2112高中数学 函数模型及其应用教学课件 新人教A版必修1.ppt

3.2.1几类不同增长的函数模型（1）,一、实例分析投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快.（底数a0）,例1.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？,问1：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？问2：根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？问3：你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描述一下三个方案的特点吗？问4：由以上的分析，你认为应当如何做出选择？,分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.,解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(xn*)进行描述；方案二可以用函数y=10 x(xn*)进行描述；方案三可以用函数y=0.42x-1(xn*)进行描述.三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析.,我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报的增长情况（表3-4）。,再作出三个函数的图象（图3.2-1）。,由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.,从每天所得回报看，在第13天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.,下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下：,因此，投资16天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资810天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.,例2.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？,问1：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例2的解答吗？,分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司的总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间10，1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.,解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的图象（图3.2-2）,观察图象发现，在区间10,1000上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.,首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间10,1000上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x20时，y5，所以该模型不符合要求；对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足，由于它在区间10,1000上递增，因此当xx0时，y5，所以该模型也不符合要求；,对于模型y=log7x+1，它在区间10,1000上递增，而且当x=1000时，y=log71000+14.555，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x10,1000时，是否有,成立.,令f(x)=log7x+1-0.25x，x10,1000.利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象（图3.2-3）,由图象可知它是递减的，因此f(x)f(10)-0.3167log2x；当x4时，总有2xx2.所以当x4时，总有2xx2log2x.,4一般的，在区间(0,+)上，尽管函数y=ax(a1)，y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上，随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度，而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当xx0时，就有logaxx0时，总有xnaxlogax（n0,00，即0x13，于是可得y=(520-40 x)x-200=-40 x2+520 x-200，0x1.2，所以，这个男生偏胖.,建立函数模型解决实际问题的基本过程；,收集数据,画散点图,选择函数模型,求函数模型,用函数模型解释实际问题,检验,不符合实际,符合实际,课堂练习,1.某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.（1）分别求出总成本y1（单位：万元），单位成本y2（单位：万元），销售总收入y3（单位：万元），总利润y4（单位：万元）与总产量x（单位：件）的函数解析式；（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益作出简单分析.,2.某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人分别为74，78，83，你认为谁选择的模型较好？,例3.北京市的一家报刊摊点，从报社买进北京日报的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月（30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？,解：设每天报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意有y=0.10