函数连续-函数可微-函数可导-偏导数存在-偏导数连续之间的关系_第1页
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文档简介

1、可导 即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处存在导数y=f(x),则称y在x=x0处可导。 如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。函数可导定义：（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 f(x0+a)-f(x0)/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。（2）若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m)均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。连续函数可导条件：函数在该点的左右偏导数都存在且相等。 即就是一个函数在某一点求极限，如果极限存在，则为可导，若所得导数等于函数在该点的函数值，则函数为连续可导函数，否则为不连续可导函数2、连续 函数连续必须同时满足三个条件：函数在x0处有定义；x-x0极限limf(x)存在；x-x0时limf(x)=f(x0) 定理有：函数可导必然连续；不连续必然不可导。3、可微 定义：设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量x与函数相应的改变量y有关系y=Ax+(x)其中A与x无关，则称函数f(x)在点x可微，并称Ax为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=Ax当x= x0时，则记作dyx=x0.可微条件： 必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。 充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。4、可积函数定义如果f(x)在a,b上的定积分存在，我们就说f(x)在a,b上可积。即f(x)是a,b上的可积函数。函数可积的充分条件定理1设f(x)在区间a,b上连续，则f(x)在a,b上可积。定理2设f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在a,b上可积。定理3设f(x)在区间a,b上单调有界,则f(x)在a,b上可积。可积的必要条件：被积函数在闭区间上有界。总结：对于一元函数：函数连续 不一定 可导 例如y=|x|可导 一定 连续 即连续是可导的必要不充分条
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