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4.1微分中值定理,1局部极值点的必要条件,问题：,局部极值点:,有,则称f(x)在x0处有极小值(或极大值),说明:,(1)几何解释:,是极大值点,是极小值点,定理(费马定理),证明,不妨设x0是极小值点,使,则根据定义,存在N(x0),说明:,(2)我们把使的点x0称为驻点(稳定点),(3)驻点未必是极值点(反例:处),不可微点也可能是极值点(反例:处),(4)临界点:,驻点和不可微点统称为临界点,定理(局部极值点的必要条件),注意:,临界点不一定是极值点,20中值定理,定理(罗尔定理),证明,因为f(x)Ca,b,(1)若m=M,则f(x)C,可任取,有,不妨设,据最值定理知,存在,说明:,(1)几何意义:,(2)罗尔定理中的三个条件:,一般不可松动,反例:,(3)定理指出了导函数的零点问题,罗尔定理的几何意义也,一条切线平行于AB弦,可以解释为:至少存在,问题:,定理(拉格朗日中值定理),(AB弦的斜率),即,证明,构造辅助函数,则F(x)在a,b上连续,(a,b)内可导,而且,根据罗尔定理,存在,即,说明:,(1),(2),即有,拉格朗日中值公式的应用,解,在a,b上利用拉格朗日中值定理,有,C,A(g(a),f(a)、B(g(b),f(b),如果设A、B点的坐标为,即应有,定理(cauchy中值定理),证明,因为,构造辅助函数:,则F(x)在a,b上连续,(a,b)内可导,而且有,注意:,在定理的条件下,例,解,上式等价于,设,则由a0知,f
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