《矩阵及其运算》PPT课件

1,第二章矩阵及其运算,一.矩阵概念,二.矩阵的基本运算,三.逆矩阵,四.矩阵的分块,2,一.矩阵概念,矩阵的定义特殊矩阵矩阵的应用实例,1.矩阵的定义,简记为,3,实矩阵:元素是实数,复矩阵：元素是复数,例如：,是一个实矩阵,是一个复矩阵,4,是一个矩阵,是一个矩阵.,是一个矩阵,5,2.一些特殊的矩阵,零矩阵(ZeroMatrix):,注意：,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如：,元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.,6,行矩阵(RowMatrix):,列矩阵(ColumnMatrix):,方阵(SquareMatrix):,只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,例如：,是一个3阶方阵.,7,对角阵(DiagonalMatrix):,方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。,数量矩阵(ScalarMatrix):,方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零。,8,单位矩阵(IdentityMatrix):,记作:,行列式与矩阵的区别:,1.一个是算式，一个是数表,2.一个行列数相同,一个行列数可不同.,3.对n阶方阵可求它的行列式.记为:,方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零。,9,3.矩阵的应用实例,例1：(通路矩阵),省三个城市,的交通联结情况如图。,每条线上的数字表示联结该两城,市的不同通路总数.由该图提供的通路信息,可用矩阵形,式表示,称之为通路矩阵.,10,例2：(价格矩阵),四种食品(Food)在三家商店(Shop)中,单位,量的售价(以某种货币单位计)可用以下矩阵给出,11,例3：(赢得矩阵),我国古代有“齐王赛马”的事例,说的战国时代,齐王与其大将田忌赛马,双方约定各出上、中、下,3个等级的马各一匹进行比赛,这样共赛马3次,每,次比赛的败者付给胜者一百金.,已知在同一等级马的比赛中，齐王之马可稳操,胜券,但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王中、,下等级的马.,12,齐王的赢得矩阵：,齐王策略,田忌策略,比赛策略:,(上、中、下),(中、上、下),(下、中、上),(上、下、中),(中、下、上),(下、上、中),13,例4：,(系数矩阵),个变量,与,个变量,之间的,关系式,其中,为常数.,14,系数矩阵,15,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.,恒等变换,单位阵,16,二.矩阵的基本运算,1.矩阵相等2.加减法3.数乘矩阵4.矩阵的乘法5.矩阵的转置6.方阵的行列式,1.矩阵相等.,矩阵相等:,例：,同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等,17,2.矩阵的加减法,设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为,加法:,18,注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,例如：,19,减法:,负矩阵：,矩阵加法满足的运算规律:,20,3.数与矩阵相乘,数乘:,注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别.,21,数乘矩阵满足的运算规律：,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,（设为矩阵，为数）,22,定义：,并把此乘积记作,4.矩阵与矩阵相乘,设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中,23,例：,例2：,求AB,24,故,解:,25,注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,例如:,不存在.,26,例3:计算下列矩阵的乘积.,解:,27,=(,）,28,例4：,计算下列矩阵的乘积.,29,30,31,矩阵乘法满足的运算规律：,（其中为数）;,矩阵乘法不满足交换律,例:设,则,注意：,32,但也有例外，比如设,则有,33,矩阵乘法不满足消去律,例如：,有,但是,34,若A是n阶方阵，则为A的次幂，即,方阵的幂：,并且,方阵的多项式：,35,5.矩阵的转置,定义:把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.,例:,转置矩阵满足的运算规律：,36,例5：已知,解法1：,37,解法2：,课堂练习：,38,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.,说明：,例6:,设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵.,对称阵:,39,例8：,注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵,例7：,40,6.方阵的行列式,定义：由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或,运算规律：:,41,定义：,行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵,称为矩阵的伴随矩阵.,42,故,同理可得,性质：,证明：,则,43,三.逆矩阵,逆矩阵的定义、唯一性矩阵可逆的判别定理及求法可逆矩阵的性质,逆矩阵的定义、唯一性,则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.,概念的引入:,其中为的倒数，,（或称的逆）；,那么，对于矩阵，,如果存在一个矩阵,使得,44,定义：,例:设,45,唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.,证明：,46,则,逆矩阵的求法一：待定系数法,例1:设,解：,设是的逆矩阵,47,又因为,所以,48,2.矩阵可逆的判别定理及求法,定理:,证明：,49,奇异矩阵：,非奇异矩阵：,（退化矩阵）,（非退化矩阵）,50,推论：,证明：,注：,51,(1),(2),逆矩阵的求法二：伴随矩阵法,52,3.可逆矩阵的运算性质,证明：,53,证明：,54,证明：,(5)若可逆，则有,55,例2：求方阵的逆矩阵.,解,56,同理可得,故,57,解:,例3：,58,59,60,解：,例4：,61,62,例5：设,解,63,于是,64,65,例6：,66,解：,给方程两端左乘矩阵,67,给方程两端右乘矩阵,得,68,给方程两端左乘矩阵,右乘矩阵,69,得,70,解：,例7：,71,而,所以,原方程两端右乘矩阵,左乘矩阵,则,72,注：,73,例8：,所以可逆，且,证：,所以可逆，,74,练习：,设方阵满足方程,证：,(1),(2),75,例9：,设方阵B为幂等矩阵，,（即，从而对正整数k，）,证明：A是可逆矩阵，且,证明：,76,1.逆矩阵的概念及运算性质.,3.逆矩阵的计算方法：,2.逆矩阵存在,小结：,77,思考题：,答：,78,对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.,四.矩阵的分块.,分块矩阵的定义分块矩阵的运算规则,分块矩阵的定义,79,例：,即,80,即,81,82,2.分块矩阵的运算规则,83,84,例,85,86,87,分块对角矩阵的行列式具有下述性质:,88,89,90,例1：设,解,91,则,92,又,93,于是,94,例2：,95,其中,其中,96,97,98,99