中考数学复习圆的计算与证明

圆的计算与证明1如图，已知AB是O的直径，PB切O于点B，过点B作BCPO于点D，交O于点C，连接AC、PC（1）求证：PC是O的切线；（2）若BPC60，PB3，求阴影部分面积2如图，已知AB为O的直径，CD切O于C点，弦CFAB于E点，连结AC（1）求证：ACDACF；（2）当ADCD，BE2cm，CF8cm，求AD的长3如图，O为MBN角平分线上一点，O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作ADBO于点D（1）求证：AB为O的切线；（2）若BC6，tanABC，求AD的长4如图，直线MN交O于A，B两点，AC是O直径，CAM的平分线交O于点D，过点D作DEMN于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE6cm，AE3cm，求O的半径5如图，AB是O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO若DE2，DPA45（1）求O的半径；（2）求图中阴影部分及PBF的面积6如图，AB是O直径，弦CDAB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC（1）求证：ACCG；（2）若CD8，OG10，求O的半径7如图，射线PG平分EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作O，分别与EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，且OAPE（1）求证：APAO；（2）若弦AB24，求OP的长8如图，RtABC中，ACB90，O为ABC角平分线的交点，以OC为半径的O交ABC于D、E、F、G（1）求证：CDEF；（2）若O的半径为4，AE2，求AB的长9如图，在圆O中，弦AB8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作ODAC，OEBC，垂足分别是点D、E（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径10如图，RtOAB中，OAB90，以OA为半径的O交BO于点C，交BO延长线于点D在O上取一点E，且，延长DE与BA交于点F（1）求证：BDF是直角三角形；（2）连接AC，AC2，OC2BC，求AF的长11如图，在等腰ABC中，ABBC，以AB为直径的O，分别与AC和BC相交于点D和E，连接OD（1）求证：ODBC；（2）求证：ADDE12如图，点C在以线段AB为直径的圆上，且，点D在AC上，且DEAB于点E，F是线段BD的中点，连接CE、FE（1）若AD6，BE8，求EF的长；（2）求证：CEEF13如图，O的半径OA弦BC于E，D是O上一点（1）求证：ADCAOB；（2）求AE2，BC6，求OA的长14如图，BD是O的直径弦AC垂直平分OD，垂足为E（1）求DAC的度数；（2）若AC6，求BE的长15如图所示，已知AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E连接AC、OC、BC（1）求证：ACOBCD；（2）若tanACO，CD6，求O的直径16已知如图，O的半径为4，四边形ABCD为O的内接四边形，且C2A（1）求A的度数（2）求BD的长17已知在ABC中，ABBC，以AB为直径的O分别交AC于D，BC于E，连接ED（1）求证：EDDC；（2）若CD6，EC4，求AB的长18如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DHAC于点H（1）求证：BDCD；（2）连结OD若四边形AODE为菱形，BC8，求DH的长19如图，AB是O的直径，CD是O的一条弦，且CDAB于点E （1）求证：BCOD；（2）若CD，AE2，求O的半径20如图，ABC内接于O，BAC60，高AD的延长线交O于点E，BC6，AD5（1）求O的半径；（2）求DE的长21如图，RtABC中，C90，在BC上取一点D使ADBD，连结AD，作ACD的外接圆O，交AB于点E（1）求证：AEBE；（2）若CD3，AB4，求AC的长22如图，ABC内接于O，OEBC于E，延长EO交AB于F，交O于D，A为的中点，连接BD（1）求证：ACB3ABC；（2）若OF5，EO7，求BDF的面积23如图，ABC内接于O，ABC和BAC的平分线交于点E，延长AE分别交BC，O于点F，D，连接BD（1）求证：BDDE（2）若BD6，AD10，求EF的长24如图，ABC内接于O，直径ADBC于点E，连结CO（1）求证：CODCAB；（2）若2，AB3，求图中阴影部分面积25如图，O是ABC的外接圆，AE平分BAC交O于点E，ABC的平分线BF交AD于点F，交BC于点D（1）求证：BEEF；（2）若DE4，DF3，求AF的长26如图，CD是O的直径，弦ABCD，垂足为H，FG是O的切线，FGBD，DF与AB交于点E（1）求证：BEBD；（2）若AB8，DH3，求EH的长27如图，AB是O的直径，C点在O上，AD平分角BAC交O于D，过D作直线AC的垂线，交AC的延长线于E，连接BD，CD（1）求证：BDCD；（2）求证：直线DE是O的切线；（3）若DE，AB4，求AD的长28如图，AB是O的直径，ACAB，E为O上的一点，ACEC，延长CE交AB的延长线于点D（1）求证：CE为O的切线；（2）若OFAE，AE4，OAF30，求图中阴影部分的面积（结果保留）29如图，点D是以AB为直径的O上一点，过点B作O的切线，交AD的延长线于点C，E为BC的中点，连接DE交BA的延长线于点F（1）求证：DE是O的切线；（2）若OAAF，DF4，求阴影部分面积30如图，点O为RtABC斜边AB上的一点，C90，以OA为半径的O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分BAC（1）求证：BC是O的切线；（2）若BAC60，OA2，求阴影部分的面积（结果保留）31如图，正六边形ABCDEF内接于O，BE是O的直径，连接BF，延长BA，过F作FGBA，垂足为G（1）求证：FG是O的切线；（2）已知FG2，求图中阴影部分的面积32如图，正方形ABCD的外接圆为O，点P在劣弧BC上（不与B、C点重合）（1）求BPC的度数；（2）若正方形ABCD的边长为2cm，求O的半径及阴影部分的面积33如图，正方形ABCD的外接圆为O，点P在劣弧上（不与C点重合）（1）求BPC的度数；（2）若O的半径为8，求正方形ABCD的边长34如图，PA，PB分别与O相切于点A，B，AC为弦，BC为O的直径，若P60，PB2cm（1）求证：PAB是等边三角形；（2）求AC的长35如图，AB为O直径，PA、PC分别与O相切于点A、C，PQPA，PQ交OC的延长线于点Q（1）求证：OQPQ；（2）连BC并延长交PQ于点D，PAAB，且CQ6，求BD的长36已知PA、PB分别切O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D（1）若PA6，求PCD的周长（2）若P50求DOC37如图，PA，PB是O的切线，A、B为切点，AC是O的直径，P60（1）求BAC的度数；（2）当OA2时，求AB的长38如图，已知AB为O的直径，PA，PC是O的切线，A，C为切点，BAC30（）求P的大小；（）若AB2，求PA的长（结果保留根号）39如图，在O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，ADB30（1）求AOC的度数；（2）若弦BC8cm，求图中劣弧BC的长40如图，已知AB是O的直径，点C在O上，延长BC至点D，使得DCBC，直线DA与O的另一个交点为E，连结AC，CE（1）求证：CDCE；（2）若AC2，E30，求阴影部分（弓形）面积圆的计算与证明参考答案与试题解析一解答题（共40小题）1如图，已知AB是O的直径，PB切O于点B，过点B作BCPO于点D，交O于点C，连接AC、PC（1）求证：PC是O的切线；（2）若BPC60，PB3，求阴影部分面积【解答】（1）证明：连接OC，如图：OBOC，OBCOCB，AB是O的直径，PB切O于点B，ABPB，PBOOBC+PBC90，BCPO，BDCD，PO是BC的垂直平分线，PBPC，PBCPCB，OCB+PCBOBC+PBC90，即OCPC，PC是O的切线；（2）解：由（1）知，PB、PC为O的切线，PBPC，BPC60，PB3，PBC是等边三角形，BCPB3，PBC60，OBC30，AB是O的直径，ACB90，AOC60，OAOC，AOC是等边三角形，ACOCOBPB，扇形OAC的面积，OAC的面积（）2，阴影部分面积2如图，已知AB为O的直径，CD切O于C点，弦CFAB于E点，连结AC（1）求证：ACDACF；（2）当ADCD，BE2cm，CF8cm，求AD的长【解答】（1）证明：连接OC，CD切O于C点，OCD90，ACD+ACO90，CFAB，AEC90，ACF+CAE90，OAOC，ACOCAE，ACDACF；（2）解：由（1）可知，ACDACF，CFAB，CECF4，设O的半径为r，则OEr2，在RtOEC中，OC2OE2+CE2，即r2（r2）2+42，解得，r5，AEABBE8，ACDACF，ADCD，CFAB，ADAE8（cm）3如图，O为MBN角平分线上一点，O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作ADBO于点D（1）求证：AB为O的切线；（2）若BC6，tanABC，求AD的长【解答】解：（1）过点O作OEAB于点E，O为MBN角平分线上一点，ABDCBD，又BC为O的切线，ACBC，ADBO于点D，D90，BCOD90，BOCAOD，BAD+ABD90，AOD+OAD90，AODBAD，ABDOAD，OBCOADABD，在BOC和BOE中，BOCBOE（AAS），OEOC，OEAB，AB是O的切线；（2）ABC+BAC90，EOA+BAC90，EOAABC，tanABC、BC6，ACBCtanABC8，则AB10，由（1）知BEBC6，AE4，tanEOAtanABC，OE3，OB3，ABDOBC，DACB90，ABDOBC，即，AD24如图，直线MN交O于A，B两点，AC是O直径，CAM的平分线交O于点D，过点D作DEMN于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE6cm，AE3cm，求O的半径【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：OAOD，32，AD平分CAM，21，13，MNOD，DEMN，DEOD，DE是O的切线；（2）解：连接CD，如图所示：AC是O的直径，ADC90，AD3（cm），DEMN，AED90，ADCAED，又21，ADCAED，即，AC15（cm），OAACcm，即O的半径为cm5如图，AB是O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO若DE2，DPA45（1）求O的半径；（2）求图中阴影部分及PBF的面积【解答】解：（1）OCDE，DCECDE2，弦DE垂直平分半径OA，OCOAOE，在RtOCE中，OE2OC，E30，OCCE1，OE2，即O的半径为2；（2）连结OF，BF，BE，作BHDF于H，如图，DPA45，DDC45，EOF2EPF90，PCD为等腰直角三角形，图中阴影部分的面积S扇形EOFSOEF222；BCABAC413，而DC，BD2，BC垂直平分DE，BDBE2，BDDEBE，BED为等边三角形，BED60，BFDBED60，PCD为等腰直角三角形，PCDC，OPPCOC1，PB2（1）3，在RtPBH中，BPHDPC45，BHPHPB，在RtBHF中，HBF30，HFBH，PFPH+HF+，SPBF6如图，AB是O直径，弦CDAB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC（1）求证：ACCG；（2）若CD8，OG10，求O的半径【解答】（1）证明：DFCG，CDAB，DEBBFG90，DBEGBF，DG，AD，AG，ACCG（2）解：设O的半径为r则AGOA+OGr+10，CACG，CDAB，AEEG，ECED4，OEAEOA，在RtOEC中，OC2OE2+EC2，r2（）2+42，解得r或（舍弃），O的半径为7如图，射线PG平分EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作O，分别与EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，且OAPE（1）求证：APAO；（2）若弦AB24，求OP的长【解答】（1）证明：如图，PG平分EPF，CPOAPOAOPE，CPOAOP，APOAOP，APAO（2）解：过点O作OHAB于H，如图根据垂径定理可得AHBHAB12，PHPA+AHAO+AH13+1225在RtAHO中，OH5，由勾股定理得：OP5则OP的长为58如图，RtABC中，ACB90，O为ABC角平分线的交点，以OC为半径的O交ABC于D、E、F、G（1）求证：CDEF；（2）若O的半径为4，AE2，求AB的长【解答】（1）证明：作OMAB于M，ONAC于N，OHCG于G，连接OE、OD，点O为ABC的角平分线交点，OMON，OEODOC，RTOMERTOND（HL），MEND，EF2ME，CD2ND，CDEF；（2）解：由（1）可知CDEFCG，点O为ABC的角平分线交点，OMONOH，ACB90，四边形ONCH是正方形，OMONOHCDEFCG，OC4，OHOC4，EFCDCG8，易证得AMAN6，BMBH，AC10，设BMBHx，则BCx+4，ABx+6，ACB90，AB2AC2+BC2，即（6+x）2102+（4+x）2，解得x20，BM20，ABAM+BM20+6269如图，在圆O中，弦AB8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作ODAC，OEBC，垂足分别是点D、E（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径【解答】解：（1）OD经过圆心O，ODAC，ADDC，同理：CEEB，DE是ABC的中位线，DEAB，AB8，DE4（2）过点O作OHAB，垂足为点H，OH3，连接OA，OH经过圆心O，AHBHAB，AB8，AH4，在RtAHO中，AH2+OH2AO2，AO5，即圆O的半径为510如图，RtOAB中，OAB90，以OA为半径的O交BO于点C，交BO延长线于点D在O上取一点E，且，延长DE与BA交于点F（1）求证：BDF是直角三角形；（2）连接AC，AC2，OC2BC，求AF的长【解答】（1）证明：如图连接EC交OA于H，OAEC，CD是O的直径，DEC90，DFEC，OADF，BF是O的切线，OABF，DFBF，F90，DFB是直角三角形（2）解：DECF90，ECFB，2，OH2AH，设AHm，则OH2m，OC3m，CH2OC2OH2AC2AH2，9m24m240m2，m（负根已经舍弃），CH，OAEC，EHHC，FFAHAHE90，四边形AFEH是矩形，AFEH11如图，在等腰ABC中，ABBC，以AB为直径的O，分别与AC和BC相交于点D和E，连接OD（1）求证：ODBC；（2）求证：ADDE【解答】证明：（1）OAOD，OADODA，ABBC，BACOADC，ODAC，ODBC；（2）连接半径OE，如图，OBOE，BOEB，由（1）知ODBC，AODB，OEBEOD，EODB，AODEOD，ADDE12如图，点C在以线段AB为直径的圆上，且，点D在AC上，且DEAB于点E，F是线段BD的中点，连接CE、FE（1）若AD6，BE8，求EF的长；（2）求证：CEEF【解答】解：（1）点C在以线段AB为直径的圆上，且ACB90，且ACBC，ABC为等腰直角三角形，AABC45，DEAB，AEDEAD66，在RtBDE中，DE6，BE8，BD10，又F是线段BD的中点，EFBC5；（2）如图，连接CF，BEDAEDACB90，点F是BD的中点，CFEFFBFD，B、C、D、E在以BD为直径的圆上，EFC2EBC24590，EFC为等腰直角三角形，CEEF13如图，O的半径OA弦BC于E，D是O上一点（1）求证：ADCAOB；（2）求AE2，BC6，求OA的长【解答】（1）证明：OABC，ADCAOB；（2）解：OABC，BECEBC63，设O的半径为r，则OAOBr，OEr2，在RtOBE中，32+（r2）2r2，解得r，即OA的长为14如图，BD是O的直径弦AC垂直平分OD，垂足为E（1）求DAC的度数；（2）若AC6，求BE的长【解答】解：（1）连接OAAC垂直平分OD，AOAD，又 OAOD，OAD是等边三角形，DAO60ACOD，AOAD，DACOAC6030，（2）ODAC，AC6，AEAC3，AC垂直平分OD，垂足为E，AEO90，OEOD，OEOA，设OEx，则OAOB2x，在RtAEO中，AE2+EO2AO2，即：32+x2（2x）2，解得，xBEOE+OBx+2x3x315如图所示，已知AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E连接AC、OC、BC（1）求证：ACOBCD；（2）若tanACO，CD6，求O的直径【解答】（1）证明：ABCD，ABCD，OAOC，ACOA，ACOBCD；（2）解：ABCD，CEDECD3，在RtBCE中，tanBCDtanACO，BE1，设O的半径为r，则OCr，OEr1，在RtOCE中，32+（r1）2r2，解得r5，O的直径为1016已知如图，O的半径为4，四边形ABCD为O的内接四边形，且C2A（1）求A的度数（2）求BD的长【解答】解：（1）四边形ABCD为O的内接四边形，C+A180，C2A，A60；（2）连接OB，OD，作OHBD于HA60，BOD2A，BOD120；又OBOD，OBDODB30，OHBD于H，在RtDCP中，OHBD于H，17已知在ABC中，ABBC，以AB为直径的O分别交AC于D，BC于E，连接ED（1）求证：EDDC；（2）若CD6，EC4，求AB的长【解答】（1）证明：A、B、E、D四点共圆，DECA，ABBC，AC，DECC，EDDC；（2）解：连接BD，AB为O的直径，ADB90，即BDAC，ABBC，CD6，ADDC6，AC12，ADEC，CC，DECBAC，解得：BC6，ABBC，AB618如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DHAC于点H（1）求证：BDCD；（2）连结OD若四边形AODE为菱形，BC8，求DH的长【解答】（1）证明：如图，连接ADAB是直径，ADB90，ADBC，ABAC，BDCD（2）解：如图，连接OE四边形AODE是菱形，OAOEAE，AOE是等边三角形，A60，ABAC，ABC是等边三角形，OAOBBDCDAEEC，CDCE，C60，EDC是等边三角形，DHEC，CD4，DHCDsin60219如图，AB是O的直径，CD是O的一条弦，且CDAB于点E （1）求证：BCOD；（2）若CD，AE2，求O的半径【解答】（1）证明：如图OCOB，BCOBBD，BCOD；（2）解：AB是O的直径，且CDAB于点E，CECD42，在RtOCE中，OC2CE2+OE2，设O的半径为r，则OCr，OEOAAEr2，r2（2）2+（r2）2，解得：r3，O的半径为320如图，ABC内接于O，BAC60，高AD的延长线交O于点E，BC6，AD5（1）求O的半径；（2）求DE的长【解答】解：（1）如图，作直径BF，连接CF，BCF90，FBAC60，BF4，O的半径为；（2）如图，过O作OGAD于G，OHBC于H，GEGA，四边形OHDG是矩形，OHDG，OB，FBC30，OH，DG，AGADGD5，EG5，DEEGGD21如图，RtABC中，C90，在BC上取一点D使ADBD，连结AD，作ACD的外接圆O，交AB于点E（1）求证：AEBE；（2）若CD3，AB4，求AC的长【解答】解：（1）证明：连结DE，C90，AD为直径，DEAB，ADBD，AEBE；（2）设BDx，BB，CDEB90ABCDBE，x5ADBD5，AC422如图，ABC内接于O，OEBC于E，延长EO交AB于F，交O于D，A为的中点，连接BD（1）求证：ACB3ABC；（2）若OF5，EO7，求BDF的面积【解答】（1）证明：OEBC，A为的中点，ACB3ABC；（2）连接OB，设OBODr，OEBC，OF5，EO7，DFr5，BE，过F作FHBD于H，FHFE12，DHFDEB90，DH，FDHBDE，DHFDEB，r25，DE32，BE24，BD40，BDF的面积24023如图，ABC内接于O，ABC和BAC的平分线交于点E，延长AE分别交BC，O于点F，D，连接BD（1）求证：BDDE（2）若BD6，AD10，求EF的长【解答】（1）证明：AD 平分BAC，BADCADDBCCAD，BE 平分ABC，ABECBE，由BEDBAD+ABE，DBEDBC+CBE，BEDDBE，DBDE；（2）解：由（1）得DBCCAD，DD，DBFDAB，BD6，AD10，DF3.6，且由（1）得：DEBD6，EFDEDF63.62.424如图，ABC内接于O，直径ADBC于点E，连结CO（1）求证：CODCAB；（2）若2，AB3，求图中阴影部分面积【解答】（1）证明：AD是O的直径，ADBC，CAB的度数的度数，COD的度数的度数，CODCAB；（2）解：2，AOCCOD，直径ADBC于点E，ACAB3，OC2，S阴影2（32）25如图，O是ABC的外接圆，AE平分BAC交O于点E，ABC的平分线BF交AD于点F，交BC于点D（1）求证：BEEF；（2）若DE4，DF3，求AF的长【解答】（1）证明：AE平分BAC，14，15，45，BF平分ABC，23，63+42+5，即6EBF，EBEF；（2）解：DE4，DF3，BEEFDE+DF7，54，BEDAEB，EBDEAB，即，EA，AFAEEF726如图，CD是O的直径，弦ABCD，垂足为H，FG是O的切线，FGBD，DF与AB交于点E（1）求证：BEBD；（2）若AB8，DH3，求EH的长【解答】解：（1）如图，连接OF，FG是O的切线，GFD+OFD90，ABCD，DEH+ODE90，OFOD，OFDODFDEHGFD，FGBD，GFDBDF，DEHBDF，BEBD；（2）CD是O的直径，弦ABCD，垂足为H，DH3，BD5，BEBD，BE5，EHBEBH1，答：EH的长为127如图，AB是O的直径，C点在O上，AD平分角BAC交O于D，过D作直线AC的垂线，交AC的延长线于E，连接BD，CD（1）求证：BDCD；（2）求证：直线DE是O的切线；（3）若DE，AB4，求AD的长【解答】（1）证明：在O中，AD平分角BAC，CADBAD，BDCD；（2）证明：连接半径OD，如图1所示：则ODOA，OADODA，DEAC于E，在RtADE中，EAD+ADE90，由（1）知EADBAD，BAD+ADE90，即ODA+ADE90，ODDE，DE是O的切线；（3）解：过点D作DFAB于F，如图2所示：则DFDE，AB4，半径OD2，在RtODF中，OF1，ODF30，DOB60，ODOB，OBD是等边三角形，OFFB1，AFABFB413，在RtADF中，AD228如图，AB是O的直径，ACAB，E为O上的一点，ACEC，延长CE交AB的延长线于点D（1）求证：CE为O的切线；（2）若OFAE，AE4，OAF30，求图中阴影部分的面积（结果保留）【解答】（1）证明：连接OE，ACEC，OAOE，CAECEA，FAOFEO，ACAB，CAD90，CAE+EAO90，CEA+AEO90，即CEO90，OECD，CE为O的切线；（2）解：设OFx，OAF30，OFAF，OA2OF2x，在RtOEF中，由勾股定理得：，解得x2，OA4，AOE120，AO4；，29如图，点D是以AB为直径的O上一点，过点B作O的切线，交AD的延长线于点C，E为BC的中点，连接DE交BA的延长线于点F（1）求证：DE是O的切线；（2）若OAAF，DF4，求阴影部分面积【解答】解：（1）连接OD，OE，E为BC的中点，BECE，AOOB，OEAC，OADBOE，ADODOE，ODOA，OADADO，DOEBOE，ODOB，DOEBOE（SAS），ODEOBE，BC是O的切线，OBE90，ODE90，DE是O的切线；（2）解：OAAF，ODOF，ODF90，ADOA，ADO是等边三角形，DOF60，DF4，ODDF，阴影部分面积SODFS扇形AOD30如图，点O为RtABC斜边AB上的一点，C90，以OA为半径的O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分BAC（1）求证：BC是O的切线；（2）若BAC60，OA2，求阴影部分的面积（结果保留）【解答】（1）证明：连接OD，AD平分BAC，BADDAC，AODO，BADADO，CADADO，ACOD，ACD90，ODBC，BC与O相切；（2）解：连接OE，ED，OE与AD交于点MBAC60，OEOA，OAE为等边三角形，AOE60，ADE30，又OADBAC30，ADEOAD，EDAO，四边形OAED是菱形，OEAD，且AMDM，EMOM，SAEDSAOD，阴影部分的面积S扇形ODE31如图，正六边形ABCDEF内接于O，BE是O的直径，连接BF，延长BA，过F作FGBA，垂足为G（1）求证：FG是O的切线；（2）已知FG2，求图中阴影部分的面积【解答】（1）证明：连接OF，AO，ABAFEF，ABFAFBEBF30，OBOF，OBFBFO30，ABFOFB，ABOF，FGBA，OFFG，FG是O的切线；（2）解：，AOF60，OAOF，AOF是等边三角形，AFO60，AFG30，FG2，AF4，AO4，AFBE，SABFSAOF，图中阴影部分的面积32如图，正方形ABCD的外接圆为O，点P在劣弧BC上（不与B、C点重合）（1）求BPC的度数；（2）若正方形ABCD的边长为2cm，求O的半径及阴影部分的面积【解答】解：（1）连结AC，四边形ABCD为正方形，BAC45，四边形ABPC是圆内接四边形，BPC+BAC180，BPC18045135；（2）连结OC、OD，则OCOD，正方形ABCD为O的内接四边形，COD90，在RtCOD中，OCCD，阴影部分的面积133如图，正方形ABCD的外接圆为O，点P在劣弧上（不与C点重合）（1）求BPC的度数；（2）若O的半径为8，求正方形ABCD的边长【解答】解：（1）连接OB，OC，四边形ABCD为正方形，BOC90，PBOC45；（2）过点O作OEBC于点E，OBOC，BOC90，OBE45，OEBE，OE2+BE2OB2，BE4BC2BE24834如图，PA，PB分别与O相切于点A，B，AC为弦，BC为O的直径，若P60，PB2cm（1）求证：PAB是等边三角形；（2）求AC的长【解答】解：（1）PA，PB分别与O相切于点A，B，PAPB，且P60，PAB是等边三角形；（2）PAB是等边三角形；PBAB2cm，PBA60，BC是直径，PB是O切线，CAB90，PBC90，ABC30，tanABC，AC2cm35如图，AB为O直径，PA、PC分别与O相切于点A、C，PQPA，PQ交OC的延长线于点Q（1）求证：OQPQ；（2）连BC并延长交PQ于点D，PAAB，且CQ6，求BD的长【解答】（1）证明：连接OPPA、PC分别与O相切于点A，C，PAPC，OAPA，OAOC，OPOP，OPAOPC（SSS），AOPPOC，QPPA，QPBA，QPOAOP，QOPQPO，OQPQ（2）设OArOBOC，OBCOCB，OBQ