湖南大学微积分06-第6讲常数项级数审敛法

一元微积分学,大学数学（一）,第六讲常数项级数的审敛法,脚本编写、教案制作：刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民,第二章数列的极限与常数项级数,本章学习要求：,第二章数列的极限与常数项级数,第五节常数项级数的审敛法,一.正项级数的审敛法,二.任意项级数的敛散性,一.正项级数的审敛法,1.正项级数的定义,若级数,则称之为正项级数.,定义,实质上应是非负项级数,2.正项级数收敛的充要条件,正项级数,Sn有界.,定理,正项级数的部分和数列是单调增加的,单调有界的数列必有极限,理由,在某极限过程中有极限的量必界,级数,是否收敛？,该级数为正项级数,又有,(n=1,2,),故当n1时,有,即其部分和数列Sn有界,从而,级数,解,3.正项级数敛散性的比较判别法,且0unvn(n=1,2,),大收小收,小发大发.,记,0unvn(n=1,2,),0SnGn,证(1),证(2),判断级数,的敛散性.(0x0)的敛散性.,当p1时,P级数为调和级数:,它是发散的.,当01时,P级数收敛.,综上所述:,当p1时,P级数收敛.,当p1时,P级数发散.,4.比较判别法的极限形式,由于,(00,当nN时,不妨取,运用比较判别法可知,具有相同的敛散性.,证(1),当0N时,故由比较判别法,当=0时,证(2),由于,(=),M0(不妨取M1),即,由比较判别法,证(3),故,N0,当nN时,当=时,0vn0为常数).,因为,(即=1为常数),又,是调和级数,它是发散的,发散.,解,原级数,故,解,由比较判别法及P级数的收敛性可知：,5.达朗贝尔比值判别法,利用级数本身来进行判别.,即=x2,由达朗贝尔判别法：,解,需要讨论x的取值范围,综上所述,当01时,原级数发散.,解,这是一个正项级数:,单调增加有上界,以e为极限.,由达朗贝尔比值判别法知该正项级数收敛.,由级数收敛的必要条件得,利用级数知识求某些数列得极限.,解,达朗贝尔(DAiemberJeanLeRond)是法国物理学家、数学家。1717年11月生于巴黎，1783年10月卒于巴黎。达朗贝尔是私生子，出生后被母亲遗弃在巴黎一教堂附近，被一宪兵发现，临时用该教堂的名字作为婴儿的名字。后被生父找回，寄养在一工匠家里。,达朗贝尔少年时就读于一个教会学校，对数学特别感兴趣。达朗贝尔没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了牛顿等大科学家的著作。1741年24岁的达朗贝尔因研究工作出色进入法国科学院工作。1754年成为法国科学院终身院士。,达朗贝尔在力学、数学、天文学等学科都有卓著的建树。达朗贝尔的研究工作偏向于应用。1743年提出了被称之为达朗贝尔原理的“作用于一个物体的外力与动力的反作用之和为零”的研究结果。达朗贝尔建立了将动力学问题转化为精力学问题的一般方法。1747年在研究弦振动问题时得到了一维波动方程的通解，被称为达朗贝尔解。1752年首先用微分方程表示场。达朗贝尔终身未婚。1776年由于工作不顺利，加之好友勒皮纳斯小姐去世，使他陷入极度悲伤和失望中。达朗贝尔去世后，由于他反宗教的表现，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼。,6.柯西根值判别法,解,记,解,即,当x