四柱坐标系与球坐标系简介

【课标要求】1了解柱坐标系、球坐标系的意义2掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式3能够根据空间坐标的转化解决某些问题【核心扫描】柱坐标、球坐标和空间直角坐标的互化(重点),第四节柱坐标系与球坐标系简介（选学）,(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(，)(0，02)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标这时点P的位置可用有序数组(，z)(zR),自学导引,1柱坐标系,表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组_叫做点P的柱坐标，记作_，其中0，02，z,(，z),P(，z),想一想柱坐标满足方程2的点所构成的图形是什么？提示在平面极坐标系中，2表示以极点为圆心，2为半径的圆因此，在柱坐标系中，设Oz轴所在的直线为l，则方程2表示以l为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆的柱面,cos,sin,2球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|r，OP与Oz轴正向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到,OQ时所转过的最小正角为.这样点P的位置就可以用有序数组_表示,这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)叫做点P的球坐标，记作_，其中r0，0，02,(r，),P(r，),rsincos,rsinsin,1空间点的坐标的确定(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的，即(x，y，z)(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(，z)(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点的连线与x轴正方向所成的角，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角，以及点到原点的距离r组成的，即(r，)注意球坐标的顺序为：到原点的距离r；与z轴正方向所成的角；与x轴正方向所成的角.,名师点睛,2柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的空间任一点P的位置可以用有序数组(，z)表示，(，)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标系中的竖坐标【思维导图】,题型一将点的柱坐标化为直角坐标,将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标：,【例1】,根据下列点的柱坐标，分别求其直角坐标：,【变式1】,将下列各点的球坐标分别化为直角坐标：,题型二将点的球坐标化为直角坐标,【例2】,【反思感悟】根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，)中角，的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0，02.化点的球坐标(r，)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式,根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标：,【变式2】,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标,题型三将点的直角坐标化为柱坐标球坐标,【例3】,思维启迪解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可,在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值，若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的范围即可,若本例中条件不变，点C的柱坐标与球坐标如何分别表示？点D呢？,【变式3】,方法技巧求球坐标系中两点间距离的策略,【示例】,思维启迪先将点的球坐标转化为直角坐标，再利用两点距离公式求解,【反思感悟】球坐标系又称空间极坐标系，可用空间任意一点P到O的距离r以及两个角，来刻画点P的位置,P17思考1给定一个底面半径为r，高为h的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述圆柱侧面以及底面上点的位置答以圆柱的下底面中心为极点，圆柱的两底面中心连线所在直线为z轴建立柱坐标系，则圆柱侧面上的点坐标都满足r(0zh)，下底面上所有点坐标都满足z0(0r)，上底面上所有点坐标都满足zh(0r),2举例说明柱坐标系在日常生活中的应用答在圆形体育场内，确定看台上某个座位的位置；确定长方体上各点的位置等也可以使用柱坐标系P18思考在研究空间图形的几何特征时，我们应该怎样选择坐标系呢？答在直角坐标中，我们需要三个长度x，y，z，而在柱坐标与球坐标中，我们需要长度，还需要角度它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要，z或者r，.,在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系,P18思考1请利用球坐标系说明人们如何确定地面上一点的位置