第一章 复数与复变函数(1.1-1.3)

1,2,一以班为单位买练习册（每册五元）时间：本周周一周六（上午，下午，晚上）；地点：科技楼南楼609；,二每周一次答疑时间：周二晚上:；地点：科技楼南楼813；,三结业成绩分配平时成绩:20%；期末考试成绩:80%,每周一收发作业（练习册）,通知,3,本课程由复变函数与积分变换两个部分组成。,其中，带“*”号的内容本课堂不需要掌握。,积分变换的内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换。,二、教学内容,4,第一章复数与复变函数,5,1.1复数,6,一、复数及其运算,1.复数的基本概念,(或者),的数称为复数。,(2)x和y分别称为复数z的实部与虚部，并分别表示为：,当y=0时，,因此，实数可以看作是复数的特殊情形。,(3)当x=0时，,称为纯虚数；,就是实数。,将形如,其中i称为虚数单位，即,7,设与是两个复数，,它们之间只有相等与不相等的关系。,一、复数及其运算,1.复数的基本概念,相等,8,一、复数及其运算,2.复数的四则运算,设与是两个复数，,(1)复数的加减法,加法,减法,(2)复数的乘除法,乘法,9,一、复数及其运算,2.复数的四则运算,(3)运算法则,交换律,结合律,分配律,10,二、共轭复数,1.共轭复数的定义,比如,11,二、共轭复数,2.共轭复数的性质,其中，“”可以是,12,例,已知,求,13,例,证明：,14,1.2复数的几种表示,15,一、复数的几何表示,1.复平面,此时，x轴称为实轴，y轴称为虚轴。,用坐标为的点来,表示复数,从而将全体复数和平面上的全部点,一一对应起来，,z平面。,轴,轴,实轴,虚轴,16,引进复平面后，复数z与点z以及向量z视为同一概念,所引的向量与该复数z也构成一一,对应关系(复数零对应零向量)。,比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。,在复平面上，从原点到点,一、复数的几何表示,1.复平面,实轴,虚轴,17,将复数和向量对应之后，除了利用,实部与虚部来给定一个复数以外，,一、复数的几何表示,2.复数的模与辐角,(1)向量z的长度r称为复数z的模，记为,还可以借助向量的长度与方向来给,定一个复数。,(2)向量z的“方向角”称为复数z的辐角，记为,轴,轴,18,一、复数的几何表示,2.复数的模与辐角,+,-,两点说明,(1)辐角是多值的，,(2)辐角的符号约定为：,逆时针取正号，顺时针取负号。,则有,19,由此就有如下关系：,一、复数的几何表示,2.复数的模与辐角,主辐角,对于给定的复数设有满足：,且,则称为复数z的主辐角，记作,20,解,例,求复数,的模与主辐角。,21,(1)已知实部与虚部，求模与辐角。,一、复数的几何表示,3.相互转换关系,22,(1)已知实部与虚部，求模与辐角。,一、复数的几何表示,3.相互转换关系,(2)已知模与辐角，求实部与虚部。,由此引出复数的三角表示式。,23,二、复数的三角表示和指数表示,1.复数的三角表示,称为复数z的三角表示式。,如图，,有,由,24,二、复数的三角表示和指数表示,2.复数的指数表示,利用欧拉公式得,称为复数z的指数表示式。,但习惯上一般取为主辐角。,25,解,复数的三角表示式为,复数的指数表示式为,例,写出复数,的三角表示式和指数表示式.,26,二、复数的三角表示和指数表示,3.利用指数表示进行复数的乘除法运算,设,乘法,即,27,除法,二、复数的三角表示和指数表示,3.利用指数表示进行复数的乘除法运算,设,28,例,计算,和,29,复数z的乘幂，,三、复数的乘幂与方根,1.复数的乘幂,利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。,30,三、复数的乘幂与方根,1.复数的乘幂,在上式中令r=1，则得到棣莫弗(DeMoivre)公式：,棣莫弗(DeMoivre)公式,进一步易得到正弦与余弦函数的n倍角公式。,比如,31,例,由此引出方根的概念。,此外，显然有,32,复数w，,三、复数的乘幂与方根,2.复数的方根,称为把复数开n次方，或者称为求复数的,复数求方根是复数乘幂的逆运算。,n次方根，,记作或,复数的n次方根一般是多值的。,33,三、复数的乘幂与方根,2.复数的方根,利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。,即,得,正实数的算术根。,法则,设,则,34,三、复数的乘幂与方根,2.复数的方根,描述,方法,直接利用公式求根；,先找到一个特定的根，再确定出其余的根。,35,解,具体为：,解,具体为：,36,四、几个关系,(1),(3),37,利用复数与向量的关系，可以证明一些几何,问题。,比如，上例证明的结论可描述为：,例,证明,38,解,因为,求,故,P10例1.4,例,设,也可写成,39,1.3平面点集的一般概念,40,一、平面点集,1.邻域,(1)称点集为点的邻域；,(2)称点集为点的去心邻域。,41,内点,一、平面点集,2.内点、外点与边界点,(1),考虑某平面点集G以及某一点，,外点,(1),边界点,42,否则称为非有界集或无界集。,则G称为有界集，,4.有界集与无界集,3.开集与闭集,一、平面点集,孤立点,(1),(2),有,（反之不一定）,的边界点.,的孤立点一定是,43,二、区域,1.区域与闭区域,区域,平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件:,(1)D是一个开集；,(2)D是连通的，,不连通,闭区域,连通,注,闭区域并非区域,（除全平面外）,44,区域,闭区域,(角形)区域,例,(1),(2),(3),P16例1.12,45,二、区域,3.内区域与外区域,其中,有界的一个称为该简单闭曲线的内部(内区域)，,称为该简单闭曲线的外部(外区域)。,4.单连通域与多连通域,属于D，则D称为单连通域，,多连通域又可具体分为二连域、三连域、。,另一个,否则称为多连通域。,46,(二连域),A,二、区域,4.单连通域与多连通域,A,(单连域),B,(单连域),B,(非区域),(三连域),47,三、平面曲线,1.方程式,在直角平面上,在复平面上,如何相互转换？,(1),(2),48,i,-i,(2),例,(1),(2),(3),49,三、平面曲线,2.参数式,在直角平面上,在复平面上,(2)在复平面上,(1)在直角平面上,50,三、平面曲线,2.参数式,在直角平面上,在复平面上,(2)在复平面上,(1)在直角平面上,例如,考察,和,的直线段,连接,=,=,=,=,),(,),(,y,y,x,x,51,三、平面曲线,3.曲线的分类,考虑曲线,简单曲线,当时，,简单闭曲线,简单曲线且,光滑曲线,简单、不闭,简单、闭,不简单、闭,不简单、不闭,52,三、平面曲线,4.有向曲线,指定C的两个可能方向中的一个作为正向，则C为带有,方向的曲线，称为有向曲线，仍记为C。,代表与C的方向相反(即C的负方向)的曲线。,如果,相应地