等差数列(第一课时)

等差数列,一、引入,（1）1，3，5，7，9，11，（2）3，6，9，12，15，18，（3）1，1，1，1，1，1，1，（4）3，0，3，6，9，12，,问题：这些数列有何特点？,分析：（1）31=2，53=2，75=2，97=2，（2）63=3，96=3，129=3，1512=3，（3）11=0，11=0，11=0，11=0，（4）03=3，6（3）=3，9（6）=3，12（9）=3，,特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数,（d=2）,（d=3）,（d=0）,（d=3）,3、2等差数列,一、等差数列的定义：,一般地，如果一个数列从起，与的等于，那么这个数列就叫做等差数列。,每一项,它的前一项,差,同一个常数,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。,定义另叙述：在数列an中，an1an=d（nN*）,d为常数，则an是等差数列，常数d称为等差数列的公差。,第2项,注意：,1、一个数列，不从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，此数列不是等差数列，但可以说从第2项起或第3项起是一个等差数列。,例如：（1）1，3，4，5，6，（2）1，0，12，14，16，18，20，,2、一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，故定义中“同一个常数”中“同一个”十分重要，切记不可丢掉。,例如：3，0，1，3，4，9,3、求公差d时，可d=anan1,也可以用d=an1an,4、公差dR，当d=0时，数列为常数列；当d0时，数列为递增数列；当d0时，数列为递减数列。,二、等差数列的通项公式：an=a1（n1）d,问题1：已知等差数列an的首项为a1，公差为d，求an,解：由等差数列的定义可知：a2a1=d,a3a2=d,a4a3=d,则a2=a1da3=a2d=（a1d）d=a12da4=a3d=（a12d）d=a13d,由此可知：an=a1（n1）d当n=1时,a1=a1（11）d=a1等式成立这表明当nN*时，an=a1（n1）d成立。,等差数列的通项公式,问题2：已知等差数列an中，公差为d，则an与ak（n,kN*）有何关系？,答：由等差数列的通项公式知,此为等差数列的通项公式的变形公式.,ak=a1（k1）d,由得，anak=（nk）d,总结：,通项公式：,变形：,an=a1（n1）d,an=a1（n1）d,anak=（nk）d,三、应用,例1（1）求等差数列8，5，2，的第20项？（2）401是不是等差数列5，9，13，的项，如果是，是第几项？,分析：（1）由公式求指定项，先要找出首项a1、公差d、序号n，然后把它们代入公式，求出相应的项。,（2）判断一个数是否是一个等差数列的项，与（1）题是相反的问题。关键要求出通项公式，看是否存在正整数n，可使得an=401,解：（1）由a1=8,d=58=3,n=20,得:a20=8（201）（3）=49,（2）由a1=5,d=9（5）=4,得:an=5（n1）（4）即an=4n1,由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得401=4n1成立解这个关于n的方程，得n=100即401是这个数列的第100项,例2在等差数列an中，已知a5=10，a12=31，求首项a1与公差d？,解：由题意可知,a14d=10,a111d=31,即这个等差数列的首项是2，公差是3。,另解：由an=ak（nk）d,知,例3梯子的最高一级宽33，最低一级宽110，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。,分析：要求梯子中间各级的宽度，必须知道各级宽度组成的等差数列的公差，问题相当于已知等差数列首末两项及项数（注意梯子的级数是102）求公差d，利用通项公式求解。,a12=a5（125）d,即107d=31,解得d=3,a5=a1（51）d,10=a143,解得a1=2,即这个等差数列的首项是2，公差是3,解：用an表示梯子自上而下的各级宽度所成的等差数列。由已知条件，有a1=33,a12=110,n=12,由通项公式，得a12=a1（121）d即110=3311d,解得d=7,因此，a2=337=40,a3=407=47,a4=477=54,a5=61,a6=68，a7=75,a8=82，a9=89,a10=96,a11=103,答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是：40，47，54，61，68，75，82，89，96，103。,练习：,1.（1）求等差数列3，7，11，的第4项与第10项。（2）求等差数列10，8，6，的第20项。（3）100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。（4）-20是不是等差数列0，-7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。,解：（1）由a1=3，d=73=4得,a4=3+（41）4=15,a10=3+（101）4=39,（2）由a1=10，d=810=2，得,a20=10+（201）（2）=28,（3）由a1=2，d=92=7，得：,an=2+（n1）7=7n5,由题意知，7n5=100解得n=15,即100是这个数列的第15项。,20不是这个数列的项,（4）由a1=0，d=0=,an=n+,由题意知，n+=20，解得n=,n不是正整数，即不N*,2.在等差数列an中，（1）已知a410，a7=19，求a1与d；（2）已知a3=9，a9=3，求a12。,解：（1）由题意知,即这个等差数列的首项为1，公差为3。,（2）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由题意可知：,这个数列的通项公式为an=12n,an=1212=0,另解：由an=am+（nm）d，得,a9=a3+（93）d,3.已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d：（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它它的首项和公差分别是多少？（3）取出数列中所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？,3=9+（93）dd=1,a12=a3+（123）d=9+9（1）=0,解：（1）是.首项为am+1.公差为d,（2）是.首项为