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2.3.2数学归纳法应用举例,例1用数学归纳法证明：,证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；,（2）假设当n=k时，等式成立，即,那么,这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何nN+都成立。,例2证明：平面上n个圆最多把平面分成n2n+2个区域。,证明：（1）一个圆将平面分成2个区域，而当n=1时，n2n+2=2，因此结论当n=1时成立；,（2）假设当n=k时，结论成立，即k个圆最多把平面分成k2k+2个区域。在此基础上，为使区域最多，应使新增加的圆与前k个圆都交于两点，于是新增2k个交点，,这2k个交点将新圆分成2k段弧，这2k段弧将所经过的区域一分为二，因此新增2k个区域，这样k+1个圆最多把平面分成,(k2k+2)+2k=(k+1)2(k+1)+2个区域，,这就是说，当n=k+1时，结论也正确，由（1）和（2）可以断定，结论对任何nN+都正确。,例3求证：当n5时，2nn2，,证明：（1）当n=5时，25=32，52=25，因此2552，即n=5时，结论正确；,（2）假设当n=k(k5)时，这个命题是正确的，那么由2kk2得,这就是说，当n=k+1时，命题也是正确的.,由（1）和（2）可以断定，这个命题对于所有大于或等于5的正整数n都正确。,例4求证：凸n边形的对角线的条数为,证明：（1）当n=4时，四边形的对角线有2条，f(4)=2，所以对于n=2，命题成立.,（2）设凸k边形的对角线的条数为,当n=k+1时，k+1边形比k边形多了一个顶点,该顶点与原k边形中的(k2)个顶点可连成(k2)条对角线，而原来的一条边也变成对角线，故(k+1)边形比k边形增多了(k1)条对角线,所以,即n=k+1时，命题成立。,由（1）、（2）可知，凸n边形的对角线的条数为,例5求证当n为正奇数时7n+1能被8整除.,证明：(1)n=1时，71+1=8能被8整除；,(2)假设n=k(k为正奇数)时7k+1能被8整除(设7k+1=8M，MN)则当n=k+2时，7k+2+1=727k+7272+1=72(7k+1)48=498m
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