高三数学高考应考宝典二：方法技巧篇解答题的做法课件

第3讲解答题的做法,1.高考数学解答题的基本题型我们认真分析近几年各省市高考数学试题，虽略有差别，但总体上高考五至六个解答题的模式基本不变，分别为三角函数、平面向量型解答题、立体几何型解答题、概率型解答题、函数与不等式型解答题、解析几何型解答题、数列型解答题.这是高考数学的重头戏，这部分内容包含的知识容量大、解题方法多、综合能力要求高，它们突出了中学数学的主要思想和方法，考查了考生的创新能力和创新意识.,2.高考数学解答题的答题策略（1）审题要慢，解答要快.审题是整个解题过程的“基础工程”题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识.（2）确保运算准确，立足一次成功.（3）讲求书写规范，力争既对又全.这就要求考生在面对试题时不但会而且要对、对而且全，全而规范.,（4）面对难题，讲究策略，争取得分.会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而对于不能全部完成的题目应：缺步解答；跳步解答.解题过程卡在其一中间环节上时，可以承接中间结论，往下推，或直接利用前面的结论做下面的（2）、（3）问.总之，对高三学子来说：准确、规范、速度，高考必胜；刻苦、坚韧、自信，势必成功！,一、三角函数、平面向量型解答题,三角函数和平面向量不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具.若三角函数单独命题则一般考查求三角函数值、三角函数图象和性质、三角形中的三角函数问题，都属于难度较小的题目.而平面向量作为中学教材新增内容，是高考的必考内容，尤其是平面向量的运算、数量积，既有代数形式的计算又有一定的几何意义，能够体现重要的数形结合思想，所以更是高考中的热点内容.高考命题者常在平面向量与三角函数、解析几何等知识交汇处命题.,例1已知向量a=(4cosB,cos2B-2cosB),b=(sin2(),1)，f(B)=ab.（1）若f(B)=2,且02恒成立，求实数m的取值范围.思维启迪（1）由向量数量积的运算、三角函数化简求出f（B）的最简表达式.（2）求角的范围是关键.解（1）f(B)=ab=4cosBsin2()+cos2B-2cosB,=2cosB1-cos2()+cos2B-2cosB=-2cosBcos(+B)+cos2B=2cosBsinB+cos2B=sin2B+cos2B=2sin(2B+)f(B)=22sin(2B+)=2即sin(2B+)=1B(0,)2B+（,）2B+=B=.,（2）由（1）知f(B)=2sin(2B+),又02恒成立，mf(B)-2恒成立.m2恒成立，则问题应转化为求f(B)的最小值t;若f(B)-m2恒成立，则问题应转化为求f（B）的最大值t.,变式训练1（2009湖南文，16）已知向量(1)若ab,求tan的值；(2)若|a|=|b|,00且b1,所以n2时，an是以b为公比的等比数列.又a1=b+r,a2=b(b-1),四、立体几何型解答题,立体几何的考查，主要有两类新题型，一是将空间几何体的直观图、三视图引进解答题中，在考查对空间几何体结构认识的前提下，综合性地考查对空间几何体的体积、表面积的计算，考查空间线面位置关系，角与距离的计算，这类试题以“图”引入，背景新颖，对考生的空间想象能力有较高要求；二是在考查立体几何基本问题的前提下，将试题设计为“探索性”的类,型，改变了给出明确结论让考生证明的局面，这类试题由于结论不明确，对考生的数学素养有较高要求.要想解决好如上所述的立体几何新型试题，除了牢固掌握好立体几何的基础知识和基本方法外，还要在空间想象能力、数学思想方法等方面下一番工夫，只有这样考生才能面对新题型得心应手，将新题型转化为所熟悉的常规题，以便顺利解决问题.,例4如图所示是一几何体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图和俯视图.（1）若F为PD的中点，求证：AF平面PCD；（2）证明：BD平面PEC；,思维启迪从直观图和三视图上观察该几何体的结构特征，可以知道该几何体的一些棱的平行、垂直关系.在这个几何体中“底面ABCD是边长为4的正方形，PA平面ABCD，PAEB，PA=2EB=4”.利用这些关系和线面垂直、平行的判定定理解决这两个问题.证明（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA平面ABCD，PAEB，又PA=2EB=4.PA=AD，F为PD的中点，PDAF又CDDA，CDPA，CD平面PAD.又AF平面PDA，CDAF，CDPD=D，AF平面PCD.,（2）取PC的中点M，AC与BD的交点为N，MN=PA，MNPA.MN=EB，MNEB，四边形EMNB是平行四边形，EMBN.又EM平面PEC，BD平面PEC，BD平面PEC.,探究提高（1）由于空间几何体的三视图是由平行投影得到的，故在原几何体中平行的直线在其三视图中平行或重合；（2）由三视图反映原来几何体中有关线段的长度时要注意三视图的“高平齐、宽相等、长对正”的规则.,变式训练4如图所示，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90,BCAD,BEFA,G、H分别为FA、FD的中点.（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；（2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？（3）设AB=BE，证明：平面ADE平面CDE.FH=HD,所以GHAD.又BCAD,故GHBC.所以四边形BCHG是平行四边形.,(2)解C、D、F、E四点共面.理由如下：由BEAF，G是FA的中点知，BEGF，所以EFBG.由（1）知BGCH，所以EFCH，故EC、FH共面.又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面.（3）证明连结EG，由AB=BE，BEAG及BAG=90知四边形ABEG是正方形,故BGEA.由题设知,FA、AD、AB两两垂直，故AD平面FABE，因此EA是ED在平面FABE内的射影，根据三垂线定理，BGED.又EDEA=E,所以BG平面ADE.由(1)知,CHBG,所以CH平面ADE.由(2)知CH平面CDE,得平面ADE平面CDE.,五、解析几何型解答题,高考对平面解析几何的考查主要以圆锥曲线为载体，综合考查解析几何的基础知识和基本方法，该部分涉及的内容广泛，方法多，数学思想丰富，又容易和平面向量、函数、不等式等问题交汇，在高考中多出现新颖别致的试题.由于解析几何试题的运算量大，在解决解析几何试题时要注意分析题意，把握问题的实质，注意尽可能地使用数学思想（如设而不求，代入消元等）简化运算，同时要注意其他知识在解决问题中的综合应用，使解题过程尽可能地优化.,例5已知过椭圆C：(ab0)右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，N为弦AB的中点.又函数y=asinx+3bcosx图象的一条对称轴的方程是x=.（1）求椭圆C的离心率e与直线ON的斜率;（2）对于椭圆C上的任意一点M，试证：总存在角(R)使等式=cos+sin成立.,思维启迪（1）只要能找到a,b的关系就可以求出椭圆的离心率，利用函数y=asinx+3bcosx图象的一条对称轴的方程是x=找到这个关系，既然a,b之间存在着一个等量关系，那么椭圆方程就可以用一个参数表示出来，这样就可以应用韦达定理把弦AB的中点坐标用这个参数表示出来；（2）根据平面向量基本定理，对椭圆上任意一点M一定存在唯一的一对实数，使得等式=+成立，只要能证明这里的,满足关系式+=1，即可通过三角恒等变换解决问题.,（1）解因为函数y=asinx+3bcosx图象的一条对称轴的方程是x=,所以对任意的实数x都有f(-x)=f(+x)，取x=，得f(0)=f(),整理得a=b.于是椭圆C的离心率e=.由a=b，知椭圆C的方程可化为x2+3y2=3b2,又椭圆C的右焦点F为（b，0），直线AB的方程为y=x-b,把代入展开整理，得4x2-6bx+3b2=0,设A（x1,y1）,B(x2,y2)，弦AB的中点N（x0,y0），则x1,x2是方程的两个不等的实数根，由韦达定理，得x1+x2=b,x1x2=b2,所以x0=,y0=x0-b=-b.于是直线ON的斜率kON=.(2)证明与是平面内的两个不共线的向量，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数,使得等式=+成立.设M（x,y），由（1）中各点的坐标可得,(x,y)=(x1,y1)+(x2,y2)，x=x1+x2,y=y1+y2.又M在椭圆C上，代入式，得(x1+x2)2+3(y1+y2)2=3b2，展开整理，得又x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-b)(x2-b)=4x1x2-3b(x1+x2)+6b2=3b2-9b2+6b2=0.A，B两点在椭圆上，故有代入式化简，得=1.由同角三角函数关系知道总存在角(R)使等式.成立，,即成立.综上所述，对于椭圆C上的任意一点M，总存在角（R）使等式恒成立.,探究提高在平面解析几何中研究直线和圆锥曲线的位置关系时，“设而不求”是一种重要的整体思想，这就要用到点在直线上、点在曲线上和一元二次方程根与系数的关系.在化简过程中，要有“整体”的意识，这样可以简化运算，提高效率.,变式训练5（2009银川模拟）已知椭圆C：点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点在直线直线l:y=kx+m为动直线,且直线l与椭圆C交于不同的两点A、B.（1）求椭圆C的方程；（2）若在椭圆C上存在点Q，解（1）椭圆C的左、右焦点分别为F1（-c,0）、F2(c,0),又|F1F2|=|PF2|，(2c)2=()2+(2-c)2.,六、函数、导数不等式型解答题,函数、导数与不等式型解答题一直是高考的压轴题之一，这类解答题的命题方式灵活多变，其主要特点有两个：一是涉及的知识面广泛，从简单的一次函数到复杂的复合后的指数、对数函数及导数等；二是试题中蕴含着丰富的数学思想方法，考生必须对数学思想方法有较为深刻的领会，才能做出正确的解答.这类试题中值得注意的题型是：函数、导数与不等式恒成立问题，利用函数、导数证明不等式型.解决这类试题时，一要注意基础知识的正确使用;二要学会对题目中的各种关系做出分析，实行转化，将新问题转化为我们所熟悉的问题解决，注意数学思想方法在解决问题中的作用.,例6函数f(x)=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f(x)上的点P(1，f(1)）的切线方程为y=3x+1.(1)若y=f(x)在x=-2时有极值，求f(x)的表达式；(2)在（1）的条件下，求y=f(x)在-3,1上的最大值；(3)若函数y=f(x)在区间-2，1上单调递增，求实数b的取值范围.思维启迪将过点P的切线与y=3x+1建立等价关系式，再利用y=f(x)在x=-2时有极值，来确定a,b,c.第（3）问可转化为f(x)0在-2，1上恒成立来确定b的取值范围.,解（1）由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数得f(x)=3x2+2ax+b.过y=f(x)上点P（1,f(1)）的切线方程为y-f(1)=f(1)(x-1)，即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1).而过y=f(x)上点P(1,f(1)的切线方程为y=3x+1.,y=f(x)在x=-2时有极值，故f(-2)=0.-4a+b=-12.由联立解得a=2,b=-4,c=5,f(x)=x3+2x2-4x+5.(2)f(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2),令f(x)=0,解得或x=-2.列下表：,f(x)的极大值为f(-2)=13，极小值为又f(-3)=8,f(1)=4,f(x)在-3，1上的最大值为13.（3）y=f(x)在-2，1上单调递增.又f(x)=3x2+2ax+b.由（1）知2a+b=0.f(x)=3x2-bx+b.依题意在-2,1上恒有f(x)0，即3x2-bx+b0在-2，1上恒成立.,探究提高（1）存在极值，则在此处的导函数值为零.但要注意的是某总的导函数值为零，未必存在极值.（2）利用导数判断函数的单调性，求函数的极值与最值的方法是导数在研究函数性质方面的深入，是导数应用的关键点.,变式训练6（2009四川文，20）已知函数f(x)=x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=f(x)+若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值.解（1）由已知，得切点为（2，0），故有f(2)=0,即4b+c+3=0,f(x)=3x2+4bx+c,由已知，得f(2)=12+8b+c=5.即8b+c+7=0.,联立，解得b=-1,c=1,于是函数解析式为f(x)=x3-2x2+x-2.(2)g(x)=f(x)+=x3-2x2+x-2+当函数有极值时，0,方程3x2-4x+1+由=4(1-m)0，得m1.当m=1时，g(x)=0有实根左右两侧均有g(x)0,故函数g(x)无极值.当m1时，g(x)=0有两个实根，,当x变化时，g(x)、g(x)的变化情况如下表：,规律方法总结1.解答题的审题要求解答题的设计，一般都比较综合，多为综合题.综合题从题设到结论，从题型到内容，条件隐蔽，变化多样，因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性.在审题思考中，要把握好“三性”，即（1）目的性：明确解题结果的终极目标和每一步骤分项目标.（2）准确性：提高概念把握的准确性和运算的准确性.（3）隐含性：注意题设条件的隐含性.审题这第一步，不要怕慢，其实慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，这是提高解题速度和准确性的前提和保证.,2.将文字语言转化成数学语言解答题的解题关键是将文字语言用数学语言表达出来.这就要求考生有较强的转化能力.即：（1）语言转换能力.每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成.解综合题往往需要较强的语言转换能力.还需要有把普通语言转换成数学语言的能力.（2）概念转换能力.综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力.（3）数形转换能力.解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数与几何的结合上找出解题思路.运用数形转换策略要注意特殊性，否则解题会出现漏洞.,3.答卷的基本要求（1）准确.准确是最基本的要求，注意做到概念公式应用准；逻辑推理思路准；数式运算结果准.（2）迅速.没有速度，就没有高效益.在保证准确的前提下，尽可能提高速度