1.3函数的极限

,第一章,二、自变量趋于有限值时函数的极限,第三节,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,下页结束,函数的极限,三、函数极限的性质,四、小结,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,上页下页返回结束,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,上页下页返回结束,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,上页下页返回结束,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,上页下页返回结束,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,上页下页返回结束,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,上页下页返回结束,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,上页下页返回结束,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,上页下页返回结束,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,上页下页返回结束,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,上页下页返回结束,上页下页返回结束,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,定义：,上页下页返回结束,设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,记作,A为函数,几何解释:,上页下页返回结束,例7.证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,即,上页下页返回结束,补例,证,上页下页返回结束,注:,直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.,两种特殊情况:,当,时,有,当,时,有,几何意义:,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,上页下页返回结束,二、自变量趋向有限值时函数的极限,上页下页返回结束,1、定义：,上页下页返回结束,设函数,当,时,有,则称常数A为函数,当,时的极限,或,若,记作,当,时,有,2、几何解释:,注意：,上页下页返回结束,使得当,定理2(P36函数极限的局部有界性),这表明:,如果,那么存在常数,时，有,上页下页返回结束,例1,证,例2,证,上页下页返回结束,例3.证明,证:,欲使,取,则当,时,必有,因此,只要,上页下页返回结束,例4,证,函数在点x=1处没有定义.,上页下页返回结束,例5,证,上页下页返回结束,3.单侧极限:,例如,上页下页返回结束,左极限,右极限,上页下页返回结束,例6.设函数,讨论,时,的极限是否存在.,解:利用定理.,因为,显然,所以,不存在.,上页下页返回结束,左右极限存在但不相等,补例,证,上页下页返回结束,三、函数极限的性质,2.有界性（前面已讲）,1.唯一性,上页下页返回结束,使得当,定理2(P36函数极限的局部有界性),如果,那么存在常数,时，有,函数极限的保号性定理,定理3.若,且A0,证:已知,即,当,时,有,当A0时,取正数,则在对应的邻域,上,(0),则存在,(A0),(P37定理3),上页下页返回结束,若取,则在对应的邻域,上,若,则存在,使当,时,有,定理3,(P37定理3),分析:,上页下页返回结束,推论.若在,的某去心邻域内,且,则,证:用反证法.,则由定理3,的某去心邻域,使在该邻域内,与已知,所以假设不真,(同样可证,的情形),思考:若推论中的条件改为,是否必有,不能!,存在,如,假设A0,条件矛盾,故,上页下页返回结束,4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义,定理4,上页下页返回结束,证,上页下页返回结束,例如,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,上页下页返回结束,补例,证,上页下页返回结束,二者不相等,四、小结,函数极限的统一定义,(见下表),上页下页返回结束,上页下页返回结束,内容小结,1.函数极限的,或,定义及应用,2.函数极限的性质:,思考与练习,1.若极限