2009—2010第一学期《高等数学A1》期末考试试题及答案（A卷）_第1页
2009—2010第一学期《高等数学A1》期末考试试题及答案（A卷）_第2页
2009—2010第一学期《高等数学A1》期末考试试题及答案（A卷）_第3页
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武汉大学数学与统计学院20092010第一学期高等数学A1期末考试试题一、（42分）试解下列各题： 1、计算. 2、求解微分方程y-2y+3y=0的通解。 3、计算 . 4、计算. 5、求曲线自至一段弧的长度。 6、设，求.二、（8分）已知，其中由方程确定，求. 三、（8分）设,，试证明数列收敛，并求.四、（15分）已知函数，求： 1、函数的单调增加、单调减少区间，极大、极小值； 2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。五、（12分）已知函数满足微分方程，且轴为曲线在原点相切，在曲线（）上某点处作一切线，使之与曲线、轴所围平面图形的面积为，试求：（1）曲线的方程；（2）切点的坐标；（3）由上述所围图形绕轴旋转一周所得立体的体积。六、（10分）设在上连续，在内可导，且，证明： （1）存在，使; （2）对任意实数，必存在，使.七、（5分）设函数满足下列两个等式：，求证： ，.武汉大学数学与统计学院20092010第一学期高等数学A1期末考试试题参考答案一、 （42分）试解下列各题：1、解：原极限=2、解：齐次方程的特征方程为，它有复数根，故原方程的通解为：3、解：原式= 4、解：5、解：6、解： 二、（8分）解： ，方程两边微分得： 故有三、（8分）解：, ，因此设，则单调增加，且,故存在设，则: 解得 .因为非负， 四、（15分）解：定义域为 令驻点 ，不可导点 1） 故单调增加区间为： ，单调减少区间为： 极小值为：，无极大值。2）下凸区间为： ，无拐点，由，故为函数图形的铅直渐近线。 又 故为函数图形的斜渐近线。五、（12分）解：（1）由观察法知曲线方程为：或解微分方程：特征方程为，故对应齐次方程的通解为，由于，所以微分方程的特解设为，从而有：，故为微分方程的通解，又，由题设知，所以微分方程满足初值条件的解为，即曲线方程为：（2）设切点B的坐标为，则过点B的切线斜率为，于是切线方程为，和轴交点为，由，得a=1，因此切点坐标为(1,1)。（3）六、（10分）证明：（1）令，则故，使得，即（2）设，则 ，由罗尔定理：，即 即 七、（5
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