第二章 质点与刚体的运动

第二章质点与刚体的运动,2.1质点和刚体,1.物理模型,对真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题的基本要求对其进行理想化的简化，抽象为可以用数学方法描述的理想模型。,*关于物理模型的提出,（）明确所提问题；,（）突出主要因素，提出理想模型；,“理想模型”是对所考察的问题来说的，不具有绝对意义。,（）分析各种因素在所提问题中的主次；,（）实验验证。,2、理想质点模型,两个条件中，具一即可。,质点：把所研究的物体视为无形状大小但有一定质量的点。,下列两种情况运动物体可视为质点：1）物体作平动。2）物体的形状和线度（如长度、宽度、直径等）对所研究问题的性质影响很小，可视为质点。,能否看成质点依研究问题而定。,复杂物体可看成质点的组合。,2、理想刚体模型,刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。,当物体自身线度l与所研究的物体运动的空间范围r比不可以忽略；物体又不作平动时，即必须考虑物体的空间方位，我们可以引入刚体模型。,刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布的质点系。,2.2空间和时间,1、经典时空观：时间是连续、均匀、独立、单方向流逝的东西空间是连续、均匀、各向同性、独立存在着的东西物质、空间、时间彼此独立无关2、时空度量：时间和长度标准单位的规定一切周期运动都可用来量度时间。刻漏（北宋沈括）摆钟（伽利略、惠更斯）石英晶体的压电效应铯原子钟目前国际通用的时间单位是秒（s）.为提高精度，1967年国际计量大会决定采用原子的跃迁辐射作为计时标准,并规定铯-133原子基态的两个超精细能级间跃迁相对应的辐射的9192631770个周期的持续时间作为1s.这样的原子标准称为原子时.,一、空间和时间的量度,时间和空间的测量与物体的存在和运动没有任何关系,长度的计量可用物体来计量长度.如古代测量长度常以人体的某部分作为单位和标准.近代的测量长度单位是在法国的米制单位发展起来的（规定为通过巴黎的自北极至赤到的子午线的千万分之一为米）,目前在国际单位制中长度的单位是米（m）.在1983年国际计量大会商定以:“1m为光在真空中(1/29792458)s时间间隔内所经路径的长度”,(巴黎子午线米原器原子辐射波长光速),3、时间坐标轴,所谓考察物体的运动,也就是考察物体的位置变动与时间的关系.因而考察物体的运动还必须有时间的坐标轴,坐标原点即计时起点,计时起点不一定就是物体开始运动的时刻.“时刻”对应于时间轴上一点,时刻为正或负表明在计时起点以后或以前.质点在某一位置必与一定时刻相对应.时间间隔指自某一初始时刻至终止时刻所经历的时间,它对应于时间轴上一区间.质点位置变动总在一定时间间隔内发生。“时间”一词有时指时间间隔,有时指时间变量.,时间：指一段时间间隔（或两个时刻之差）。t=t2-t1特征：具有连续性、单向性。时刻：（具有瞬时的概念）指时间流逝过程中的某一点“t”时间的几何表示：,二、参考系和坐标系,1、运动的绝对性和相对性,2、参考系：为描述物体运动而被选作标准的另外的一个不变形的或几个无相对运动的物体。（在描述物体运动时,被选作参考的其他物体,叫做参考系）,（1）物体的运动性质与参考系有关（2）参考系应是客观存在的不变形的物体（3）参考系的选择原则：视研究问题方便而定,3、坐标系：用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统,坐标系是固定在参考系上的，因此常用坐标系代替参考系物体的运动性质与坐标系的选择无关选坐标系可把矢量运算转化为标量运算坐标系类型较多，根据研究需要选取,常用坐标系:直角坐标系,自然坐标系（弧坐标）,极坐标系,直角坐标：P（x,y,z）,自然坐标：P（s）,用矢量法描述物体的空间位置,位置矢量（或位矢、径矢）,定义：从坐标原点o出发，指向质点所在位置P的一有向线段。,位置矢量的直角坐标分量：,特点：矢量性、瞬时性、相对性,2.3质点的直线运动,一、直线运动学方程位移,以质点运动直线为坐标轴，则质点运动学方程为,x=x(t),例如:,1、直线运动学方程,2、位移：描述质点位置的变动是矢量，具有大小和方向。表示质点在某一段时间间隔内始末位置的变化。,3、路程：质点经过的实际路径的总长度.是标量,4、位移与路程,二、平均速度瞬时速度,1、平均速度,2、瞬时速度（速度）,注、（1）vx的大小表示质点在瞬时t运动的快慢（2）其正负分别对应于质点沿ox轴正向和负向运动（3）是矢量,瞬时速率（速率）：是标量,三、平均加速度瞬时加速度,（描述质点速度变化快慢程度的物理量）,1、平均加速度：,x-t曲线某点切线的斜率等于相应时刻的速度.,2、瞬时加速度,ax0，则a的方向与x轴的正方向相同ax0，则a的方向与x轴的正方向相反,加速度具有的三性：矢量性、瞬时性、相对性注：（1）加速度的方向是质点速度增量的极限方向（2）ax的正负不能说明质点作加速还是减速运动；若ax与v同号，则质点作加速运动，若ax与v异号，则质点作减速运动。,四、两种特殊的直线运动,匀速直线运动-速度保持不变的直线运动,v-t曲线某点切线的斜率等于相应时刻的加速度.,特点：a=0v=恒量,运动方程：方法一积分法,方法二：用速度平均定义求,图示法：位移时间图；速度时间图,匀变速直线运动-在任意相等的时间内，质点的速度增量相等,特点：a=恒量,运动方程：方法一积分法,方法二：用加速度平均定义求,图示法：位移时间图；速度时间图；加速度时间图,只在重力作用下的直线运动,自由落体运动：,竖直上抛运动：,注意：无论是上升过程，还是下降过程，这些公式都适用。,自由落体,竖直上抛,竖直下抛都是加速度大小a=g，方向竖直向下的匀变速直线运动,可直接应用匀变速直线运动的公式，但要注意初始条件。,运动学的两类问题,1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度,2、已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程,例1：一质点沿轴运动，已知，初始条件：时，求运动方程,解：,又：,例题2一质点沿x轴作直线运动，其位置与时间的关系为x=10+8t4t2(单位m,s),求：（1）质点在第一秒第二秒内的平均速度.（2）质点在t=0、1、2s时的速度.,解,方向与x轴正向相同,例题3将真空长直管沿竖直方向放置.自其中O点向上抛小球又落至原处所用的时间为t2.在小球运动过程中经过比O点高h处,小球离开h处至又回到h处所用时间为t1.现测得t1、t2和h，试决定重力加速度g.,解,建坐标系如图,测t2时，y0=0，v0y=v2，y=0，有,又,以上三式联立得,测t1时小球经h向上的速度为v0y=v1，有,例题4一质点沿x轴作直线运动，其v-t曲线如图所示，如t=0时，质点位于坐标原点，求：t=4s时，质点在x轴上的位置。,实际上可以用求面积的方法.,解,v/(ms-1),t/s,-1,2,1,2,3,4,1,0,例题5一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过时间后增加a0，求经过时间ts后质点的速度和运动的距离.,解据题意知，加速度和时间的关系为,例题6跳水运动员沿铅直方向入水，接触水面时的速率为v0，入水后地球对他的吸引和水的浮力作用相抵消，仅受水的阻碍而减速，自水面向下取Oy轴，其加速度为，vy为速度，k为常量.求入水后运动员速度随时间的变化.,解,设运动员为质点，根据已知条件有,得,可见运动员速度随时间减小且当t时，速度变为零。,1、已知质点的运动方程为：试说明质点的运动情况。2、离地面15m高处，以v0=10m/s上抛一物体，试求它落地的时间。（g=10m/s）3、甲、乙两物体，从同一地点同时向同方向运动。甲作匀速直线运动，速度为v=10m/s；乙作初速为零的匀加速直线运动，其加速度为a=1m/s2。求（1）出发后多长时间，两物体相遇？（2）相遇时距出发点多远？（3）在相遇前，经过多长时间相遇最远？,建立直角坐标系Oxyz，令原点与参考点重合，则：,x,y,z是质点的位置坐标.,位置矢量的大小为：,1.位置矢量由原点(参考点)引向质点位置的有向线段.,如图：,2.4平面曲线运动,一、质点的位置矢量与运动方程,位矢方向:,2.运动方程,建直角坐标系Oxyz,令原点与参考点重合，则：,运动方程质点的位置随时间变化的函数方程,标量式x=x(t)y=y(t)z=z(t),轨迹方程质点在运动过程中描出的曲线方程.,在运动方程中消去t就是轨迹方程，,y=y(x),3.轨迹方程,如,二、曲线运动中的位移、速度和加速度矢量,1.位移,位移是由初位置引向末位置的矢量.,在直角坐标系中坐标分解式：,路程质点经过的路径的总长度.,如图：,2.路程,位移与路程不同，前者是矢量，后者是标量.,问题二者何时相同？,Q,几点注意:只有当t0时，或在单方向直线运动中，位移大小才等于路程,3、速度,平均速度,平均速率,定义,大小为,速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量,是正的标量,瞬时速度(简称速度),方向：质点运动路径的切向.,瞬时速度反映质点在某时或某位置的运动状态.,定义,大小：,方向：指向前进一侧的轨迹切线方向,瞬时速率(简称速率),速度在直角坐标系中的分解式,例题1某质点的运动学方程为,求:（1）t=0,1s时质点的速度矢量;（2）t=0到t=1s质点的平均速度;（3）t=0,t=1s时的瞬时速率.,大小,解,(单位m,s),(单位m/s,s),方向,t=0时,t=1s时,t=0时,v=0,t=1s时,（1）.平均加速度,注意:,说到平均加速度，一定要明确是哪一段时间或哪一段位移中的平均加速度.,一般,4、加速度,定义,（2）.瞬时加速度（简称加速度）,定义,直角坐标中,注意：一般速度与加速度的方向并不在一条直线上。对曲线运动，加速度的方向指向曲线的凹侧即使速度的大小不变，也可以产生加速度,例题2某质点的运动学方程为,求质点的加速度矢量.,(单位m,s),解,a=30m/s2,方向沿y轴.,三、圆周运动-质点沿固定轨道的运动,例如绕固定轴转动的齿轮上各点（除轴上各点外）均在作半径不尽相同的圆周运动,1、匀速圆周运动,匀速圆周运动：质点沿圆轨道运动时，若在任意相等的时间内沿着圆弧所走过的弧长都相等，这种运动叫做匀速圆周运动。,匀速圆周运动速率总是相等的，运动方向时刻在变化着。,例题3汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹车开始阶段的运动学方程为(单位：m，s).,解加速度,求汽车在t=1s时的加速度.,将R=200m及t1s代入上列各式，得,为加速度与切向的夹角.,例4一质点沿半径为R的圆周运动，其路程s随时间t的变化规律为，式中b，c为大于零的常数，且。求（1）质点的切向加速度和法向加速度。（2）经过多长时间，切向加速度等于法向加速度。,解：,（1）,（2）,例题4质点M在水平面内运动轨迹如图，t=0时M在O点，质点运动规律s=30t+5t2(m)，求t=2s时，质点M的法向和切向加速度.,解,t=2s=80mv=50m/s,四、抛体运动（平面曲线运动）,1、运动的叠加原理：一个运动可以看成几个各自独立进行的运动的叠加。,即对抛体运动，往往可看成两个互相垂直的直线运动的合成。,例：,平抛：水平：匀速直线运动竖直；自由落体运动,斜上抛：水平：匀速直线运动竖直：竖直上抛运动,斜下抛：水平：匀速直线运动竖直：竖直下抛运动,从地面上某点以一定初速向空中抛出一物体（质点），它在空中的运动称为抛体运动。物体被抛出后，忽略风的作用，它的运动是二维的。在恒定的重力作用下（忽略空气阻力），它将沿一抛物线轨迹运动。,1）、运动方程和运动轨迹抛体运动是一种平面曲线运动，通常把抛体运动看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速直线运动的合成。研究抛体运动时，原则上可任意设置坐标系，通常取抛射点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直向上为y轴，抛出时刻为计时起点。设一物体以初速v0向上斜抛，与水平方向（x轴）的夹角称为抛射角，用表示。则v0沿x轴和y轴上分量分别是：,2、抛体运动,v0 x=v0cosv0y=v0sih,运动方程为：,消t的轨道方程：,这是一条抛物线方程。以上关于抛体运动的公式，都是在忽略空气阻力的理想情况下得到的。只有在初速比较小的情况下，它们才比较符合实际,设抛体从地面向上斜抛，最终落回地面，则抛体能达到的最高高度，也是竖直运动的最高高度，称为射高，以H表示,2）、飞行时间、射高和射程,飞行总时间,抛体自地面抛出到落回地面所用的时间叫做它的飞行时间,通过理想情况得出抛物线，以此为基准，进一步研究各种不同阻力对运动的影响.,水平方向上运动的最远距离称为射程，用R表示,例题5如图所示，大炮向小山上的目标开火，此山的山坡与地平线的夹角为，试求发射角为多大时炮弹沿山坡射得最远？,解建立坐标系如图所示.,由运动叠加原理得炮弹的运动方程为,设炮弹落于坡上距O为s位置处，则：,联立以上四个方程可得炮弹的飞行时间,例题6低速迫击炮弹以发射角45度发射,其初速率v0=90m/s.在与发射点同一水平面上落地.不计空气阻力,求炮弹在最高点和落地点其运动轨迹的曲率.,解将炮弹视为质点,不计空气阻力.在直交坐标系O-xy中,炮弹运动的速度与加速度为,(1)在最高点,(2)在落地点,例题7由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时t=0.试求：(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程；(2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度.,(2),解,(1),作业：1、一质点的运动方程为求（1）质点的速度；（2）速率；（3）加速度。2、一质点的运动方程为试求（1）t=0时，质点的位置和初速度；（2）质点的加速度；（3）何时质点的速度为零？（4）讨论质点的运动情形。3、在20m高的塔顶以6m/s的速度向上抛一石子，求2s时石子离地面的高度。4、在高100m的平台边缘上垂直向上发射一子弹，子弹的初速度为98m/s。试求：（1）子弹离地的最大高度；（2）子弹落地前所经历的时间；（3）子弹落地时的速度。,5、汽车启动后匀加速前进，在第9s这一秒内走过了8.5m。求第9s初及第9s末的速度。,6、如图，在小山峰p处放置一个靶子，由炮位所在处看靶的仰角为，炮与靶的水平距离为L，若射击时炮身的仰角为，设不计空气阻力，问炮弹出膛的速率v0应为多大时才能击中靶子。,2.5相对运动,引出：运动是绝对的，运动的描述具有相对性。,以车站为参照系,以汽车为参照系,车站,车站,一、两个参照系,、“静止参照系”、“运动参照系”都是相对的。,（1），静止参照系（基本参照系）S：相对地面静止的参照系，在其上建立坐标系oxy（2），运动参照系s/：相对静止参照系运动的参照系，在其上建立坐标系oxy，坐标系oxy与坐标系oxy在同一平面内，且坐标轴保持平行。,对于一个处于运动参照系中的物体，相对于静止参照系的运动称为绝对运动;,运动参照系相对于静止参照系的运动称为牵连运动;,物体相对于运动参照系的运动称为相对运动。,二、参照系彼此之间有相对运动（非相对论效应）,设系相对系以速度v运动，P为S/系中的一个质点，,P对于O点的位矢为绝对位矢r,O/对于O点的位矢为牵连位矢r0,P对于O/点的位矢为相对位矢r,在牛顿的时、空观中,即绝对位矢=牵连位矢+相对位矢,绝对速度v绝，牵连速度v牵，相对速度v相，且有,将两边对t求导，即得,两点说明：,上述各式均只在vc时成立；,上述结论只适用于两参考系间不存在转动的情况。,例：无风时雨滴从空中竖直落下，这是以地面为静止参照系观察的结果，在前进的车子中看到的雨滴却是向车后倾斜落下，以雨滴为研究对象，选两种参照系（地面、车子），有三种运动速度（雨滴相对地面的速度为绝对速度，雨滴相对车子的速度为相对速度，车相对地面的速度为牵连速度）。,1、江水由西向东，水对岸的流速v1=3m/s，江宽b=2.4103m，要使汽艇在t=10min内，由南向北横渡过江，问应使艇在什么方向航行？艇对水的航速v2=？,2、从地面上观察在匀速直线行驶的车厢内自由落体的运动。,2.6刚体的运动,刚体：在任何情况下形状、大小都不发生变化的力学研究对象。,质元：把刚体分成的许多可以看成质点的微小部分。即是一特殊质点组,一、刚体的平动（最简单）,1.定义：在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行,这种运动叫