四点形四线形

完全四点形与完全四线形的调和性,一、调和性,定理11完全四点形的一对对边被过此二边交点的对边三点形的两边调和分离。,定理11完全四线形的一对对顶被在此二对顶连线上的对顶三线形的二顶点调和分离。,如图，经过三个对边点X,Y,Z各有一个调和直线组，比如X,如图，在三条对顶线x,y,z上各有一个调和点组，比如x,此二定理说明：上述两图中各有三个调和元素组,证明定理11,只证,以直线AB截此四直线，得,现在证明(AB,PZ)=1。为此再以直线CD截此四直线，得,以点Y分别与上述等式两边的四点相连，得,也就是,注意到A,B,P,Z四点互异，必有(AB,PZ)=1。证毕。,完全四点形与完全四线形的调和性,推论7在完全四点形的对边三点形的每条边上，有一个调和点组，其中一对为对边点，另一对为该边与第三组对边的交点。,推论7通过完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一个调和直线组，其中一对为对顶线，另一对为该顶点与第三对对顶的连线。,比如经过顶点T，有,此二推论说明：上述两图中又各有三个调和元素组,比如在边t上，有,完全四点形与完全四线形的调和性,推论8在完全四点形的每条边上有一个调和点组，其中一对为顶点，另一对中一个为对边点，一个为该边与对边三点形的边的交点。,推论8通过完全四线形的每个顶点有一个调和直线组，其中一对为边，另一对中，一条为对顶线，一条为该顶点与对顶三线形顶点的连线。,比如经过顶点ab，有,此二推论说明：上述两图中又各有六个调和元素组,比如在边AB上，有,完全四点形与完全四线形的调和性,二、应用,1、第四调和元素的作图,例1已知直线l上相异三点P1,P2,P3，求作第四调和点P4。,解.作法：(1).在l外任取一点A，连AP1,AP2。,(2).过P3作异于l的直线分别交AP1,AP2于B,D。,(3).连P1D,P2B交于C。,(4).连AC交l于P4为所求。,证明:略。,完全四点形与完全四线形的调和性,例.由Desargues定理证明，对于直线l上给定的相异三点P1,P2,P3，第四调和共轭点P4惟一存在。,完全四点形与完全四线形的调和性,证明.设P4,P4是两个第四调和点，作两个四线形如图，下面证明这两个第四调和点重合。考虑三点形ACD和ACD，只需证明对应边的交点P1,P2,ACAC共线，为此只需证明对应顶点的连线AA,CC,DD共点。因为三点形ABD和ABD的对应边的交点共线，所以对应顶点的连线AA,BB,DD共点。同理，BB,CC,DD也共点，所以AA,CC,DD共点。,定义4在实射影平面上，相异的共线四点P1,P2,P3,P4称为依此次序构成调和点组，如果存在一个完全四点形，以P1,P2为一对对边点，而P3,P4分别在第三双对边之一上。,定义4在实射影平面上，相异的共点四直线p1,p2,p3,p4称为依此次序构成调和直线组，如果存在一个完全四线形，以p1,p2为一对对顶线，而p3,p4分别通过第三双对顶之一。,调和元素组的定义,完全四点形与完全四线形的调和性,例2证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分上下底。,2、几何证明题,证明如图，ABCD为梯形，AD/BC,E,F分别为两腰和对角线的交点。EF交AD,BC于P,Q。只要证明P,Q分别是AD,BC的中点。,考察完全四点形EAFD。设ADBC=G，由推论7有(BC,QG)=1，再据推论3，Q为BC的中点。,据推论8，(AD,PG)=1，所以P为AD的中点。,完全四点形与完全四线形的调和性,例3设A,B,C为完全四线形的三个共线的顶点，点偶A,B与M,C调和共轭。求证：通过A,B的对顶线的交点一定在M与C的对顶的连线上。,证明如图，设C的对顶为D，通过A,B的对顶线的交点为P，本题就是要证明点P在MD上。设DP交AB于M，下面证明MM。,由假设据推论7有，P(AB,MC)=1。,由题设