高等运筹第一讲(刘巍)大连海事大学

高等运筹学,大连海事大学刘巍,参考书目,1、运筹学清华大学出版社2、管理运筹学韩伯棠编著高等教育出版社3、数据、模型与决策-管理科学篇机械工业出版社,重要参考文献,中国运筹学发展研究报告中国运筹学会2012年9月,目录,第一篇运筹学发展历史第二篇运筹学中的数学规划第三篇运筹学中的组合优化第四篇运筹学中的随机优化第五篇运筹学中的博弈论第六篇运筹学中管理科学第七篇运筹学中智能计算第八篇运筹学发展势态,Introduction,第一篇,第一章绪论,运筹学是自20世纪三四十年代发展起来的一门新兴交叉学科。它主要研究人类对各种资源的运用及筹划活动，以期通过了解和发展这种运用及筹划活动的基本规律，发挥有限资源的最大效益，达到总体最优的目标。从间题的形成开始，到构造模型、提出解案、进行检验、建立控制，直至付诸实施为止的所有环节构成了运筹学研究的全过程。,确定潘得罗索工业公司的产品组合,潘得罗索工业公司是一家墨西哥公司，截至在1998年的销售，公司生产了全国胶合板产量的四分之一，与其他胶合板生产厂商一样，潘得罗索工业公司的许多产品根据厚度和所用木材的质量而有所不同。因为产品在一个竞争的环境中进行销售，产品的价格由市场决定，所以产品的价格每月都有很大的变化。结果导致每项产品对公司整体利润的贡献也有很大的变动。从1980年开始，潘得罗索工业公司管理部门每个月使用线性规划指导下个月的产品组合决策。线性规划的数学模型考虑了这一决策的所有相关限制条件，包括生产产品所需的有限的可得数量。然后对模型求解，找出可行并且最大可能利润的产品组合。采用线性规划后，潘得罗索工业公司的成绩是显著的。改进的产品组合使公司的总利润增加了20%，线性规划得其他贡献包括更好的原材料利用，更好的资本投资，和更好的人员利用。,航空业的成本控制,那时，联航在其11个航班订票处，有超过4，000名的机场销售代表和支持人员。在十个最大的机场大约有一千名顾客服务代表，有些时兼职的，每班2到8个小时不等，大部分是全职的，每班8现实或10小时，有许多个不同的上班时间。每个订票处都有一天24小时营业（通过电话订票。然而，每个地点提供所需水平服务的雇员数量在一天24小时种的变化很大，或许美国半个小时就会有很大的变化。为了更有效率的满足服务要求，在每个地点为所有工作人员设计动作排成，是一个组合的梦魇。一旦一名雇员上了班，就会工作一个班次，只有就餐和每个两个小时的短暂的休息时间，给定24小时的一天中每半个小时各的服务所需的最小雇员数，在七天一周中，24小时一天中每个班次需要多少雇员并且合适上班呢？幸运的是，线性规划能解决这些组合梦魇问题。据有形估计，建立在线性规划基础上的计算机规划系统每年为联合航空公司在直接薪酬和津贴成本上节省了600万美元，得到的其他好处包括改善客户服务以及降低雇员的工作负担。,什么是运筹学？,上课时发晕；考试时发愁,什么是运筹学?OperationalResearch运用研究、运作研究,什么是运筹学是一门应用学科，它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供量化依据。,运筹学简述,运筹学（OperationsResearch,简写OR）系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹学称之为管理科学(ManagementScience)。运筹学所研究的问题，可简单地归结为一句话：“依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案”故有人称之为最优化技术。,学习目的,我们开设“运筹学”这门课的目的：使大家学会运筹学的思想方法掌握使用运筹学知识解决实际问题的能力善于优化、充分利用资源，提高管理者的运筹决策能力,课程理念,学习运筹学的关键是掌握使用运筹学思想方法解决实际问题的能力，善于优化利用资源.运筹学的本质，具体说就是在做决策时：首先要考虑做的事情是否有价值？其次要考虑自己是否有资源和能力完成这个计划？如果资源或能力不足，从哪里可以获得支持？善于发现资源和找到支持去完成有价值的决策，同时又能优化利用资源，才能形成竞争力.,绪论运筹学ABC,运筹学的发展：三个来源运筹学的性质和特点运筹学研究的问题与解决方法运筹学的工作步骤,运筹学的发展：三个来源,军事管理经济,军事：运筹学的主要发源地,古代军事运筹学思想中国古代的“孙子兵法”在质的论断中渗透着量的分析（1981年美国军事运筹学会出版了一本书，书中第一句话就是说孙武子是世界上第一个军事运筹学的实践家），中国古代运筹学思想的例子还有：田忌赛马、围魏救赵、行军运粮，等等。,在国外，运筹学思想方法也可追溯到阿基米德、达芬奇、伽利略都研究过作战问题.,阿基米德(约公元前287212是古希腊物理学家、数学家,达芬奇(1452-1519)意大利文艺复兴时期最负盛名的美术家、雕塑家、建筑家、工程师、机械师、科学巨匠和发明家,伽利略(15641642)意大利文艺复兴后期伟大的天文学家、力学家、哲学家、物理学家，被誉为近代科学之父,国外早期运筹学思想,运筹学的正式产生：第二次世界大战鲍德西（Bawdsey）雷达站的研究1939年，以Blackett为首的一个研究小组（代号“Blackett马戏团”），研究如何改进英国的空防系统，提高英国本土防空能力。Blackett备忘录1941年12月，Blackett应盟国政府的要求，写了五份题为“ScientistsattheOperationalLevel”的简短备忘录，建议在各大指挥部建立运筹学小组，此建议被迅速采纳。据不完全统计，二战期间，仅在英、美和加拿大，参加运筹学工作的科学家超过700名。大西洋反潜战：研究如何打破德国对英吉利海峡的海上封锁英国战斗机中队援法的决策,鲍德西（Bawdsey）雷达站,1935年，英国科学家R。Watson-Wart发明了雷达。丘吉尔命令在英国东海岸的Bawdsey建立了一个秘密雷达站。当时，德国已拥有一支强大的空军，起飞17分钟即到达英国本土。在如此短的时间内，如何预警和拦截成为一大难题。1939年由漫彻斯特大学物理学家、英国战斗机司令部顾问、战后获得诺贝尔奖金的P。M。S。Blackett为首，组织了一个小组，代号“Blackett马戏团”。这个小组包括三名心理学家、两名数学家、两名应用数学家、一名天文物理学家、一名普通物理学家、一名海军军官、一名陆军军官、一名测量员。研究的问题是：设计将雷达信息传送到指挥系统和武器系统的最佳方式；雷达与武器的最佳配置；对探测、信息传递、作战指挥、战斗机与武器的协调，作了系统的研究，并获得成功。“Blackett马戏团”在秘密报告中使用了“OperationalResearch”，即“运筹学”。,反潜艇战运筹组,1942年美国大西洋舰队反潜艇指挥官Baker组织并领导了反潜艇战运筹组，即后来隶属于美国海军总司令部的运筹组的前身，这个运筹组集中了一批著名的科学家。战争结束时，海军运筹组的科学家人数已达到70多位，美国陆军空战部队在Leach的领导下建立的作战分析小组也超过了20多个。在第二次世界大战期间，英国、美国和加拿大等国军队里的运筹工作人员甚至超过了700人。这些运筹工作组研究的问题很多，诸如战斗机炮弹的合理载荷量问题，如何用一定数量的战斗机封锁给定的海面海域的问题等等，这些都是他们感兴趣的研究对象。,大西洋反潜战是二战期间Morse小组的重要工作，1942年麻省理工学院的Morse教授应美国大西洋舰队反潜战官员Baker舰长的请求担任反潜战运筹组的计划与监督工作，其最出色的工作之一是协助英国打破了德国对英吉利海峡的海上封锁，研究所提出的两条重要建议是：将反潜攻击由反潜艇投掷水雷改为飞机投掷深水炸弹，起爆深度由100m改为25m左右，即当德方潜艇刚下潜时攻击效果最佳；运送物资的船队及护航舰艇的编队由小规模、多批次改为大规模、少批次，从而减少了损失率。结果，丘吉尔采纳了Morse的建议，打破了德国的封锁，重创了德国潜艇部队，Morse同时获得英国及美国战时最高勋章。,援法决策,英国战斗机中队援法决策是二战期间又一个著名战例。当时，二战开始不久，德军突破马奇诺防线，法军节节败退，英国参与抗德，派遣十几个战斗机中队在法国国土上空与德国空军作战，指挥、维护均在法国进行。由于战斗损失大，法国总理要求增援10个中队，时任英国首相的丘吉尔准备同意该请求。英国运筹学者的快速研究结果表明：在当时的环境下，当损失率、补充率为现行水平时，只要两周时间，英国的援法战斗机就一架都不存在了。运筹学家以简明的图表、明确的分析结果说服了丘吉尔，最后丘吉尔决定：不仅不再增援新的战斗机中队，而且还将在法的英国战斗机大部分撤回本土，并以本土为基地继续抗德，使局面出现了很大改观。,第二次世界大战结束后，英国军方的一份总结报告曾说：“这种有资深科学家进行的，改善海军技术和物质运作的科学方法，被称为运筹学”，“和以往的历次战争相比，这次战争更是新的技术策略和反策略的较量我们在几次关键战役中加快了反应速度，运筹学使我们赢得了胜利.”,军事上的成功！,运筹学的第二个起源是管理.第一次世界大战前就已经发展成熟的古典管理学派，对运筹学的产生和发展影响很大.1911年，泰勒(F.W.Taylor，美国人，科学管理之父)出版了著名的科学管理原理一书.在这本书中，泰勒的管理思想和理论，概括起来主要有以下三个观点：,运筹学的管理起源,（1）科学管理的根本目的是谋求最高工作效率.（2）达到最高工作效率的重要手段是科学的管理方法.（3）实施科学管理要求精神上的彻底变革.,泰勒的观点,（1）最佳动作原理.（2）合理的日工作量或恰当的工作定额原理.（3）第一流工人制.（4）刺激性付酬制度.（5）职能管理原理或职能工长制.（6）例外原理.,根据以上观点泰勒提出以下管理制度：,泰勒的管理制度,与泰勒同时代的，对管理改革作出贡献的还有一些学者，其中具有代表性的人物有：亨利L甘特(HenryLGantt，1861-1919)弗兰克杰尔布雷斯(FrankGilbreth，1868-1924)夫妇.,其他人物,甘特曾是泰勒的亲密合作者，科学管理运动的先驱之一.1902年至1919年期间，他作为一个独立开业的咨询师进行工作，并在哈佛大学、耶鲁大学、哥伦比亚大学等著名高校任教.甘特的贡献主要有以下几点：1提出了一种“工资任务加奖金”的工资制度.21903年，发明了“甘特图”（也称黑道图）.至今还在实践中使用，并发展为统筹方法.3强调管理民主和重视人的领导方式.,甘特,甘特图,弗兰克杰尔布雷斯夫妇，他们以进行动作研究而著称，比较有影响的著作有：动作研究（1911年）、科学管理入门（1912年）以及疲劳研究（1916年）等.他们的研究比泰勒的研究更为细致和广泛，其重要贡献在以下几方面：1提出动作研究和动作经济原理.2疲劳研究.3注意到了工作、工人和环境之间的相互影响.,弗兰克杰尔布雷斯,美国的亨利福特(HenryFord，1863-1947)在泰勒的单工序动作研究的基础上，为了提高企业的竞争能力，对如何提高整个生产过程的生产效率进行了研究.他充分考虑了大量生产的优点，规定了各个工序的标准时间，使整个生产过程在时间上协调起来，创造了第一条流水生产线汽车流水线，从而提高了整个企业的生产效率，使成本明显降低.,亨利福特,福特为了利于企业向大量生产发展，进行了多方面的标准化工作，包括：产品系列化，零件规格化，工厂专业化，机器及工具专用化，作业专门化.,爱尔朗,爱尔朗（Erlong）的排队论公式19091920年间，丹麦哥本哈根电话公司工程师爱尔朗陆续发表了关于电话通路数量等方面的分析与计算公式。尤其是1909年的论文“概率与电话通话理论”，开创了运筹学的重要分支排队论。,泰勒及其他同期先行者的理论和实践构成了泰勒制.泰勒制的核心是用科学的方法提高生产现场的生产效率.所以,人们把以泰勒为代表的这些学者所形成的学派称为科学管理学派.管理实践和管理科学的许多问题,至今仍然是运筹学家关注的课题.,运筹学的经济起源（数理经济学）,VonNeumann与对策论1932年，VonNeumann提出一个广义经济平衡模型；1939年，提出了一个属于宏观经济优化的控制论模型；1944年，与Morgenstern共著的对策论与经济行为开创了对策论分支。康托洛维奇与“生产组织与计划中的数学方法”30年代，苏联数理经济学家康托洛维奇从事生产组织与管理中的定量化方法研究，取得了很多重要成果。1939年，出版了堪称运筹学的先驱著作生产组织与计划中的数学方法，其思想和模型被归入线性规划范畴。,对于博弈论的研究，开始于策墨洛(Zermelo,1913)，波雷尔(Borel,1921)及冯诺伊曼(vonNeumann,1928)，后来由冯诺伊曼和奥斯卡摩根斯坦(vonNeumannandMorgenstern，1944，1947)首次对其系统化和形式化（参照Myerson,1991）,博弈论(GameTheory)，有时也称为对策论，或者赛局理论，应用数学的一个分支,目前在生物学，经济学，国际关系，计算机科学,政治学，军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。主要研究公式化了的激励结构（游戏或者博弈（Game)）间的相互作用。是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。也是运筹学的一个重要学科。,我国运筹学的发展,20世纪50年代中期，钱学森、许国志等教授在国内全面介绍和推广运筹学知识，1956年，中国科学院成立第一个运筹学研究室，1957年运筹学运用到建筑和纺织业中，1958年提出了图上作业法，山东大学的管梅谷教授提出了“中国邮递员问题”，1970年，在华罗庚教授的直接指导下，在全国范围内推广统筹方法和优选法。,1978年11月，在成都召开了全国数学年会，对运筹学的理论与应用研究进行了一次检阅，1980年4月在山东济南正式成立了“中国数学会运筹学会”，1984年在上海召开了“中国数学会运筹学会第二届代表大会暨学术交流会”，并将学会改名为“中国运筹学会”。,运筹学的发展趋势,成熟的学科分支向纵深发展新的研究领域产生与新的技术结合与其他学科的结合加强传统优化观念不断变化,第二章运筹学的性质和特点及内容,应用科学“应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量依据”。运筹学的特点定量化分析多学科交叉，如综合利用了心理学、经济学、物理、化学等方法最优决策,运筹学的研究对象,1）机器、工具、设备、人员等如何最佳利用问题方法有：线性规划、整数规划、网络图、动态规划、目标规划等2）竞争现象如战争、投资、商品竞争方法是对策论3）拥挤现象如公共汽车排队、打电话、买东西、飞机着陆、船舶进港等方法是排队论,运筹学的工作步骤,1）提出和形成问题，2）建立模型，3）求解，4）解的检验，5）解的控制，6）解的实施。,运筹学的主要内容,数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态规划等）图论存储论排队论对策论排序与统筹方法决策分析,运筹学的主要内容,1.线性规划（LinearProgram）是一个成熟的分支，它有效的算法单纯形法，主要解决生产计划问题，合理下料问题，最优投资问题。2.整数规划(IntegrateProgram)：在线性规划的基础上，变量加上整数约束。3.非线性规划(NonlinearProgram)：目标函数和约束条件是非线性函数，如证券投资组合优化:如何合理投资使风险最小。4.动态规划(DynamicProgram)：多阶段决策问题。是美国贝尔曼于1951年提出的。,运筹学的主要内容,5、图与网络(GraphTheoryandNetwork)：中国邮递员问题、哥尼斯堡城问题、最短路、最大流问题。6、存储论（InventoryTheory)：主要解决生产中的库存问题，订货周期和订货量等问题。7、排队论(QueueTheory)：主要研究排队系统中的系统排队和系统拥挤现象，从而评估系统的服务质量。8、对策论(GameTheory)：主要研究具有斗争性质的优化问题。9、决策分析(DecisionAnalysis)：主要研究定量化决策。,运筹学在经济管理中的应用,运筹学在经济管理中的应用涉及的方面：生产计划运输问题人事管理库存管理市场营销财务和会计物流配送,第二篇运筹学中的数学规划,第三章线性规划第四章非线性规划第五章锥规划第六章矩阵规划第七章变分不等式与互补问题第八章整数规划第九章动态规划第十章向量优化（多目标优化）,数学规划,数学规划是在决策变量满足一定约束下求一个或多个函数的极小值或者极大值。它以大量实践中抽象出来的典型最优化模型为研究对象，利用数学工具研究这些模型的数学性质，构造与实现求解方法，以及将算法应用于实际间题。自从1939年康托罗维奇提出线性规划模型、1947年丹齐格提出求解线性规划问题的单纯形法、卡罗青和库恩与塔克先后分别独立地给出一般非线性规划间题的最优性条件以来，数学规划得到了快速发展，形成了多个分支。,第三章线性规划,线性规划是谁发明的？,列奥尼德康托罗维奇：,前苏联著名经济学家，前苏联科学院院士。前苏联国家科学技术委员会国民经济管理研究所经济问题研究主任。1926年，列昂尼德考入列宁格勒大学这一年他14岁。1930年（18岁）从数学系毕业，随后在母校读研究生。1932年留校任教，1934年（22岁！）成为教授，1935年被授予物理-数学博士学位。,1937年，康特罗维奇在列宁格勒大学任教时，全苏胶合板托拉斯派人请他解决一个难题：8台不同类型机器，每台能生产5种不同型号的胶合板，每种类型机器独自能够生产的某种胶合板的数量多，而生产另外一种则少，各种不同胶合板产量由现有需求律基数决定。为根据所需比例获得胶合板最高产量，即获得最大数量的全套胶合板，怎样才能为生产选用不同类型的机器？古典办法无法解决这一难题。康特罗维奇创造性地运用线性规划，成功解决了这个求极值的优选问题。,从此，他打开了解决优化规划问题的大门。这对现代应用数学和经济学的发展，有着深远的影响，这时，康托罗维奇年仅26岁。我们常用的求解线性规划问题的方法单纯形法，则是由美国数学家丹泽和豪尔维茨在1947年发明的，比康托罗维奇晚了近10年。有人评价说，二三十岁期间，康托罗维奇作为一个青年数学家，已经登上数学奥林匹斯山的高峰。,随后，康托罗维奇继续踏实地迈进，他发现一系列涉及如何科学地组织和计划生产的问题，都属于线性规划问题。比如，怎样最充分地利用机器设备，如何最大限度地减少废料，最有效地使用燃料，怎样最合理地组织货物运输，最适当地安排农作物布局等。康托罗维奇为线性规划方法的推广和运用做了大量工作。1949年，苏联政府为表彰他在数学研究工作中的成就，授予康托罗维奇斯大林奖金。,1975年，63岁的康托罗维奇与美国经济学家库普曼斯共同获得诺贝尔经济学奖。他在领取该项奖金时发表了数学在经济中的应用：成就、困难、前景的演讲，他表示：“数学方法在经济中的应用不会辜负我们对它所抱的希望，它会给经济理论和实际工作做出重大的贡献。”,一、线性规划模型,从招聘总经理谈起,案例（一）,泰山股份公司可以生产两种产品出售，需要三种资源，已知各产品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗系数如下表：目前生产现状：不生产产品A，生产产品B每天30，获利3600,招聘总经理！,约翰：我应聘！在现有资源状况下，可以使利润达到4200以上！方案是：生产A产品20，生产B产品24可行性：9*20+4*24=2763604*20+5*24=2003*20+10*24=300,怎么达到的？,约翰使用了数据模型与决策中的线性规划模型问题：如何安排生产计划，使得获利最多？步骤：1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X23、确定约束条件：设备约束9X1+4X2360人力约束4X1+5X2200原材料约束3X1+10X2300非负性约束X10X20,数学模型线性规划,决策变量x1、x2maxZ=70X1+120X29X1+4X23604X1+5X22003X1+10X2300X10X20,线性规划图解法,由数学知识可知：目标函数Z=70 x1+120 x2是平面上一系列相互平行的直线；9X1+4X2360是直线9X1+4X2=360下方的半平面4X1+5X2200是直线4X1+5X2=200下方的半平面3X1+10X2300是直线3X1+10X2=300下方的半平面X10X20表示第一象限所有半平面的交集称之为可行域，可行域内的任意一点，就是满足所有约束条件的解，称之为可行解。,例1图示,.,9080604020,020406080100,x1,x2,9x1+4x2=360,4x1+5x2=200,3x1+10 x2=300,A,B,C,D,E,F,G,H,I,Z=70 x1+120 x2,最优解：X1=20,x2=24对应的生产方案：生产A产品20生产B产品24获利：70*20+120*24=4280,约翰就任泰山公司总经理！,企业管理的重点内容,各种生产因素和产品的调配问题一方面，在一固定阶段，企业管理者所能“投入”的生产因素：原料、人力、设备时间是由一定限量的。另一方面，企业管理者“投入”生产因素时，如何将受时间、空间、数量限制的“投入”生产因素调配“得当”，达到最佳的境界而获得最佳的“产出”量，因而获得最大的收益。,面对的一个问题的两个方面,企业管理者不仅要知道如何调配手头上有限的生产因素，同时要从不同的调配中，找出最佳的调配，来达到他的企业经营目标最低成本、最高利润。事实上，用最低的代价去追求最高的收获，原是一种理性的要求，因此在任何理性活动中，都有一求“最佳”问题的存在。,案例（二）,某男是个家庭“煮夫”，在家做饭并快乐着！家中领导对每周的蔬菜要求很高，既要满足维生素C、维生素A等定量营养需求，还要求少花钱。怎么办呢？,69,营养问题,拟订本周菜单，可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成分的数量，以及家里人每周所需各种营养成分的最低数量如下表所示，另外，为了口味的需求，希望每周内所用卷心菜不多于2份，其它蔬菜每周内每种不多于4份。若家中人每周需14份蔬菜，问选用每种蔬菜各多少份才能既满足营养需求又使所花费用最少？,70,例题2建模,设购买青豆x1份;胡萝卜x2份;花菜x3份；卷心菜x4份；甜菜x5份；土豆x6份目标函数：最省钱minZ=1.5x1+1.2x2+2.4x3+0.6x4+1.8x5+x6约束条件：0.45x2+0.45x2+1.05x3+0.4x4+0.5x5+0.5x66（营养要求）10 x1+28x2+50 x3+25x4+22x5+75x6325415x1+9065x2+2550 x3+75x4+15x5+235x6175008x1+3x2+53x3+27x4+5x5+8x62450.3x1+0.35x2+0.6x3+0.15x4+0.25x5+0.8x65用量要求：x14,x24，x34,x42,x54，x64x1+x2+x3+x4+x5+x614非负性要求：x10,x20,x30,x40,x50 x60,用计算机软件求解,*最优解如下*目标函数最优值为:18.3004变量最优解相差值-x11.4440 x240 x32.5560 x420 x50.36x640,买菜方案,青豆1.444胡萝卜4花菜2.556卷心菜2甜菜0土豆4总花费：18.3004,整数规划得解,*最优解如下*目标函数最优值为:18.7变量最优解-x11x24x33x42x50 x64,线性规划模型,若干决策变量：如x1,x2,xn目标函数：关于决策变量的线性函数约束条件：关于决策变量的线性不等式（或等式）目的：在满足约束条件的决策变量中找出一组使目标函数达到最优的决策变量！,线性规划的一般模式,目标函数：max(min)Z=c1x1+c2x2+c3x3+cnxn约束条件：a11x1+a12x2+a13x3+a1nxn(=)b1a21x1+a22x2+a23x3+a2nxn(=)b2am1x1+am2x2+am3x3+amnxn(=)bn非负性约束：x10,x20,xs0,线性规划问题的数学模型,目标函数：,约束条件：,简写为：,向量形式：,其中：,矩阵形式：,其中：,线性规划的标准型,线性规划的标准化一般形式目标函数：Max（Min）z=c1x1+c2x2+cnxn约束条件：s.t.a11x1+a12x2+a1nxn（=,）b1a21x1+a22x2+a2nxn（=,）b2am1x1+am2x2+amnxn（=,）bmx1，x2，xs0标准形式目标函数：Maxz=c1x1+c2x2+cnxn约束条件：s.t.a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2am1x1+am2x2+amnxn=bmx1，x2，xn0，bi0,线性规划问题的标准形式,特点：(1)目标函数求最大值（有时求最小值）(2)约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零(3)决策变量