正方形的判定

,标题,正方形,复习回顾,(1)平行四边形有哪些性质?矩形与平行四边形比较有哪些特殊的性质?,平行四边形,边:,角:,对角线:,对边平行且相等,对角相等,邻角互补,对角线互相平分,矩形,角:,四个角是直角,对角线:,对角线相等且互相平分,对边平行且相等,边:,菱形的性质,菱形的性质,边:,四条边相等,对角线:,互相垂直平分,分别平分两组对角,角:对角相等,邻角互补,具有平行四边形一切性质,要使一个图形是正方形，需满足三个条件：有一个角是直角，有一组邻边相等，平行四边形。,你还记得吗？,1.什么样的图形是正方形？,2正方形具有什么性质？,边：对边平行，四条边都相等角：四个角都等于90。对角线：相等、垂直且互相平分。,思考：如何用图形来表示平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系呢？,创设情景一,问题:,从这个图形中你能得到什么？你是怎样想到的？,90,当=90时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.,问题:,图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（CD在移动的过程中始终保持与AB平行）,当CD移动到CD位置，且ADAB时，此时的图形还是矩形吗？,A,B,当ADAB这个四边形是矩形,它是特殊的矩形是一组邻边相等的矩形也是正方形。,通过以上回忆，你觉得什么样的四边形是正方形呢?,讨论,1、要使一个菱形成为正方形需要增加的条件是（）。,2、要使一个矩形成为正方形需添加的条件是（）。,3、要使一个平行四边形成为正方形需要增加的条件是：（）。,有一个角是直角,有一组邻边相等,有一组邻边相等且有一个角是直角,有一组邻边相等,有一个角是直角,有一组邻边相等,有一个角是直角,平行四边形,有一个角是直角,有一组邻边相等,-下列说法对吗?1.四个角都相等的四边形是正方形。2.四条边都相等的四边形是正方形。3.对角线相等的菱形是正方形。4.对角线垂直的平行四边形是正方形。5.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。6.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形。7.对角线互相垂直的矩形是正方形。8.对角线垂直且相等的四边形是正方形。9.四边相等，有一角是直角的四边形是正方形。,辨一辨,为什么说正方形是一个完美的图形？,对称性,特征,正方形是中心对称图形,对称中心为点O,它也是轴对称图形,有4条对称轴,(1)它具有平行四边形的一切性质,两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分,(2)具有矩形的一切性质,四个角都是直角，对角线相等,(3)具有菱形的一切性质,四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角,(A),(B),(C),(D),例题解析,例题,例1如图，在正方形ABCD中，求ABD、DAC、DOC的度数。,解：,因为四边形ABCD是正方形，,根据正方形的四个内角都为直角，,又因为正方形的对角线平分内角，,又因为正方形的两条对角线互相垂直，,即ACBD，,得BADABC90。,即AC平分BAD，BD平分ABC，,所以ABDDAC9045。,所以DOC=90。,课堂练习,45,正方形,12cm,2a+1,1.正方形的一边和对角线的夹角为_。,2.如果一个四边形既是菱形又是矩形,那么它一定是_。,3.已知正方形的面积为9cm,它的周长为_。,4.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了_。,7.正方形ABCD中，M为AD中点，MEBD于E，MFAC于F,若ME+MF=8cm，则AC=_。,课堂练习,5.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PEAC于E，PFBD于F,则PE+PF=_。,5,30,16cm,6.以正方形ABCD的边DC向外作等边DCE,则AEB=_。,分析,正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A、四个角相等B、对角线互相垂直平分C、对角互补D、对角线相等,选一选,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等B、对角线互相垂直平分C、对角线平分一组对角D、对角线相等,B,D,归纳,1.正方形是中心对称图形，轴对称图形。2.正方形的四条边都相等。3.正方形的四个角都相等。4.正方形的对角线互相垂直平分且相等，且每一条对角线平分一组对角。,例如图，ABC中，ACB90，CD平分ACB，DEBC，DFAC，垂足分别为E、F求证：四边形CFDE是正方形。,证明CD平分ACB，DEBC，DFAC，DEDF（角平分线上的点到角的两边距离相等）。DECECFCFD90，四边形CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。,求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。,已知：如图，四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，且ACBD，AOCO，BODO，ACBD。求证：四边形ABCD是正方形。,证明：AOCO,BODO四边形ABCD是平行四边形又ACBD平行四边形ABCD是矩形又ACBD平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是正方形,解题小结：正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形。它没有明确的判定定理，要判定一个四边形是正方形，基本思路就是证明这个四边