高考数学复习 专题四 函数单调性的应用面面观

专题四函数单调性的应用面面观【方法综述】函数单调性的应用，主要有比较函数值大小、解不等式、求参数的取值范围（值）、求函数的最值（值域）等，下面举例说明.一、比较函数值大小例1.设函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)是1,+)上的增函数，则a=f(0.623)，b=f(0.723)，c=f(0.713)的大小关系是（ ）A. abc B. bac C. acb D. cba解：根据f(1+x)=f(1-x)，可得函数f(x)的图像关于直线x=1对称，结合f(x)是1,+)上的增函数，可得函数f(x)是(-,1的减函数，利用幂函数和指数函数的单调性，可以确定0.6230.723f(0.723)f(0.713)，即abc，故选A.解题策略：(1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间二、解不等式例2.已知函数fx=9,x3-x2+6x,x3，则不等式fx2-2xf3x-4的解集是_解：当x3时，fx=-x2+6x=-x-32+99，fx在-,3上递增，由fx2-2xf3x-4，可得x2-2x3x-43x-43或x2-2x3，解得1x4x73或-1x73，即为1x73或73x3，即1x0，函数f(x)x3ax是区间1，)上的单调函数，求实数a的取值范围解：任取x1，x21，)，且x10.yf(x2)f(x1)(xax2)(xax1)(x2x1)(xx1x2xa)1x13.显然不存在常数a，使(xx1x2xa)恒为负值又f(x)在1，)上是单调函数，必有一个常数a，使xx1x2xa恒为正数，即xx1x2xa.当x1，x21，)时，xx1x2x3，a3.此时，xx2x10，y0，即函数f(x)在1，)上是增函数，a的取值范围是(0,3四、利用函数单调性求函数的最值（值域）例4已知函数f(x)，x1，)(1)当a4时，求f(x)的最小值；(2)当a时，求f(x)的最小值；(3)若a为正常数，求f(x)的最小值解：(1)当a4时，f(x)x2，易知，f(x)在1,2上是减函数，在2，)上是增函数，f(x)minf(2)6.(2)当a时，f(x)x2.易知，f(x)在1，)上为增函数f(x)minf(1).(3)函数f(x)x2在(0，上是减函数，在，)上是增函数若1，即a1时，f(x)在区间1，)上先减后增，f(x)minf()22.若1，即0a1时，f(x)在区间1，)上是增函数，f(x)minf(1)a3.例5.函数的值域为( )A. B. C. D. 解：由 得 ，当 时，函数为增函数，所以当 时，由移项得两边平方整理得得 从而 且 由，得 ，由所以综上，所求函数的值域为.选D【针对训练】1.函数在区间上为减函数，则的取值范围（ ）AB C D.【答案】C【解析】当时，满足在区间上为减函数，当时，由于的图象对称轴为，且函数在区间上为减函数，求得，故选C.2.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题意,函数在R上单调递增,且f(1)=(1)2+2x=1，则有，解可得1a0；故选：C.3已知f(x)=(2a-1)x+4a,x1-x+1,x1是定义在R上的减函数，则a的取值范围是（ ）A 16,12 B 13,12 C 16,12 D 13,12【答案】A【解析】因为f(x)为定义在R上的减函数，2a-10(2a-1)1+4a-1+1，解得16a12a的取值范围为16,12故答案为：A4.定义新运算 ：当时，；当时，则函数的最大值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：由题意知当-2x1时，f（x）=x-2，当1x2时，又f（x）=x-2，在定义域上都为增函数，f（x）的最大值为f（2）=6故选C5. 定义一种运算，令(为常数) ,且，则使函数的最大值为的的集合是 ( )A B C D【答案】C【解析】函数的图像开口向下,对称轴为.当最大值为3时,即解得或根据定义可知,要使函数最大值为3,时,;当时,.所以或.6.已知定义在R上的函数fx满足:f1+x=f1-x,在1,+上为增函数;若x12,1时，faxfx-1成立，则实数a的取值范围为_【答案】(0,2).【解析】根据题意，可知函数f(x)的图像关于直线x=1对称，因为其在1,+上为增函数，则在(-,1)上是减函数，并且距离自变量离1越近，则函数值越小，由faxfx-1可得，ax-1x-1-1，化简得ax-1x-2，因为x12,1，所以x-2=2-x，所以该不等式可以化为x-2ax-1-1(a+1)x-1(a-1)1-1(a+1)123(a+1)13，解得0a0时，函数f(x)在区间（0，m）单调递减，在区间(m,+)上单调递增，要满足d(1,2)|f(2)-f(1)|，只需1m2,1m4，所以1m4当m0时，函数f(x)在区间(0,+)上单调递增，不满足.综上所述，1m4.填1，4.8.已知yf(x)在定义域(1,1)上是增函数，且f(t1)f(12t)，求实数t的取值范围【答案】0t【解析】依题意可得解得0t5在定义域上恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）a-2；（2）a-3【解析】（1）任取x1,x20,1,且x10， 即a5x0,1a2x2-5xx0,1恒成立2x2-5x=2x-542-258，函数y=2x2-5x在（0，1上单调减，x=1时，函数取得最小值-3，即a-3.10.已知函数f(x)=ax2+2x+c(a,cN*)，满足f(1)=5；6f(2)11（1）求a，c的值（2）设g(x)=f(x)-2x-3+|x-1|，求g(x)的最小值【答案】（1）1，2；（2）-14【解析】（1）f(1)=a+2+c=5，f(2)=4a+4+c(6,11)，又c=5-2-a=3-a，4a+4+3-a=3a+7(6,11)，-13a43，又aN*，a=1，c=2（2）f(x)=x2+2x+2，g(x)=f(x)-2x-3+1x-11=x2+2x+2-2x-3+1x-11=x2+1x-11-1，x1