将V内电荷都搬到导体上所产生的电势完全一样。,（2）相反，带电导体所产生的电势也可以用导体面内一定等效电荷分布来代替，只要它产生与导体表面完全重合的等势面。,.,6、镜象法的具体应用步骤用镜象法解题大致可按以下步骤进行：a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；b)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置；c)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式；d)根据需要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。,.,2.5格林函数方法,三、用格林函数求解一般的边值问题,二、格林函数,内容提要,.,本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。泊松方程解的格林函数，实际上就是满足特定边界条件的单位点电荷所激发的电势。它与点电荷解的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。,格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重要的工具。,.,2常用公式,点电荷的泊松方程：设电势为,.,单位点电荷产生的电势,空间区域V上的边界条件,.,2.格林函数,.,上单位点电荷在无穷空间中激发的电势,（1）无界空间中的格林函数,球坐标中,（偶函数）,显然满足点电荷泊松方程。,.,（2）上半空间的格林函数,（3）球外空间的格林函数,P,P,.,.,三、用格林函数求解一般的边值问题,，,给定，求V内,。,满足,（真空情况）,1.第一类边值问题求解的格林方法,（1）V内有电荷分布,（2）二者的联系由格林第二公式给出,.,为格林函数,.,2第二类边值问题解的格林函数方法,，S上,给定，,（1）V内有电荷分布,（2）,.,（1）的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。电象法是求解格林函数的有效方法之一。,3格林函数方法求解讨论,（2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的边值问题。由,第一类边值问题,第二类边值问题,.,第二章第六节,电多极矩,.,2.6电多极矩,二、电多极矩,一、电势的多极展开,三、电荷体系在外电场中的能量(相互作用能),主要内容,.,一、电势的多极展开,小区域电荷分布,一般若体电荷分布不均匀或区域不规则，积分十分困难（用计算机可数值求解）。,但是在许多实际情况中，电荷分布区域的线度远小于该区域到场点的距离，可以近似处理，解析求解。条件。,.,(1)一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）,(2)三元函数的麦克劳林展开,.,.,其中,小区域电荷分布产生的电势,.,.,二、电多极矩,展开式的物理意义,等效于坐标原点点电荷产生的电势。因此小电荷体系在电荷分布区外产生的电势在零级近似下可视为将电荷集中于原点处产生的电势。,.,等效为体系电四极矩张量产生的电势（四极势）。,.,2.电四极矩张量,重新定义：,有9个分量,电四极矩有6个不同分量,.,电四极矩最简单体系举例：,四个点电荷在一直线上按（+，-，-，+）排列，可看作一对正负电偶极子。,体系总电荷、总电偶极矩为零,依定义其它分量均为零,.,.,三、电荷体系在外电场中的能量（相互作用能）,1设外场电势为，场中电荷分布为，体系具有的总能量为：,可证明：,称为体系的相互作用能，或带电体系在外场中的能量。,.,2带电体系为小区域时相互作用能的展开