新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2.3.2充要条件课件新人教B必修

第2课时充要条件,1.充要条件,【思考】符号“”的含义是什么？提示：“”表示“等价”，如“A与B等价”指的是“如果A，那么B”，同时有“如果B，那么A”，或者说“从A推出B”，同时可“从B推出A”.,2.充分性、必要性的其他情况,【素养小测】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.()(2)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件.(),(3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件.(),提示：(1).当p是q的充要条件时，pq，且qp，故说成q成立当且仅当p成立，这种说法正确.(2).若pq或qp，则p不是q的充分条件，或p不是q的必要条件，故此说法正确.(3).因为pq，qr，所以pr，所以p是r的充要条件.,2.“a+b0”是“a0，b0”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件,【解析】选C.当a与b异号且负数绝对值大时，也有a+b0，所以“a+b0”“a0，b0”，显然“a0，b0”“a+b0”，所以“a+b0”是“a0D.x0，y0.,类型一充分条件和必要条件的综合判断【典例】1.“b2=ac”是“=成立”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件,2.下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)？世纪金榜导学号(1)p：x0，q：x+|x|0.(2)p：a0，q：关于x的方程ax+b=0(a，bR)有唯一解.,(3)p：ab0，a，bR，q：|a+b|=|a|+|b|.(4)p：c=0，q：y=ax2+bx+c(a0)的图象经过原点.,【思维引】1.依据等式两边同乘以非零实数，等式仍成立判断.2.依据“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”的定义判断.,【解析】1.选C.b2=ac=，如b=0，c=0时，b2=ac，而，无意义.但=b2=ac，所以“b2=ac”是“=”的必要不充分条件.,2.(1)因为由x0推不出x+|x|0，如x=-10，但是x+|x|=0，所以pq，由x+|x|0可得x0，可推出x0，所以qp，所以p是q的必要不充分条件.,(2)当a0时，关于x的方程ax+b=0(a，bR)有唯一解x=-，所以pq，若关于x的方程ax+b=0(a，bR)有唯一解，则a0，推不出a0，所以qp，所以p是q的充分不必要条件.,(3)当ab0时，|a+b|=|a|+|b|成立，所以pq，因为a=0时，也有|a+b|=|a|+|b|，所以qp，所以p是q的充分不必要条件.,(4)当c=0时，函数y=ax2+bx的图象经过原点；当y=ax2+bx+c(a0)的图象经过原点时，0=a02+b0+c，所以c=0，所以pq，所以p是q的充要条件.,【内化悟】根据充分必要条件的定义和判断方法，你能总结一个记忆口诀吗？提示：顺向为充(即若pq，则p是q的充分条件)，逆向为必(即若pq，则q是p的必要条件).,【类题通】从命题角度判断p是q的充分必要条件(1)原理：判断p是q的充分必要条件，主要是判断pq及qp这两个命题是否成立.,(2)方法：若pq成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若qp成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件.,【习练破】下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)？,(1)p：x2=3x+4，q：x=.(2)p：a是自然数，q：a是正数.(3)p：a=1，q：a的倒数是其本身.(4)p：点P(2-a，3a-2)到两坐标轴距离相等，q：a=1或a=0.,【解析】(1)当x=-1时，x2=3x+4成立，但是x=不成立，所以pq，由x=两边平方可得x2=3x+4，所以qp，所以p是q的必要不充分条件.(2)0是自然数，但是0不是正数，所以pq，1.5是正数，但是1.5不是自然数，所以qp，所以p是q的既不充分也不必要条件.,(3)倒数是其本身的数有1，所以qp，且pq，所以p是q的充分不必要条件.,(4)当a=1，点P(1，1)到两坐标轴距离相等；当a=0，点P(2，-2)到两坐标轴距离相等；当点P(2-a，3a-2)到两坐标轴距离相等时，|2-a|=|3a-2|，解得a=1或a=0.所以pq，所以p是q的充要条件.,【加练固】下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)？,(1)p：x=y，q：(2)p：1=2，q：1与2是对顶角.(3)p：反比例函数y=的图象在第二、四象限，q：m1，q：a.,【解析】(1)当a=0时，x=yx=y，所以p是q的必要不充分条件.(2)对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，所以pq，且qp，所以p是q的必要不充分条件.,(3)反比例函数y=的图象在第二、四象限m-51时，所以a，所以pq，当a=-时，a，所以qp，所以p是q的充分不必要条件.,类型二充要条件的证明【典例】已知关于x的方程ax2+bx+c=0()，判断a+b+c=0是否是方程()有一个根为1的充要条件.世纪金榜导学号【思维引】从充分性和必要性两个方面进行证明.,【证明】因为a+b+c=0，所以c=-a-b，代入方程ax2+bx+c=0中，得ax2+bx-a-b=0，即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程()有一个根为1，所以a+b+c=0方程()有一个根为1，,因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1，所以x=1满足方程ax2+bx+c=0.所以有a12+b1+c=0，即a+b+c=0.所以方程()有一个根为1a+b+c=0，从而a+b+c=0方程()有一个根为1，因此a+b+c=0是方程()有一个根为1的充要条件.,【素养探】在与充要条件的证明有关的问题中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过命题真假的证明，判断充分、必要条件，提高分析、推理、论证的能力.将本例的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”，“a+b+c=0”改为“ac0”，如何判断？,【证明】因为ac0，方程ax2+bx+c=0中有两个不等实根，由根与系数关系可知这两个根的积为0，所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，所以ac0方程()有一个正根和一个负根，,因为方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，由根与系数关系可知这两个根的积为0，所以ac0.所以方程()有一个正根和一个负根ac0，从而ac0是否是的充要条件.,【证明】由xy0及xy，得所以xy0即y，得y-x0.所以xy0，从而xy0，所以xy0是的充要条件.,【加练固】求关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充要条件.,【解析】当a=0时，解得x=-1，满足条件；当a0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a0，所以实数m的取值范围为(0，3.,【素养探】在与用集合观点解充分条件、必要条件问题中，经常利用核心素养中的直观想象，通过研究充分条件和必要条件与集合关系，培养借助集合解决问题的能力.将本例2的“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.,【解析】p：-2x10，q：1-mx1+m(m0).因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.所以,解不等式组得m9或m9，所以m9，即实数m的取值范围是9，+).,【类题通】从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件,其中p：A=x|p(x)成立，q：B=x|q(x)成立.,【习练破】设p：实数x满足a0)，q：实数x满足2x5.若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.,【解析】因为q是p的充分不必要条件，所