高三数学：3.3《函数的和、差、积、商的导数》（人）.ppt

3.3函数的和、差、积、商的导数,一、复习：,1.求函数的导数的方法是:,2.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0)处的切线的斜率.,3.常见函数的导数公式:,公式1:,公式2:,公式3:,公式4:,二、新课：,由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y=2x,那么,对于一般的二次函数y=ax2+bx+c,它的导数又是什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则.,1.和(差)的导数:,法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:,证:,即:,2.积的导数:,法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即,证:,因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当x0时,v(x+x)v(x).从而:,即:,3.商的导数:,推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即:,法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即:,思考:你能否仿照积的导数的推导过程,证明商的导数公式吗?,有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和、差、积、商构成的函数,而不必从导数定义出发了.,三、例题选讲：,例1:求下列函数的导数:,答案:,例2:(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:f(x)=f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的()(a)充分不必要条件(b)必要不充分条件(c)充分必要条件(d)即不充分也不必要条件,a,(2)下列函数在点x=0处不可导的是()(a)y=x3+sinx(b)y=x2-cosx(c)y=xsinx(d)y=+cosx,d,(3)若则f(x)可能是下式中的(),b,(4)点p在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点p的曲线的切线的倾斜角的取值范围是(),d,例3:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足(1)此物体什么时刻在始点?(2)什么时刻它的速度为零?,解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在始点.,即t3-12t2+32t=0,解得:t1=0,t2=4,t3=8,故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.,例4:已知曲线s1:y=x2与s2:y=-(x-2)2,若直线l与s1,s2均相切,求l的方程.,解:设l与s1相切于p(x1,x12),l与s2相切于q(x2,-(x2-2)2).,对于则与s1相切于p点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.,对于与s2相切于q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.,因为两切线重合,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.,所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.,例5:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应的切点,并证明曲线关于此点对称.,解:由于,故当x=2时,有最小值.,而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点为a(2,-12).,记曲线为s,设p(x,y)s,则有y=x3-6x2-x+6.,又点p关于点a的对称点为q(4-x,-24-y),下证qs.,将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x+12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30=-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y.,即q(4-x,-24-y)的坐标是s的方程的解,于是qs.,这就证明了曲线s关于点a中心对称.,例6:用求导的方法求和:,对(1)由求导公式可联想到它是另一个和式x+x2+x3+xn的导数.,四、小结：,1:充分掌握函数的四则运算的求导法则.,2:先化简,再求导是实施求导运算的基本方法;是化难为易、化繁为简的基本原